Bab 7

Teknik Integrasi

Bab 5 memberi kita tabel integral dasar, tetapi kebanyakan integral dalam praktik teknik tidak langsung cocok dengan tabel tersebut. Bab ini membekali mahasiswa dengan empat teknik utama—substitusi, substitusi trigonometri, integrasi parsial, dan dekomposisi pecahan parsial—serta strategi untuk memilih teknik yang tepat. Bab ini sangat penting dan dibahas secara ekstensif karena kemampuan mengintegralkan adalah keterampilan mekanis mendasar dalam kalkulus.

Gambar 7.1 — Peta teknik integrasi: empat metode utama yang dibahas dalam bab ini

7.1 Substitusi $u$ ($u$-Substitution)

Substitusi $u$ adalah kebalikan dari aturan rantai (chain rule). Jika integral memiliki bentuk $\int f(g(x))g'(x)\,dx$, kita substitusikan $u = g(x)$ sehingga $du = g'(x)\,dx$ dan integral berubah menjadi $\int f(u)\,du$ yang (semoga) ada di tabel.

Prosedur Substitusi $u$

Pilih $u$: Identifikasi fungsi "dalam" dan turunannya (atau bagiannya).
Hitung $du$: Turunkan $u$ terhadap $x$.
Ganti: Ubah seluruh integral menjadi variabel $u$. Jika ada sisa $x$ atau $dx$ yang tidak tergantikan, $u$ salah — coba pilih $u$ yang berbeda.
Integrasikan: Hitung $\int f(u)\,du$ menggunakan tabel dasar.
Substitusi balik: Ganti $u$ kembali dengan ekspresi dalam $x$.

Contoh 7.1 — Substitusi Dasar

$\displaystyle\int 2x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$

Pilih $u = x^2 + 1$, maka $du = 2x\,dx$. Integral menjadi:

$$\int \sqrt{u}\,du = \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$

Contoh 7.2 — Substitusi Eksponensial

$\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,dx$

Bentuk ini menyerupai $\dfrac{1}{1+u^2}$. Pilih $u = e^x$, maka $du = e^x\,dx$:

$$\int \frac{1}{1 + u^2}\,du = \arctan u + C = \boxed{\arctan(e^x) + C}$$

Contoh 7.3 — Substitusi dengan Penyesuaian Konstanta

$\displaystyle\int \frac{1}{3x + 5}\,dx$

Pilih $u = 3x + 5$, maka $du = 3\,dx$ atau $dx = \dfrac{1}{3}du$:

$$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C = \frac{1}{3}\ln|3x+5| + C$$

Contoh 7.4 — Substitusi Trigonometri

$\displaystyle\int \sin^3 x \cos x\,dx$

Pilih $u = \sin x$, maka $du = \cos x\,dx$:

$$\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

7.1.1 Substitusi pada Integral Tentu

Untuk integral tentu, ada dua cara: (1) substitusi balik lalu gunakan batas lama, atau (2) ubah batas integral sesuai substitusi (lebih cepat dan mengurangi risiko kesalahan).

Contoh 7.5 — Substitusi pada Integral Tentu (Ubah Batas)

$\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x^3}\,dx$

$u = x^3$, $du = 3x^2\,dx$. Batas baru: saat $x=0$, $u=0$; saat $x=1$, $u=1$.

$$= \frac{1}{3}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{3}\left[e^u\right]_0^1 = \frac{1}{3}(e - 1)$$

7.2 Substitusi Trigonometri

Integrand yang mengandung bentuk $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, atau $\sqrt{x^2 - a^2}$ sering kali dapat disederhanakan menggunakan substitusi trigonometri, menghilangkan akar kuadrat melalui identitas Pythagoras.

Bentuk dalam Integrand	Substitusi	Identitas yang Dipakai
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$	$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan\theta$	$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec\theta$	$\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$

Kasus 1: $x = a\sin\theta$

Analisis Substitusi $x = a\sin\theta$

Dari segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$, sisi depan $x$, sisi miring $a$, sisi samping $\sqrt{a^2-x^2}$:

$$x = a\sin\theta, \quad dx = a\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^2 - x^2} = a\cos\theta$$

Contoh 7.6 — Substitusi $\sin$:

$\displaystyle\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$

Karena integrand memiliki bentuk $\sqrt{a^2 - x^2}$ dengan $a = 2$, kita gunakan substitusi trigonometri:

$$x = 2\sin\theta \quad \implies \quad dx = 2\cos\theta \, d\theta$$

Substitusikan ke dalam integral:

\begin{aligned} \int \sqrt{4 - x^2}\,dx &= \int \sqrt{4 - (2\sin\theta)^2} (2\cos\theta) \, d\theta \\ &= \int \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} (2\cos\theta) \, d\theta \\ &= \int \sqrt{4\cos^2\theta} (2\cos\theta) \, d\theta \\ &= \int 2\cos\theta (2\cos\theta) \, d\theta \quad \text{(karena } \cos\theta \geq 0 \text{ untuk } -\tfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \tfrac{\pi}{2}) \\ &= 4\int \cos^2\theta \, d\theta \end{aligned}

Gunakan identitas setengah sudut $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$:

\begin{aligned} 4\int \cos^2\theta \, d\theta &= 4\int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta \\ &= 2\int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta \\ &= 2\left(\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C \\ &= 2\theta + \sin 2\theta + C \end{aligned}

Ubah kembali ke variabel $x$. Karena $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, kita perlu mencari nilai $\sin\theta$ dan $\cos\theta$. Dari substitusi awal $x = 2\sin\theta$, diperoleh $\sin\theta = \frac{x}{2}$.

Segitiga siku-siku referensi untuk substitusi balik

Dari segitiga siku-siku di atas, menggunakan teorema Pythagoras, sisi yang tersisa adalah $\sqrt{2^2 - x^2} = \sqrt{4 - x^2}$. Sehingga $\cos\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$ dan $\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Substitusi semuanya kembali ke persamaan:

\begin{aligned} 2\theta + \sin 2\theta + C &= 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C \\ &= 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}\right) + C \\ &= \boldsymbol{2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C} \end{aligned}

Kasus 2: $x = a\tan\theta$

Analisis Substitusi $x = a\tan\theta$

$$x = a\tan\theta, \quad dx = a\sec^2\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^2 + x^2} = a\sec\theta$$

Contoh 7.7 — Substitusi $\tan$:

$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+4)^{3/2}}\,dx$

$a = 2$. Substitusi $x = 2\tan\theta$, $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$, $x^2+4 = 4\sec^2\theta$, $(x^2+4)^{3/2} = 8\sec^3\theta$:

$$= \int \frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\sin\theta + C$$

Balik: dari segitiga $\tan\theta = \dfrac{x}{2}$, sisi miring $= \sqrt{x^2+4}$, maka $\sin\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$:

$$\boxed{\int \frac{1}{(x^2+4)^{3/2}}\,dx = \frac{x}{4\sqrt{x^2+4}} + C}$$

Kasus 3: $x = a\sec\theta$

Analisis Substitusi $x = a\sec\theta$

$$x = a\sec\theta, \quad dx = a\sec\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^2 - a^2} = a\tan\theta$$

Contoh 7.8 — Substitusi $\sec$:

$\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}\,dx$

$a = 3$. Substitusi $x = 3\sec\theta$, $dx = 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^2-9} = 3\tan\theta$:

$$= \int \frac{3\tan\theta}{3\sec\theta} \cdot 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta = 3\int \tan^2\theta\,d\theta = 3\int (\sec^2\theta - 1)\,d\theta$$

$$= 3(\tan\theta - \theta) + C$$

Balik: $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{3}$, $\theta = \text{arcsec}\dfrac{x}{3}$:

$$\boxed{\int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-9} - 3\,\text{arcsec}\frac{x}{3} + C}$$

Trik: Melengkapi Kuadrat Terlebih Dahulu

Jika integrand memiliki bentuk $\sqrt{ax^2+bx+c}$, selalu lengkapi kuadrat dulu sebelum memilih substitusi. Contoh: $\sqrt{-x^2+4x-3} = \sqrt{1-(x-2)^2}$ → substitusi $u = x-2$ → bentuk $\sqrt{1-u^2}$ → substitusi $\sin$.

7.3 Integrasi Parsial (Integration by Parts)

Teorema 7.1 — Rumus Integrasi Parsial

Diturunkan dari aturan perkalian $(uv)' = u'v + uv'$:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

7.3.1 Aturan LIATE (Prioritas Memilih $u$)

Saat memilih mana yang menjadi $u$ dan mana yang menjadi $dv$, gunakan prioritas berikut (dari atas ke bawah):

Huruf	Jenis Fungsi	Alasan
L	Logaritma ($\ln x$)	Turunannya $\frac{1}{x}$ menyederhanakan
I	Invers Trig ($\arcsin x$, dst)	Turunannya rasional, menyederhanakan
A	Aljabar ($x^n$, $\sqrt{x}$)	Pangkatnya berkurang saat di-diferensiasi
T	Trigonometri ($\sin x$, $\cos x$)	Tetap trigonometri (siklus tak berakhir)
E	Eksponensial ($e^x$)	Tetap eksponensial (turunannya sama)

Contoh 7.9 — Integrasi Parsial: Logaritma $\times$ Polinomial

$\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx$

LIATE: $\ln x$ (L) lebih prioritas dari $x^2$ (A). Jadi $u = \ln x$, $dv = x^2\,dx$.

$$du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \frac{x^3}{3}$$

$$\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx$$

$$= \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C = \boxed{\frac{x^3}{9}(3\ln x - 1) + C}$$

Contoh 7.10 — Integrasi Parsial: Eksponensial $\times$ Trigonometri

$\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$

LIATE: $x$ (A) lebih prioritas dari $e^{2x}$ (E). $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$.

$$du = dx, \qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}$$

$$= \frac{x}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \boxed{\frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C}$$

7.3.2 Integrasi Parsial Siklis (Cyclic)

Kadang integrasi parsial dua kali menghasilkan integral yang sama dengan tanda berbeda — memungkinkan kita "memindahkan" integral ke sisi lain dan menyelesaikannya secara aljabar.

Contoh 7.11 — Integrasi Parsial Siklis:

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx$

Pilih $u = e^{ax}$, $dv = \sin bx\,dx$. Maka $du = ae^{ax}\,dx$, $v = -\dfrac{1}{b}\cos bx$.

$$I = \int e^{ax}\sin bx\,dx = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b}\int e^{ax}\cos bx\,dx$$

Parsial lagi untuk $\int e^{ax}\cos bx\,dx$: $u = e^{ax}$, $dv = \cos bx\,dx$.

$$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}I$$

Substitusi kembali ke persamaan pertama:

$$I = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b}\left(\frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}I\right)$$

$$I = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b^2}e^{ax}\sin bx - \frac{a^2}{b^2}I$$

$$I\left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right) = \frac{e^{ax}}{b^2}(a\sin bx - b\cos bx) \implies I = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C$$

7.3.3 Metode Tabel DI (Tabular Integration)

Untuk $\int P_n(x)\,f(x)\,dx$ di mana $P_n$ adalah polinomial orde-$n$ dan $f(x)$ mudah diintegralkan berulang (seperti $e^{ax}$ atau $\sin bx$), metode tabel jauh lebih cepat.

Contoh 7.12 — Tabel DI:

$\displaystyle\int x^3 e^{2x}\,dx$

Turunkan $x^3$ terus sampai nol, integralkan $e^{2x}$ terus:

Tanda	D (Turunkan)	I (Integrasikan)
+	$x^3$	$e^{2x}$
$-$	$3x^2$	$\frac{1}{2}e^{2x}$
+	$6x$	$\frac{1}{4}e^{2x}$
$-$	$6$	$\frac{1}{8}e^{2x}$
+	$0$	$\frac{1}{16}e^{2x}$

Hasil = jumlah produk diagonal:

$$= \frac{x^3}{2}e^{2x} - \frac{3x^2}{4}e^{2x} + \frac{6x}{8}e^{2x} - \frac{6}{16}e^{2x} + C$$

$$\boxed{\int x^3 e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C}$$

7.4 Integral Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Teknik ini digunakan untuk mengintegralkan fungsi rasional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ di mana $\deg P < \deg Q$ (proper). Langkahnya: (1) Faktorkan $Q(x)$ sepenuhnya, (2) Tentukan bentuk dekomposisi, (3) Tentukan koefisien, (4) Integrasikan suku per suku.

Kasus 1: Penyebut Faktor Linear Real Berbeda

$$\frac{P(x)}{(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{x-a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x-a_n}$$

Contoh 7.13 — Pecahan Parsial: Faktor Linear Berbeda

$\displaystyle\int \frac{2x + 3}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx$

Dekomposisi: $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} + \dfrac{C}{x-3}$

Gunakan cover-up: $A = \dfrac{5}{-6}$, $B = \dfrac{-1}{15}$, $C = \dfrac{9}{10}$.

$$\int \left(\frac{-5/6}{x-1} + \frac{-1/15}{x+2} + \frac{9/10}{x-3}\right)dx = -\frac{5}{6}\ln|x-1| - \frac{1}{15}\ln|x+2| + \frac{9}{10}\ln|x-3| + C$$

Kasus 2: Penyebut Faktor Linear Real Berulang

$$\frac{P(x)}{(x-a)^r} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_r}{(x-a)^r}$$

Contoh 7.14 — Pecahan Parsial: Faktor Berulang

$\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x(x-1)^3}\,dx$

$$\frac{x^2+1}{x(x-1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}$$

Samakan koefisien (atau substitusi nilai $x$ strategis) mendapatkan: $A = 1$, $B = -1$, $C = -1$, $D = 2$.

$$= \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{1}{x-1}\,dx - \int \frac{1}{(x-1)^2}\,dx + \int \frac{2}{(x-1)^3}\,dx$$

$$= \ln|x| - \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + C$$

Kasus 3: Penyebut Faktor Kuadrat Irreduksibel

$$\frac{P(x)}{(x^2+bx+c)^n} = \frac{A_1 x + B_1}{x^2+bx+c} + \frac{A_2 x + B_2}{(x^2+bx+c)^2} + \cdots$$

Untuk $n=1$, setelah menentukan $A$ dan $B$, lengkapi kuadrat pada penyebut lalu pisah menjadi integral $\arctan$ dan $\ln$.

Contoh 7.15 — Pecahan Parsial: Kuadrat Irreduksibel

$\displaystyle\int \frac{3x + 7}{x^2 + 4x + 13}\,dx$

Penyebut: $x^2+4x+13 = (x+2)^2 + 9$. Dekomposisi: $\dfrac{3x+7}{(x+2)^2+9} = \dfrac{A(x+2) + B}{(x+2)^2+9}$.

$3x+7 = A(x+2) + B = Ax + (2A+B)$. Samakan: $A = 3$, $2(3)+B = 7 \implies B = 1$.

$$= \int \frac{3(x+2)}{(x+2)^2+9}\,dx + \int \frac{1}{(x+2)^2+9}\,dx$$

$$= \frac{3}{2}\ln|(x+2)^2+9| + \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C = \frac{3}{2}\ln(x^2+4x+13) + \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C$$

7.5 Integral Fungsi Trigonometri Khusus

7.5.1 Kekuatan Ganjil-Genap dari $\sin$ dan $\cos$

Strategi Integral

$\int \sin^m x \cos^n x\,dx$

Jika pangkat $\sin$ ganjil: Pisahkan satu $\sin x$, ubah sisa $\sin^2$ menjadi $1-\cos^2$. Substitusi $u = \cos x$.
Jika pangkat $\cos$ ganjil: Pisahkan satu $\cos x$, ubah sisa $\cos^2$ menjadi $1-\sin^2$. Substitusi $u = \sin x$.
Jika keduanya genap: Gunakan rumus setengah sudut: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

Contoh 7.16 —

$\displaystyle\int \sin^5 x \cos^2 x\,dx$

Pangkat $\sin$ ganjil. Pisahkan $\sin x\,dx$, sisa $\sin^4 x = (1-\cos^2 x)^2$. Substitusi $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$= -\int (1-u^2)^2\,du = -\int (1 - 2u^2 + u^4)\,du = -\left(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}\right) + C$$

$$= -\cos x + \frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{1}{5}\cos^5 x + C$$

Contoh 7.17 — Keduanya Genap:

$\displaystyle\int \sin^2 x \cos^2 x\,dx$

Gunakan $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$:

$$= \int \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 dx = \frac{1}{4}\int \sin^2 2x\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1-\cos 4x}{2}\,dx$$

$$= \frac{1}{8}\left(x - \frac{\sin 4x}{4}\right) + C = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

7.5.2 Produk $\sin^m x \cos^n x$ dengan Keduanya Genap dan Tidak Ada Faktor Tunggal

Contoh 7.18 —

$\displaystyle\int \cos^4 x\,dx$

$$= \int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{4}\int (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)\,dx$$

$$= \frac{1}{4}\left[x + \sin 2x + \int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx\right] = \frac{1}{4}\left[x + \sin 2x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}\right] + C$$

$$= \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$

7.6 Strategi Memilih Teknik Integrasi

Pohon Keputusan Integrasi

Periksa tabel dasar: Apakah langsung cocok?
Sederhanakan aljabar dulu: Kalikan, bagi, pecah pecahan, atau ekspansi.
Substitusi $u$: Apakah ada fungsi komposit $f(g(x))$ dengan $g'(x)$ (atau bagiannya) jelas terlihat?
Pecahan parsial: Apakah bentuknya $\frac{P(x)}{Q(x)}$ rasional proper? Faktorkan penyebut.
Substitusi trigonometri: Apakah ada $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ atau $\sqrt{x^2 - a^2}$?
Integrasi parsial: Apakah ada perkalian dua fungsi berbeda tipe (LIATE)?
Integral trig khusus: Apakah berbentuk $\sin^m x \cos^n x$?

Contoh 7.19 — Mengenal Pola dengan Cepat

(a) $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx$. Perhatikan: $\sqrt{1-(x^2)^2}$ dan $x\,dx = \frac{1}{2}d(x^2)$. Substitusi $u = x^2$:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du = \frac{1}{2}\arcsin(x^2) + C$$

(b) $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$. Ini pola $\frac{f'}{f}$ dengan $f(x) = \ln x$? Tidak, $f'(x) = 1/x$, jadi ini $\frac{(\ln x)(1/x)}{1}$. Sebenarnya lebih mudah: substitusi $u = \ln x$, $du = dx/x$:

$$= \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

(c) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$. Lengkapi kuadrat: $x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$. Ini bentuk $\frac{1}{u^2+a^2}$:

$$= \int \frac{1}{(x+1)^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

(d) $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx$. Sekarang pembilang $x+3 = (x+1) + 2$. Pecah:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{2(x+1)}{(x+1)^2+4}\,dx + 2\int \frac{1}{(x+1)^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) + \arctan\frac{x+1}{2} + C$$

Contoh 7.20 — Kombinasi Teknik

$\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$

Teknik terbaik di sini adalah substitusi $u$, bukan trigonometri! $u = x^2+4$, $du = 2x\,dx$. Perhatikan $x^3\,dx = x^2 \cdot x\,dx = (u-4)\cdot\frac{1}{2}du$:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{u-4}{\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int (u^{1/2} - 4u^{-1/2})\,du$$

$$= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - 8u^{1/2}\right) + C = \frac{1}{3}(x^2+4)^{3/2} - 4\sqrt{x^2+4} + C$$

Menggunakan substitusi trig $x = 2\tan\theta$ untuk soal ini akan jauh lebih rumit. Pelajarilah mengenali kapan substitusi biasa cukup.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 7

Gunakan substitusi $u$: $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx$
Gunakan substitusi $u$: $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x^3}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{9-x^2}}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri: $\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+16}}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri (lengkapi kuadrat dulu): $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{8+2x-x^2}}\,dx$
Gunakan integrasi parsial: $\displaystyle\int x^2 e^{-x}\,dx$
Gunakan metode tabel DI: $\displaystyle\int x^2 \sin 3x\,dx$
Gunakan integrasi parsial siklis: $\displaystyle\int e^{-x}\cos 2x\,dx$
Gunakan pecahan parsial: $\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)^2(x+2)}\,dx$
Gunakan pecahan parsial: $\displaystyle\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+x^2-2x}\,dx$
Hitung: $\displaystyle\int \sin^3 x \cos^4 x\,dx$
Hitung: $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$
Tentukan strategi dan hitung: $\displaystyle\int \frac{x + \arctan x}{1+x^2}\,dx$

Sebelumnya

Bab 6: Integral Tentu

Selanjutnya

Bab 8: Penerapan Integral

Bentuk dalam Integrand	Substitusi	Identitas yang Dipakai
\(\sqrt{a^2 - x^2}\)	\(x = a\sin\theta\)	\(1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan\theta\)	\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\)	\(x = a\sec\theta\)	\(\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta\)

Tanda	D (Turunkan)	I (Integrasikan)
+	\(x^3\)	\(e^{2x}\)
\(-\)	\(3x^2\)	\(\frac{1}{2}e^{2x}\)
+	\(6x\)	\(\frac{1}{4}e^{2x}\)
\(-\)	\(6\)	\(\frac{1}{8}e^{2x}\)
+	\(0\)	\(\frac{1}{16}e^{2x}\)

Teknik Integrasi

7.1 Substitusi \(u\) (\(u\)-Substitution)

7.1.1 Substitusi pada Integral Tentu

7.2 Substitusi Trigonometri

Kasus 1: \(x = a\sin\theta\)

Kasus 2: \(x = a\tan\theta\)

Kasus 3: \(x = a\sec\theta\)