Bab 7

Teknik Integrasi

Bab 5 memberi kita tabel integral dasar, tetapi kebanyakan integral dalam praktik teknik tidak langsung cocok dengan tabel tersebut. Bab ini membekali mahasiswa dengan empat teknik utama—substitusi, substitusi trigonometri, integrasi parsial, dan dekomposisi pecahan parsial—serta strategi untuk memilih teknik yang tepat. Bab ini sangat penting dan dibahas secara ekstensif karena kemampuan mengintegralkan adalah keterampilan mekanis mendasar dalam kalkulus.

Gambar 7.1 — Peta teknik integrasi: empat metode utama yang dibahas dalam bab ini

7.1 Substitusi $u$ ($u$-Substitution)

Substitusi $u$ adalah kebalikan dari aturan rantai (chain rule). Jika integral memiliki bentuk $\int f(g(x))g'(x)\,dx$, kita substitusikan $u = g(x)$ sehingga $du = g'(x)\,dx$ dan integral berubah menjadi $\int f(u)\,du$ yang (semoga) ada di tabel.

Prosedur Substitusi $u$

Pilih $u$: Identifikasi fungsi "dalam" dan turunannya (atau bagiannya).
Hitung $du$: Turunkan $u$ terhadap $x$.
Ganti: Ubah seluruh integral menjadi variabel $u$. Jika ada sisa $x$ atau $dx$ yang tidak tergantikan, $u$ salah — coba pilih $u$ yang berbeda.
Integrasikan: Hitung $\int f(u)\,du$ menggunakan tabel dasar.
Substitusi balik: Ganti $u$ kembali dengan ekspresi dalam $x$.

Contoh 7.1 — Substitusi Dasar

$\displaystyle\int 2x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$

Pilih $u = x^2 + 1$, maka $du = 2x\,dx$. Integral menjadi:

$$\int \sqrt{u}\,du = \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$

Contoh 7.2 — Substitusi Eksponensial

$\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}}\,dx$

Bentuk ini menyerupai $\dfrac{1}{1+u^2}$. Pilih $u = e^x$, maka $du = e^x\,dx$:

$$\int \frac{1}{1 + u^2}\,du = \arctan u + C = \boxed{\arctan(e^x) + C}$$

Contoh 7.3 — Substitusi dengan Penyesuaian Konstanta

$\displaystyle\int \frac{1}{3x + 5}\,dx$

Pilih $u = 3x + 5$, maka $du = 3\,dx$ atau $dx = \dfrac{1}{3}du$:

$$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\ln|u| + C = \frac{1}{3}\ln|3x+5| + C$$

Contoh 7.4 — Substitusi Trigonometri

$\displaystyle\int \sin^3 x \cos x\,dx$

Pilih $u = \sin x$, maka $du = \cos x\,dx$:

$$\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

7.1.1 Substitusi pada Integral Tentu

Untuk integral tentu, ada dua cara: (1) substitusi balik lalu gunakan batas lama, atau (2) ubah batas integral sesuai substitusi (lebih cepat dan mengurangi risiko kesalahan).

Contoh 7.5 — Substitusi pada Integral Tentu (Ubah Batas)

$\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x^3}\,dx$

$u = x^3$, $du = 3x^2\,dx$. Batas baru: saat $x=0$, $u=0$; saat $x=1$, $u=1$.

$$= \frac{1}{3}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{3}\left[e^u\right]_0^1 = \frac{1}{3}(e - 1)$$

7.2 Substitusi Trigonometri

Integrand yang mengandung bentuk $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, atau $\sqrt{x^2 - a^2}$ sering kali dapat disederhanakan menggunakan substitusi trigonometri, menghilangkan akar kuadrat melalui identitas Pythagoras.

Bentuk dalam Integrand	Substitusi	Identitas yang Dipakai
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$	$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan\theta$	$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec\theta$	$\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$

Kasus 1: $x = a\sin\theta$

Analisis Substitusi $x = a\sin\theta$

Dari segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$, sisi depan $x$, sisi miring $a$, sisi samping $\sqrt{a^2-x^2}$:

$$x = a\sin\theta, \quad dx = a\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^2 - x^2} = a\cos\theta$$

Contoh 7.6 — Substitusi $\sin$

$\displaystyle\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$

Karena integrand memiliki bentuk $\sqrt{a^2 - x^2}$ dengan $a = 2$, kita gunakan substitusi trigonometri:

$$x = 2\sin\theta \quad \implies \quad dx = 2\cos\theta \, d\theta$$

Substitusikan ke dalam integral:

\begin{aligned} \int \sqrt{4 - x^2}\,dx &= \int \sqrt{4 - (2\sin\theta)^2} (2\cos\theta) \, d\theta \\ &= \int \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} (2\cos\theta) \, d\theta \\ &= \int \sqrt{4\cos^2\theta} (2\cos\theta) \, d\theta \quad \text{(karena } \cos\theta \geq 0 \text{ untuk } -\tfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \tfrac{\pi}{2}) \\ &= 4\int \cos^2\theta \, d\theta \end{aligned}

Gunakan identitas setengah sudut $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$:

\begin{aligned} 4\int \cos^2\theta \, d\theta &= 4\int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta \\ &= 2\int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta \\ &= 2\left(\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C \\ &= 2\theta + \sin 2\theta + C \end{aligned}

Ubah kembali ke variabel $x$. Karena $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, kita perlu mencari nilai $\sin\theta$ dan $\cos\theta$. Dari substitusi awal $x = 2\sin\theta$, diperoleh $\sin\theta = \frac{x}{2}$.

Segitiga siku-siku referensi untuk substitusi balik

Dari segitiga siku-siku di atas, menggunakan teorema Pythagoras, sisi yang tersisa adalah $\sqrt{2^2 - x^2} = \sqrt{4 - x^2}$. Sehingga $\cos\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$ dan $\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Substitusi semuanya kembali ke persamaan:

\begin{aligned} 2\theta + \sin 2\theta + C &= 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C \\ &= 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}\right) + C \\ &= \boldsymbol{2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C} \end{aligned}

Kasus 2: $x = a\tan\theta$

Analisis Substitusi $x = a\tan\theta$

$$x = a\tan\theta, \quad dx = a\sec^2\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^2 + x^2} = a\sec\theta$$

Contoh 7.7 — Substitusi $\tan$

$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+4)^{3/2}}\,dx$

$a = 2$. Substitusi $x = 2\tan\theta$, $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$, $x^2+4 = 4\sec^2\theta$, $(x^2+4)^{3/2} = 8\sec^3\theta$:

$$= \int \frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\sin\theta + C$$

Balik: dari segitiga $\tan\theta = \dfrac{x}{2}$, sisi miring $= \sqrt{x^2+4}$, maka $\sin\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$:

$$\boxed{\int \frac{1}{(x^2+4)^{3/2}}\,dx = \frac{x}{4\sqrt{x^2+4}} + C}$$

Kasus 3: $x = a\sec\theta$

Analisis Substitusi $x = a\sec\theta$

$$x = a\sec\theta, \quad dx = a\sec\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^2 - a^2} = a\tan\theta$$

Contoh 7.8 — Substitusi $\sec$

$\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}\,dx$

$a = 3$. Substitusi $x = 3\sec\theta$, $dx = 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^2-9} = 3\tan\theta$:

$$= \int \frac{3\tan\theta}{3\sec\theta} \cdot 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta = 3\int \tan^2\theta\,d\theta = 3\int (\sec^2\theta - 1)\,d\theta$$

$$= 3(\tan\theta - \theta) + C$$

Balik: $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{3}$, $\theta = \text{arcsec}\dfrac{x}{3}$:

$$\boxed{\int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-9} - 3\,\text{arcsec}\frac{x}{3} + C}$$

Trik: Melengkapi Kuadrat Terlebih Dahulu

Jika integrand memiliki bentuk $\sqrt{ax^2+bx+c}$, selalu lengkapi kuadrat dulu sebelum memilih substitusi. Contoh: $\sqrt{-x^2+4x-3} = \sqrt{1-(x-2)^2}$ → substitusi $u = x-2$ → bentuk $\sqrt{1-u^2}$ → substitusi $\sin$.

7.3 Integrasi Parsial (Integration by Parts)

Teorema 7.1 — Rumus Integrasi Parsial

Diturunkan dari aturan perkalian $(uv)' = u'v + uv'$:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

7.3.1 Aturan LIATE (Prioritas Memilih $u$)

Saat memilih mana yang menjadi $u$ dan mana yang menjadi $dv$, gunakan prioritas berikut (dari atas ke bawah):

Huruf	Jenis Fungsi	Alasan
L	Logaritma ($\ln x$)	Turunannya $\frac{1}{x}$ menyederhanakan
I	Invers Trig ($\arcsin x$, dst)	Turunannya rasional, menyederhanakan
A	Aljabar ($x^n$, $\sqrt{x}$)	Pangkatnya berkurang saat di-diferensiasi
T	Trigonometri ($\sin x$, $\cos x$)	Tetap trigonometri (siklus tak berakhir)
E	Eksponensial ($e^x$)	Tetap eksponensial (turunannya sama)

Contoh 7.9 — Integrasi Parsial: Logaritma $\times$ Polinomial

$\displaystyle\int x^2 \ln x\,dx$

LIATE: $\ln x$ (L) lebih prioritas dari $x^2$ (A). Jadi $u = \ln x$, $dv = x^2\,dx$.

$$du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \frac{x^3}{3}$$

$$\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx$$

$$= \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C = \boxed{\frac{x^3}{9}(3\ln x - 1) + C}$$

Contoh 7.10 — Integrasi Parsial: Aljabar $\times$ Eksponensial

$\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$

LIATE: $x$ (A) lebih prioritas dari $e^{2x}$ (E). $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$.

$$du = dx, \qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}$$

$$= \frac{x}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \boxed{\frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C}$$

7.3.2 Integrasi Parsial Siklis (Cyclic)

Kadang integrasi parsial dua kali menghasilkan integral yang sama dengan tanda berbeda — memungkinkan kita "memindahkan" integral ke sisi lain dan menyelesaikannya secara aljabar.

Contoh 7.11 — Integrasi Parsial Siklis

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx$

Pilih $u = e^{ax}$, $dv = \sin bx\,dx$. Maka $du = ae^{ax}\,dx$, $v = -\dfrac{1}{b}\cos bx$.

$$I = \int e^{ax}\sin bx\,dx = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b}\int e^{ax}\cos bx\,dx$$

Parsial lagi untuk $\int e^{ax}\cos bx\,dx$: $u = e^{ax}$, $dv = \cos bx\,dx$.

$$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}I$$

Substitusi kembali ke persamaan pertama:

$$I = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b}\left(\frac{1}{b}e^{ax}\sin bx - \frac{a}{b}I\right)$$

$$I = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos bx + \frac{a}{b^2}e^{ax}\sin bx - \frac{a^2}{b^2}I$$

$$I\left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right) = \frac{e^{ax}}{b^2}(a\sin bx - b\cos bx) \implies I = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C$$

7.3.3 Metode Tabel DI (Tabular Integration)

Untuk $\int P_n(x)\,f(x)\,dx$ di mana $P_n$ adalah polinomial orde-$n$ dan $f(x)$ mudah diintegralkan berulang (seperti $e^{ax}$ atau $\sin bx$), metode tabel jauh lebih cepat.

Contoh 7.12 — Tabel DI

$\displaystyle\int x^3 e^{2x}\,dx$

Turunkan $x^3$ terus sampai nol, integralkan $e^{2x}$ terus:

Tanda	D (Turunkan)	I (Integrasikan)
+	$x^3$	$e^{2x}$
$-$	$3x^2$	$\frac{1}{2}e^{2x}$
+	$6x$	$\frac{1}{4}e^{2x}$
$-$	$6$	$\frac{1}{8}e^{2x}$
+	$0$	$\frac{1}{16}e^{2x}$

Hasil = jumlah produk diagonal:

$$= \frac{x^3}{2}e^{2x} - \frac{3x^2}{4}e^{2x} + \frac{6x}{8}e^{2x} - \frac{6}{16}e^{2x} + C$$

$$\boxed{\int x^3 e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C}$$

7.4 Integral Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Teknik ini digunakan untuk mengintegralkan fungsi rasional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ di mana $\deg P < \deg Q$ (proper). Langkahnya: (1) Faktorkan $Q(x)$ sepenuhnya, (2) Tentukan bentuk dekomposisi, (3) Tentukan koefisien, (4) Integrasikan suku per suku.

Kasus 1: Penyebut Faktor Linear Real Berbeda

$$\frac{P(x)}{(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{x-a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x-a_n}$$

Contoh 7.13 — Pecahan Parsial: Faktor Linear Berbeda

$\displaystyle\int \frac{2x + 3}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx$

Langkah 1 — Menyusun dekomposisi:

Karena penyebut sudah difaktorkan sempurna menjadi tiga faktor linear yang berbeda $(x-1)$, $(x+2)$, dan $(x-3)$, kita tulis:

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3}$$

di mana $A$, $B$, dan $C$ adalah konstanta yang harus ditentukan. Setiap faktor linear menghasilkan satu suku pecahan parsial dengan pembilang konstanta.

Langkah 2 — Menentukan konstanta dengan metode cover-up:

Kalikan kedua ruas dengan penyebut $(x-1)(x+2)(x-3)$:

$$2x + 3 = A(x+2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+2)$$

Prinsip metode cover-up: untuk mencari $A$, substitusikan $x = 1$ (akar dari faktor $x-1$) sehingga suku-suku yang mengandung $(x-1)$ menjadi nol:

$$2(1) + 3 = A(1+2)(1-3) + B \cdot 0 + C \cdot 0$$

$$5 = A \cdot 3 \cdot (-2) = -6A \quad \Longrightarrow \quad \boxed{A = -\frac{5}{6}}$$

Untuk mencari $B$, substitusikan $x = -2$ (akar dari faktor $x+2$):

$$2(-2) + 3 = A \cdot 0 + B(-2-1)(-2-3) + C \cdot 0$$

$$-1 = B \cdot (-3) \cdot (-5) = 15B \quad \Longrightarrow \quad \boxed{B = -\frac{1}{15}}$$

Untuk mencari $C$, substitusikan $x = 3$ (akar dari faktor $x-3$):

$$2(3) + 3 = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C(3-1)(3+2)$$

$$9 = C \cdot 2 \cdot 5 = 10C \quad \Longrightarrow \quad \boxed{C = \frac{9}{10}}$$

Mengapa Metode Cover-Up Bekerja?

Ketika kita mensubstitusikan $x = 1$ ke persamaan $2x+3 = A(x+2)(x-3) + \cdots$, suku $A(x+2)(x-3)$ tidak lenyap karena tidak mengandung faktor $(x-1)$. Sementara itu, suku $B(x-1)(x-3)$ dan $C(x-1)(x+2)$ masing-masing mengandung faktor $(x-1)$, sehingga keduanya menjadi nol. Metode ini hanya berlaku untuk faktor linear berbeda — tidak untuk faktor kuadrat atau faktor linear berulang.

Langkah 3 — Menuliskan dekomposisi lengkap:

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{-5/6}{x-1} + \frac{-1/15}{x+2} + \frac{9/10}{x-3}$$

Langkah 4 — Mengintegralkan suku per suku:

Setiap suku memiliki bentuk $\dfrac{k}{x - a}$, yang integralnya langsung diketahui:

$$\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C$$

Maka:

$$\int \frac{2x+3}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx = \int \frac{-5/6}{x-1}\,dx + \int \frac{-1/15}{x+2}\,dx + \int \frac{9/10}{x-3}\,dx$$

$$= -\frac{5}{6}\ln|x-1| - \frac{1}{15}\ln|x+2| + \frac{9}{10}\ln|x-3| + C$$

Catatan tentang Nilai Mutlak

Simbol nilai mutlak $|\cdot|$ pada logaritma esensial. Tanpanya, ekspresi $\ln(x-1)$ tidak terdefinisi untuk $x < 1$. Dengan $|x-1|$, domain hasil integral mencakup semua $x \neq 1, -2, 3$, yang sesuai dengan domain fungsi asalnya. Jika soal membatasi domain (misalnya $x > 3$), maka nilai mutlak bisa dihilangkan.

Kasus 2: Penyebut Faktor Linear Real Berulang

$$\frac{P(x)}{(x-a)^r} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_r}{(x-a)^r}$$

Contoh 7.14 — Pecahan Parsial: Faktor Berulang

$\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x(x-1)^3}\,dx$

Langkah 1 — Menyusun dekomposisi:

Penyebut memiliki dua faktor: $x$ (linear berbeda) dan $(x-1)^3$ (linear berulang pangkat 3). Aturan emas faktor berulang: untuk faktor $(x-a)^n$, kita harus menuliskan suku pecahan untuk setiap pangkat dari 1 hingga $n$, bukan hanya pangkat tertingginya. Jika ada suku yang hilang, sistem persamaan tidak akan bisa diselesaikan.

$$\frac{x^2+1}{x(x-1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}$$

Langkah 2 — Menentukan konstanta:

Kalikan kedua ruas oleh penyebut $x(x-1)^3$:

$$x^2 + 1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx$$

Kita bisa menggunakan kombinasi metode cover-up (untuk pangkat tertinggi) dan substitusi nilai strategis.

Mencari $A$: Substitusikan $x = 0$ (menghilangkan suku $B, C, D$):

$$0^2 + 1 = A(0-1)^3 + 0 \implies 1 = -A \quad \Longrightarrow \quad \boxed{A = -1}$$

Mencari $D$: Substitusikan $x = 1$ (menghilangkan suku $A, B, C$ karena semuanya mengandung faktor $(x-1)$):

$$1^2 + 1 = 0 + 0 + 0 + D(1) \implies 2 = D \quad \Longrightarrow \quad \boxed{D = 2}$$

Mencari $B$ dan $C$: Kita tidak bisa lagi menggunakan cover-up. Pilihlah nilai $x$ lain yang memudahkan perhitungan, misalnya $x = -1$ dan $x = 2$:

Untuk $x = -1$:

$$(-1)^2 + 1 = A(-2)^3 + B(-1)(-2)^2 + C(-1)(-2) + D(-1)$$

$$2 = -8A - 4B + 2C - D$$

Substitusikan $A = -1$ dan $D = 2$:

$$2 = -8(-1) - 4B + 2C - 2 \implies 2 = 8 - 4B + 2C - 2 \implies -4 = -4B + 2C \implies 2B - C = 2 \quad \text{...(i)}$$

Untuk $x = 2$:

$$2^2 + 1 = A(1)^3 + B(2)(1)^2 + C(2)(1) + D(2)$$

$$5 = A + 2B + 2C + 2D$$

Substitusikan $A = -1$ dan $D = 2$:

$$5 = -1 + 2B + 2C + 4 \implies 2 = 2B + 2C \implies B + C = 1 \quad \text{...(ii)}$$

Selesaikan persamaan simultan (i) dan (ii): Jumlahkan kedua persamaan $\Rightarrow 3B = 3 \implies \boxed{B = 1}$. Substitusikan ke (ii) $\Rightarrow 1 + C = 1 \implies \boxed{C = 0}$.

Langkah 3 — Menuliskan dekomposisi lengkap:

Karena $C = 0$, suku $\dfrac{C}{(x-1)^2}$ hilang. Ini adalah hal yang wajar dan sering terjadi dalam perhitungan pecahan parsial — kita tetap harus menuliskannya dalam template awal karena kita belum mengetahui nilainya.

$$\frac{x^2+1}{x(x-1)^3} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^3}$$

Langkah 4 — Mengintegralkan suku per suku:

$$\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^3} \right)dx = -\int \frac{1}{x}\,dx + \int \frac{1}{x-1}\,dx + 2\int (x-1)^{-3}\,dx$$

Perhatikan secara hati-hati: integral suku pertama dan kedua menghasilkan logaritma natural, tetapi integral suku ketiga menggunakan aturan pangkat (karena pangkat penyebut $\neq 1$):

$$= -\ln|x| + \ln|x-1| + 2 \left( \frac{(x-1)^{-2}}{-2} \right) + C$$

$$= \ln\left|\frac{x-1}{x}\right| - \frac{1}{(x-1)^2} + C$$

Kesalahan Umum pada Faktor Berulang

Banyak mahasiswa keliru mengintegrasikan $\dfrac{k}{(x-a)^n}$ untuk $n \geq 2$ menggunakan logaritma. Hanya pecahan dengan pangkat 1 (yaitu $\dfrac{k}{x-a}$) yang integralnya berupa $\ln|x-a|$. Jika pangkat penyebutnya lebih dari 1 (misalnya $(x-a)^2, (x-a)^3$), gunakan aturan pangkat umum: $\int (x-a)^{-n}\,dx = \dfrac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C$.

Kasus 3: Penyebut Faktor Kuadrat Irreduksibel

$$\frac{P(x)}{(x^2+bx+c)^n} = \frac{A_1 x + B_1}{x^2+bx+c} + \frac{A_2 x + B_2}{(x^2+bx+c)^2} + \cdots$$

Untuk $n=1$, setelah menentukan $A$ dan $B$, lengkapi kuadrat pada penyebut lalu pisah menjadi integral $\arctan$ dan $\ln$.

Contoh 7.15 — Pecahan Parsial: Kuadrat Irreduksibel

$\displaystyle\int \frac{3x + 7}{x^2 + 4x + 13}\,dx$

Langkah 0 — Analisis awal:

Pertama, periksa diskriminan penyebut: $\Delta = 4^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36 < 0$. Karena $\Delta < 0$, faktor kuadrat $x^2+4x+13$ irreduksibel (tidak bisa difaktorkan lagi menjadi bilangan real). Selain itu, derajat pembilang (1) lebih kecil dari derajat penyebut (2), sehingga pecahan ini sudah proper dan tidak perlu dibagi terlebih dahulu (pembagian polinomial).

Langkah 1 — Menyempurnakan kuadrat (Completing the Square):

Mengintegralkan penyebut kuadrat irreduksibel secara langsung sangat sulit. Kunci utamanya adalah menyempurnakan bentuk kuadrat sehingga penyebut berubah menjadi bentuk $u^2 + a^2$:

$$x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 13 = (x+2)^2 + 9$$

Sekarang integral menjadi:

$$\int \frac{3x + 7}{(x+2)^2 + 9}\,dx$$

Langkah 2 — Menyusun template pembilang:

Untuk penyebut berbentuk $(x+2)^2 + 9$, pembilang standar yang "ramah integrasi" adalah $A(x+2) + B$. Mengapa harus demikian?

Suku $A(x+2)$ akan menjadi saudara kembar dari turunan penyebut $\left(\frac{d}{dx}[(x+2)^2+9] = 2(x+2)\right)$. Ini menyiapkan substitusi $u$ untuk menghasilkan integral logaritma natural.
Suku konstanta $B$ akan menghasilkan bentuk $\int \frac{B}{u^2 + a^2}\,du$, yang integralnya berupa fungsi arctangen.

Samakan pembilang:

$$3x + 7 = A(x+2) + B$$

Langkah 3 — Menentukan konstanta $A$ dan $B$:

Kita bisa menggunakan kombinasi substitusi cepat dan perbandingan koefisien.

Cara cepat mencari $B$: Substitusikan $x = -2$ agar suku $A(x+2)$ hilang:

$$3(-2) + 7 = A(0) + B \implies -6 + 7 = B \implies \boxed{B = 1}$$

Mencari $A$: Substitusikan nilai $x$ yang mudah, misalnya $x = 0$:

$$3(0) + 7 = A(0+2) + 1 \implies 7 = 2A + 1 \implies 2A = 6 \implies \boxed{A = 3}$$

(Atau bandingkan koefisien $x$: ruas kiri punya koefisien 3, ruas kanan $Ax$ punya koefisien $A$, jadi langsung $A = 3$).

Langkah 4 — Memecah integral menjadi dua bagian:

Ganti $3x+7$ dengan $3(x+2) + 1$ di dalam integral:

$$= \int \frac{3(x+2) + 1}{(x+2)^2 + 9}\,dx = \int \frac{3(x+2)}{(x+2)^2+9}\,dx + \int \frac{1}{(x+2)^2+9}\,dx$$

Langkah 5 — Mengintegralkan bagian pertama (Logaritma):

Perhatikan bahwa turunan dari penyebut $(x+2)^2+9$ adalah $2(x+2)$. Kita memiliki $3(x+2)$ di pembilang, yang merupakan $\frac{3}{2}$ kali turunan penyebut. Ini menunjukkan substitusi $u = (x+2)^2+9$, dengan $du = 2(x+2)\,dx$:

$$\int \frac{3(x+2)}{(x+2)^2+9}\,dx = \frac{3}{2} \int \frac{2(x+2)}{(x+2)^2+9}\,dx = \frac{3}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln|u| + C_1$$

Kembalikan ke variabel $x$:

$$= \frac{3}{2}\ln\left|(x+2)^2+9\right|$$

Menghapus Nilai Mutlak

Karena $(x+2)^2 \geq 0$ untuk semua $x$ real, maka $(x+2)^2 + 9 \geq 9 > 0$. Nilai di dalam logaritma selalu positif, sehingga tanda nilai mutlak bisa dihilangkan. Kita bisa menuliskannya kembali sebagai $x^2+4x+13$ jika diinginkan.

Langkah 6 — Mengintegralkan bagian kedua (Arctangen):

Ini adalah bentuk standar $\displaystyle\int \frac{1}{u^2 + a^2}\,du = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$. Dalam kasus ini, $u = x+2$ dan $a^2 = 9 \implies a = 3$:

$$\int \frac{1}{(x+2)^2 + 3^2}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x+2}{3}\right) + C_2$$

Langkah 7 — Menggabungkan hasil akhir:

$$\int \frac{3x + 7}{x^2 + 4x + 13}\,dx = \frac{3}{2}\ln\left((x+2)^2+9\right) + \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C$$

Atau, ditulis kembali dalam bentuk penyebut asalnya:

$$\boxed{= \frac{3}{2}\ln(x^2+4x+13) + \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C}$$

Kesalahan Umum pada Kuadrat Irreduksibel

Jangan sekali-kali menulis template pembilang hanya sebagai $Ax + B$ jika Anda belum menyempurnakan kuadrat. Jika Anda menulis $\frac{Ax+B}{x^2+4x+13}$ dan mencoba substitusi $u = x^2+4x+13$, maka $du = (2x+4)dx$, yang tidak cocok secara langsung dengan $Ax+B$. Dengan menyusun ulang menjadi $A'(x+2) + B'$, kita memastikan suku $x$ pada pembilang selalu sebanding dengan turunan bagian dalamnya.

Selain itu, jangan lupa bahwa integral $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$ memiliki pembilang 1 di depan arctangen, yaitu $1/a$. Banyak mahasiswa keliru menuliskan hanya $\arctan(x/a)$ tanpa faktor $1/a$-nya.

7.5 Integral Fungsi Trigonometri Khusus

7.5.1 Kekuatan Ganjil-Genap dari $\sin$ dan $\cos$

Strategi Integral $\int \sin^m x \cos^n x\,dx$

Jika pangkat $\sin$ ganjil: Pisahkan satu $\sin x$, ubah sisa $\sin^2$ menjadi $1-\cos^2$. Substitusi $u = \cos x$.
Jika pangkat $\cos$ ganjil: Pisahkan satu $\cos x$, ubah sisa $\cos^2$ menjadi $1-\sin^2$. Substitusi $u = \sin x$.
Jika keduanya genap: Gunakan rumus setengah sudut: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

Contoh 7.16 — Pangkat $\sin$ Ganjil

$\displaystyle\int \sin^5 x \cos^2 x\,dx$

Pangkat $\sin$ ganjil. Pisahkan $\sin x\,dx$, sisa $\sin^4 x = (1-\cos^2 x)^2$. Substitusi $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$= -\int (1-u^2)^2\,du = -\int (1 - 2u^2 + u^4)\,du = -\left(u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}\right) + C$$

$$= -\cos x + \frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{1}{5}\cos^5 x + C$$

Contoh 7.17 — Keduanya Genap

$\displaystyle\int \sin^2 x \cos^2 x\,dx$

Gunakan $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$:

$$= \int \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 dx = \frac{1}{4}\int \sin^2 2x\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1-\cos 4x}{2}\,dx$$

$$= \frac{1}{8}\left(x - \frac{\sin 4x}{4}\right) + C = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

7.5.2 Pangkat Genap Tinggi dari Satu Fungsi Trig

Contoh 7.18 — $\cos^4 x$

$\displaystyle\int \cos^4 x\,dx$

$$= \int \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{4}\int (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)\,dx$$

$$= \frac{1}{4}\left[x + \sin 2x + \int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx\right] = \frac{1}{4}\left[x + \sin 2x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}\right] + C$$

$$= \frac{3x}{8} + \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$

7.6 Strategi Memilih Teknik Integrasi

Pohon Keputusan Integrasi

Periksa tabel dasar: Apakah langsung cocok?
Sederhanakan aljabar dulu: Kalikan, bagi, pecah pecahan, atau ekspansi.
Substitusi $u$: Apakah ada fungsi komposit $f(g(x))$ dengan $g'(x)$ (atau bagiannya) jelas terlihat?
Pecahan parsial: Apakah bentuknya $\frac{P(x)}{Q(x)}$ rasional proper? Faktorkan penyebut.
Substitusi trigonometri: Apakah ada $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ atau $\sqrt{x^2 - a^2}$?
Integrasi parsial: Apakah ada perkalian dua fungsi berbeda tipe (LIATE)?
Integral trig khusus: Apakah berbentuk $\sin^m x \cos^n x$?

Contoh 7.19 — Mengenal Pola dengan Cepat

(a) $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx$. Perhatikan: $\sqrt{1-(x^2)^2}$ dan $x\,dx = \frac{1}{2}d(x^2)$. Substitusi $u = x^2$:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du = \frac{1}{2}\arcsin(x^2) + C$$

(b) $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$. Ini pola $\frac{f'}{f}$ dengan $f(x) = \ln x$? Tidak, $f'(x) = 1/x$, jadi ini $\frac{(\ln x)(1/x)}{1}$. Sebenarnya lebih mudah: substitusi $u = \ln x$, $du = dx/x$:

$$= \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

(c) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$. Lengkapi kuadrat: $x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$. Ini bentuk $\frac{1}{u^2+a^2}$:

$$= \int \frac{1}{(x+1)^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

(d) $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx$. Sekarang pembilang $x+3 = (x+1) + 2$. Pecah:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{2(x+1)}{(x+1)^2+4}\,dx + 2\int \frac{1}{(x+1)^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) + \arctan\frac{x+1}{2} + C$$

Contoh 7.20 — Kombinasi Teknik

$\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$

Teknik terbaik di sini adalah substitusi $u$, bukan trigonometri! $u = x^2+4$, $du = 2x\,dx$. Perhatikan $x^3\,dx = x^2 \cdot x\,dx = (u-4)\cdot\frac{1}{2}du$:

$$= \frac{1}{2}\int \frac{u-4}{\sqrt{u}}\,du = \frac{1}{2}\int (u^{1/2} - 4u^{-1/2})\,du$$

$$= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - 8u^{1/2}\right) + C = \frac{1}{3}(x^2+4)^{3/2} - 4\sqrt{x^2+4} + C$$

Menggunakan substitusi trig $x = 2\tan\theta$ untuk soal ini akan jauh lebih rumit. Pelajarilah mengenali kapan substitusi biasa cukup.

Contoh 7.21 — Integral Secan tanpa "Faktor Ajaib"

$\displaystyle\int \sec\theta\,d\theta$

Pada Contoh 5.10 kita menghitung integral ini dengan mengalikan numerator dan denominator oleh $\sec\theta + \tan\theta$ — trik yang sering dianggap "faktor ajaib" karena tidak ada penjelasan intuitif mengapa faktor tersebut dipilih. Sekarang kita hitung ulang menggunakan kombinasi teknik yang sepenuhnya sistematis, tanpa trik sama sekali.

Langkah 1 — Substitusi balik trigonometri. Tulis $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$ lalu substitusikan $x = \sin\theta$. Maka $dx = \cos\theta\,d\theta$, atau $d\theta = \dfrac{dx}{\cos\theta}$:

$$\int \sec\theta\,d\theta = \int \frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{dx}{\cos\theta} = \int \frac{1}{\cos^2\theta}\,dx$$

Karena $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - x^2$, integral berubah menjadi:

$$\int \frac{1}{1 - x^2}\,dx$$

Pada titik ini, integral trigonometri telah berubah menjadi integral fungsi rasional — masalah yang sepenuhnya mekanis.

Langkah 2 — Dekomposisi pecahan parsial. Faktorkan penyebut: $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$. Karena kedua faktor linear dan berbeda:

$$\frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}$$

Kalikan kedua ruas oleh $(1-x)(1+x)$:

$$1 = A(1+x) + B(1-x)$$

Gunakan metode cover-up. Substitusikan $x = 1$: $1 = A(2) \implies \boxed{A = \tfrac{1}{2}}$. Substitusikan $x = -1$: $1 = B(2) \implies \boxed{B = \tfrac{1}{2}}$.

Langkah 3 — Integrasi suku per suku.

$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1-x}\,dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x}\,dx$$

Perhatikan: integral $\displaystyle\int \frac{1}{1-x}\,dx$ memerlukan sedikit kehati-hatian. Jika kita menulis substitusi $u = 1-x$, maka $du = -dx$, sehingga:

$$\int \frac{1}{1-x}\,dx = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| = -\ln|1-x|$$

Maka:

$$= -\frac{1}{2}\ln|1-x| + \frac{1}{2}\ln|1+x| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C$$

Langkah 4 — Substitusi balik $x = \sin\theta$.

$$\int \sec\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right| + C$$

Langkah 5 — Penyederhanaan ke bentuk standar. Hasil di atas sudah benar, tetapi kita dapat menyederhanakannya menjadi bentuk yang lebih dikenal. Kalikan numerator dan denominator dalam logaritma oleh $(1+\sin\theta)$:

$$\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} = \frac{(1+\sin\theta)^2}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} = \frac{(1+\sin\theta)^2}{1 - \sin^2\theta} = \frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta} = \left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2$$

Masukkan kembali ke logaritma:

$$\frac{1}{2}\ln\left[\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2\right] = \frac{1}{2} \cdot 2\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right| = \ln\left|\frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right|$$

$$\boxed{\int \sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C}$$

Refleksi: Mengapa Pendekatan Ini Lebih Memuaskan?

Tidak ada langkah yang "turun dari langit." Setiap keputusan memiliki justifikasi yang jelas:

Mengapa $x = \sin\theta$? Karena substitusi ini mengubah $\cos\theta$ menjadi ekspresi aljabar $\sqrt{1-x^2}$, menghilangkan fungsi trigonometri dari integrand.
Mengapa pecahan parsial? Karena setelah substitusi, yang tersisa adalah $\frac{1}{1-x^2}$ — fungsi rasional yang domain standarnya adalah pecahan parsial.
Mengapa kita menyederhanakan di akhir? Bukan karena "harus" — bentuk $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right|$ sudah merupakan jawaban yang valid. Penyederhanaan hanya untuk menunjukkan kesetaraan dengan bentuk standar dari tabel integral.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 7

Gunakan substitusi $u$: $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx$
Gunakan substitusi $u$: $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x^3}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{9-x^2}}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri: $\displaystyle\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+16}}\,dx$
Gunakan substitusi trigonometri (lengkapi kuadrat dulu): $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{8+2x-x^2}}\,dx$
Gunakan integrasi parsial: $\displaystyle\int x^2 e^{-x}\,dx$
Gunakan metode tabel DI: $\displaystyle\int x^2 \sin 3x\,dx$
Gunakan integrasi parsial siklis: $\displaystyle\int e^{-x}\cos 2x\,dx$
Gunakan pecahan parsial: $\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)^2(x+2)}\,dx$
Gunakan pecahan parsial: $\displaystyle\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+x^2-2x}\,dx$
Hitung: $\displaystyle\int \sin^3 x \cos^4 x\,dx$
Hitung: $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$
Tentukan strategi dan hitung: $\displaystyle\int \frac{x + \arctan x}{1+x^2}\,dx$
Hitung $\displaystyle\int \csc\theta\,d\theta$ menggunakan pendekatan yang sama seperti Contoh 7.21

Sebelumnya

Bab 6: Integral Tentu

Selanjutnya

Bab 8: Penerapan Integral

Bentuk dalam Integrand	Substitusi	Identitas yang Dipakai
\(\sqrt{a^2 - x^2}\)	\(x = a\sin\theta\)	\(1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta\)
\(\sqrt{a^2 + x^2}\)	\(x = a\tan\theta\)	\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)
\(\sqrt{x^2 - a^2}\)	\(x = a\sec\theta\)	\(\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta\)

Tanda	D (Turunkan)	I (Integrasikan)
+	\(x^3\)	\(e^{2x}\)
\(-\)	\(3x^2\)	\(\frac{1}{2}e^{2x}\)
+	\(6x\)	\(\frac{1}{4}e^{2x}\)
\(-\)	\(6\)	\(\frac{1}{8}e^{2x}\)
+	\(0\)	\(\frac{1}{16}e^{2x}\)

Teknik Integrasi

7.1 Substitusi \(u\) (\(u\)-Substitution)