Bab 18

Fungsi Vektor dan Kurva di Ruang

Bab 15 memperkenalkan kurva parametrik di bidang; Bab 17 membangun infrastruktur vektor di $\mathbb{R}^3$. Bab ini menyatukan keduanya: fungsi vektor $\mathbf{r}(t)$ memetakan bilangan real ke vektor di $\mathbb{R}^3$, menghasilkan kurva yang melintas ruang tiga dimensi. Kita mengembangkan kalkulus lengkap untuk kurva-kurva ini — turunan sebagai vektor tangen, integral sebagai antiturunan, panjang busur, dan kemudian memperkenalkan konsep-konsep geometris yang jauh lebih kaya dari yang tersedia di $\mathbb{R}^2$: kurvatur, bingkai Frenet-Serret ($\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$), dan dekomposisi akselerasi menjadi komponen tangensial dan normal. Semua ini adalah fondasi kinematika 3D dan prasyarat untuk integral garis (Bab 23).

Gambar 18.1 — Alur Bab 18: dari definisi fungsi vektor hingga dekomposisi akselerasi

18.1 Fungsi Vektor: Definisi dan Contoh

Definisi 18.1 — Fungsi Vektor

Fungsi vektor (dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}^3$) adalah fungsi $\mathbf{r}(t)$ yang memetakan setiap bilangan real $t$ dalam domainnya ke sebuah vektor di $\mathbb{R}^3$:

$$\mathbf{r}(t) = \langle x(t),\; y(t),\; z(t) \rangle = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k} $$

di mana $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ adalah fungsi komponen (fungsi skalar dari $t$). Domain $\mathbf{r}$ adalah irisan domain ketiga komponen.

Secara geometris, saat $t$ bervariasi, ujung vektor $\mathbf{r}(t)$ (ketika ekornya di origin) membentuk sebuah kurva di ruang yang disebut lintasan (trajectory) dari $\mathbf{r}$.

Contoh 18.1 — Heliks Sirkuler

Heliks sirkular adalah contoh paling penting dalam bab ini:

$$\mathbf{r}(t) = \langle a\cos t,\; a\sin t,\; bt \rangle, \qquad t \in \mathbb{R} $$

Komponen $x$ dan $y$ membentuk lingkaran berjari-jari $a$ di bidang $xy$, sementara komponen $z$ naik (atau turun, tergantung tanda $b$) secara linear. Hasilnya adalah pegas yang melingkar sepanjang sumbu-$z$. Parameter $b$ mengontrol "ketinggian per putaran" (pitch). ✓

Gambar 18.2 — Heliks sirkular: garis solid menunjukkan bagian depan, garis putus-putus menunjukkan bagian belakang. Parameter $t$ meningkat ke atas.

Contoh 18.2 — Lintasan Proyektil

Tanpa hambatan udara, posisi proyektil dengan kecepatan awal $\mathbf{v}_0 = \langle v_{0x}, v_{0y}, v_{0z} \rangle$ dan percepatan gravitasi $\mathbf{g} = \langle 0, 0, -g \rangle$:

$$\mathbf{r}(t) = \langle v_{0x}\,t,\; v_{0y}\,t,\; v_{0z}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2 \rangle + \mathbf{r}_0 $$

Lintasan ini adalah parabola yang terletak pada bidang vertikal yang ditentukan oleh $\mathbf{v}_0$ dan $\mathbf{g}$. ✓

Contoh 18.3 — Perpotongan Kurva dengan Bidang

Titik-titik di mana heliks $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$ memotong bidang $z = \pi/2$: set $t = \pi/2$, sehingga titiknya adalah $(\cos(\pi/2), \sin(\pi/2), \pi/2) = (0, 1, \pi/2)$. Hanya satu titik (karena $z = t$ adalah fungsi satu-satu). ✓

18.2 Limit dan Keberlanjutan Fungsi Vektor

Definisi 18.2 — Limit Fungsi Vektor

$$\lim_{t \to a}\mathbf{r}(t) = \mathbf{L} = \langle L_1, L_2, L_3 \rangle$$

berarti: untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sehingga $0 < |t-a| < \delta \implies |\mathbf{r}(t) - \mathbf{L}| < \varepsilon$.

Aturan komponen: limit ada jika dan hanya jika ketiga limit komponen ada, dan:

$$\lim_{t \to a}\mathbf{r}(t) = \left\langle \lim_{t \to a}x(t),\; \lim_{t \to a}y(t),\; \lim_{t \to a}z(t) \right\rangle $$

Definisi 18.3 — Keberlanjutan Fungsi Vektor

$\mathbf{r}(t)$ berkelanjutan di $t = a$ jika $\displaystyle\lim_{t \to a}\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$, yaitu jika dan hanya jika ketiga komponennya berkelanjutan di $t = a$.

18.3 Turunan Fungsi Vektor

Definisi 18.4 — Turunan Fungsi Vektor

$$\boxed{\mathbf{r}'(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}} $$

jika limit ini ada. Secara komponen:

$$\mathbf{r}'(t) = \langle x'(t),\; y'(t),\; z'(t) \rangle $$

Teorema 18.1 — Interpretasi Geometris $\mathbf{r}'(t)$

Jika $\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$, maka $\mathbf{r}'(t)$ adalah vektor tangen terhadap kurva di titik $\mathbf{r}(t)$. Arahnya searah dengan arah penelusuran kurva (nilai $t$ yang meningkat), dan panjangnya $|\mathbf{r}'(t)|$ adalah kecepatan penelusuran.

Mengapa $\mathbf{r}'(t)$ searah dengan tangen?

Vektor $\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)$ adalah tali busur dari $\mathbf{r}(t)$ ke $\mathbf{r}(t+h)$. Saat $h \to 0$, tali busur ini mendekati garis singgung, dan hasil baginya dengan $h$ hanya mengubah panjang (bukan arah, selama arah tali busur tidak berbalik). Jadi limitnya searah dengan garis singgung. $\quad\blacksquare$

Teorema 18.2 — Aturan Turunan Fungsi Vektor

Semua aturan turunan standar berlaku (dengan peringatan untuk cross product):

Konstanta: $\dfrac{d}{dt}[c\,\mathbf{r}(t)] = c\,\mathbf{r}'(t)$
Penjumlahan: $\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) + \mathbf{v}'(t)$
Perkalian skalar: $\dfrac{d}{dt}[f(t)\,\mathbf{r}(t)] = f'(t)\,\mathbf{r}(t) + f(t)\,\mathbf{r}'(t)$
Dot product: $\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t)\cdot\mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)$
Cross product: $\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t)\times\mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}'(t)$
Rantai: $\dfrac{d}{dt}[\mathbf{r}(g(t))] = \mathbf{r}'(g(t))\,g'(t)$

Peringatan: Urutan Penting dalam Cross Product!

Dalam aturan perkalian (product rule) untuk cross product, urutan faktor harus dipertahankan: $\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}\times\mathbf{v}] = \mathbf{u}'\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{v}'$. Jika Anda menulis $\mathbf{v}'\times\mathbf{u}$ pada suku pertama, itu sama dengan $-(\mathbf{u}'\times\mathbf{v})$ — salah!

Teorema 18.3 — Sifat-Sifat Penting

(a) Jika $|\mathbf{r}(t)|$ = konstan, maka $\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$ (vektor posisi tegak lurus terhadap vektor kecepatan).

(b) Jika $\mathbf{r}(t)$ selalu sejajar arah tetap, maka $\mathbf{r}(t) \times \mathbf{r}'(t) = \mathbf{0}$.

Bukti (a)

$|\mathbf{r}(t)|^2 = c^2$ → $\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t) = c^2$. Turunkan: $2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = 0$, sehingga $\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = 0$. $\quad\blacksquare$

Ini menjelaskan mengapa kecepatan selalu tegak lurus terhadap posisi pada gerak melingkar beraturan: jari-jari (posisi relatif terhadap pusat) konstan.

Contoh 18.4 — Turunan Heliks

$\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$:

$$\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t,\; \cos t,\; 1 \rangle, \qquad \mathbf{r}''(t) = \langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0 \rangle $$

Perhatikan: $\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = -\cos t\sin t + \sin t\cos t + t = t \neq 0$. Benar, karena $|\mathbf{r}(t)| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + t^2} = \sqrt{1+t^2}$ tidak konstan. ✓

18.4 Integral Fungsi Vektor

Definisi 18.5 — Integral Tak Tentu dan Tentu Fungsi Vektor

Integral tak tentu:

$$\int \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int x(t)\,dt,\; \int y(t)\,dt,\; \int z(t)\,dt \right\rangle + \mathbf{C} $$

di mana $\mathbf{C} = \langle C_1, C_2, C_3 \rangle$ adalah vektor konstanta integrasi.

Integral tentu:

$$\int_a^b \mathbf{r}(t)\,dt = \left\langle \int_a^b x(t)\,dt,\; \int_a^b y(t)\,dt,\; \int_a^b z(t)\,dt \right\rangle $$

Contoh 18.5 — Menemukan $\mathbf{r}(t)$ dari $\mathbf{r}'(t)$ dan Kondisi Awal

Diberikan $\mathbf{r}'(t) = \langle 2t, 3t^2, -1 \rangle$ dan $\mathbf{r}(0) = \langle 1, 0, 2 \rangle$:

$$\mathbf{r}(t) = \left\langle t^2 + C_1,\; t^3 + C_2,\; -t + C_3 \right\rangle $$

Kondisi awal: $C_1 = 1$, $C_2 = 0$, $C_3 = 2$:

$$\mathbf{r}(t) = \langle t^2 + 1,\; t^3,\; 2 - t \rangle $$

✓

18.5 Panjang Busur Kurva di Ruang

Teorema 18.4 — Panjang Busur

Panjang busur kurva $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$ untuk $t \in [a, b]$ (dengan $\mathbf{r}'(t)$ berkelanjutan):

$$\boxed{L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{\!2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{\!2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)^{\!2}}\;dt} $$

Definisi 18.6 — Fungsi Panjang Busur

Fungsi panjang busur dari titik awal ($t = a$) ke titik parameter $t$:

$$s(t) = \int_a^t |\mathbf{r}'(u)|\,du $$

dengan $s'(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \dfrac{ds}{dt}$. Jika $|\mathbf{r}'(t)| > 0$ untuk semua $t$, maka $s(t)$ fungsi naik tegas dan memiliki invers $t(s)$, memungkinkan reparametrisasi panjang busur.

Contoh 18.6 — Panjang Busur Heliks

$\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$, $t \in [0, 2\pi]$:

$$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2} $$

$$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2} $$

Panjang satu putaran penuh heliks selalu $2\pi\sqrt{a^2+b^2}$ untuk $\mathbf{r}(t) = \langle a\cos t, a\sin t, bt \rangle$. ✓

18.6 Vektor Tangen Satuan

Definisi 18.7 — Vektor Tangen Satuan $\mathbf{T}(t)$

$$\boxed{\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}} $$

Vektor ini selalu memiliki panjang 1 dan menunjuk ke arah penelusuran kurva. Dalam parameter panjang busur $s$:

$$\mathbf{T}(s) = \frac{d\mathbf{r}}{ds}, \qquad \left|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = 1 $$

Mengapa Parameter Panjang Busur Istimewa?

Dalam parameter $s$, turunan $\dfrac{d\mathbf{r}}{ds}$ sudah otomatis berpanjang 1 (karena $\left|\dfrac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = \dfrac{ds}{ds} = 1$). Ini menyederhanakan banyak rumus — khususnya rumus kurvatur menjadi $\kappa = |d\mathbf{T}/ds|$, tanpa faktor koreksi. Namun, menemukan $s(t)$ secara eksplisit sering kali tidak mungkin, sehingga rumus dalam parameter $t$ lebih praktis.

18.7 Kurvatur dan Jari-jari Kelengkungan

Kurvatur mengukur seberapa cepat kurva membengkok — seberapa cepat vektor tangen satuan berputar saat kita bergerak sepanjang kurva.

Definisi 18.8 — Kurvatur $\kappa$

Dalam parameter panjang busur:

$$\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right| $$

Satuan: 1/panjang (misalnya $\text{m}^{-1}$).

Teorema 18.5 — Rumus Kurvatur dalam Parameter $t$

$$\boxed{\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3}} $$

Rumus alternatif (untuk kurva bidang $y = f(x)$):

$$\kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left[1 + (f'(x))^2\right]^{3/2}} $$

Rumus alternatif (untuk kurva parametrik bidang):

$$\kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{\left[(x')^2 + (y')^2\right]^{3/2}} $$

Derivasi rumus $\kappa$ dalam parameter $t$

Dari aturan rantai: $\dfrac{d\mathbf{T}}{dt} = \dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\cdot\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\cdot|\mathbf{r}'(t)|$, sehingga:

$$\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right| = \frac{|d\mathbf{T}/dt|}{|\mathbf{r}'(t)|} $$

Dari $\mathbf{T} = \mathbf{r}'/|\mathbf{r}'|$ dan aturan quotient (diselesaikan melalui cross product):

$$\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{\mathbf{r}''|\mathbf{r}'| - \mathbf{r}'\dfrac{d}{dt}|\mathbf{r}'|}{|\mathbf{r}'|^2} $$

Setelah manipulasi aljabar vektor (menggunakan sifat cross product dan triple product), diperoleh $|d\mathbf{T}/dt| = |\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|/|\mathbf{r}'|^2$. Substitusi:

$$\kappa = \frac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|/|\mathbf{r}'|^2}{|\mathbf{r}'|} = \frac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3} \quad \blacksquare $$

Definisi 18.9 — Jari-jari Kelengkungan

$$\rho = \frac{1}{\kappa} $$

Lingkaran oskulasi (osculating circle) di titik $P$ pada kurva adalah lingkaran berjari-jari $\rho$ yang paling "rapat" menyentuh kurva di $P$ — memiliki tangen, kurvatur, dan turunan kurvatur yang sama.

Contoh 18.7 — Kurvatur Heliks

$\mathbf{r}(t) = \langle a\cos t, a\sin t, bt \rangle$:

$$\mathbf{r}'(t) = \langle -a\sin t,\; a\cos t,\; b \rangle, \qquad \mathbf{r}''(t) = \langle -a\cos t,\; -a\sin t,\; 0 \rangle $$

$$\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a\sin t & a\cos t & b \\ -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix} = \langle ab\sin t,\; -ab\cos t,\; a^2 \rangle $$

$$|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''| = \sqrt{a^2b^2\sin^2 t + a^2b^2\cos^2 t + a^4} = a\sqrt{a^2+b^2} $$

$$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

$$\kappa = \frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}} = \frac{a}{a^2+b^2} $$

Kurvatur heliks konstan — sama di setiap titik! Ini analog dengan lingkaran (yang juga memiliki kurvatur konstan), dan menjelaskan mengapa heliks terasa "seragam." Jika $b = 0$ (lingkaran), $\kappa = 1/a$, sesuai yang diharapkan. ✓

Contoh 18.8 — Kurvatur Parabola $y = x^2$ di Origin

$f(x) = x^2$, $f'(0) = 0$, $f''(0) = 2$:

$$\kappa(0) = \frac{|2|}{(1+0)^{3/2}} = 2 $$

Jari-jari kelengkungan: $\rho = 1/2$. Lingkaran oskulasi di origin memiliki jari-jari $0.5$ dan pusat di $(0, 0.5)$. ✓

18.8 Vektor Normal Utama dan Vektor Binormal

Definisi 18.10 — Vektor Normal Utama $\mathbf{N}(t)$

$$\boxed{\mathbf{N}(t) = \frac{1}{\kappa}\,\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}} $$

(Rumus kedua berguna saat menghitung dalam parameter $t$.) $\mathbf{N}(t)$ menunjuk ke arah di mana kurva membengkok — yaitu, ke arah pusat lingkaran oskulasi.

Definisi 18.11 — Vektor Binormal $\mathbf{B}(t)$

$$\boxed{\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)} $$

Properti TNB

$\{\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\}$ membentuk basis ortonormal tangan kanan yang bergerak sepanjang kurva: setiap vektor berpanjang 1, saling tegak lurus, dan $\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\mathbf{B}$. Ketiganya menentukan bidang oskulasi (bidang yang dibentuk $\mathbf{T}$ dan $\mathbf{N}$), bidang normal ($\mathbf{N}$ dan $\mathbf{B}$), dan bidang rektifikan ($\mathbf{T}$ dan $\mathbf{B}$).

Gambar 18.4 — Bingkai Frenet-Serret $\{\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\}$ dan bidang oskulasi (berbayang tipis). Lingkaran oskulasi (putus-putus ungu) terletak di bidang oskulasi.

Contoh 18.9 — TNB untuk Heliks

$\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$ ($a = 1$, $b = 1$):

Tangen satuan:

$$\mathbf{T}(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle -\sin t,\; \cos t,\; 1 \rangle $$

Normal utama:

$$\mathbf{T}'(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0 \rangle, \quad |\mathbf{T}'(t)| = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$\mathbf{N}(t) = \langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0 \rangle $$

Binormal:

$$\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}\times\mathbf{N} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\sin t & \cos t & 1 \\ -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle \sin t,\; -\cos t,\; 1 \rangle $$

Perhatikan: $\mathbf{N}$ selalu mengarah ke sumbu-$z$ (pusat lingkaran proyeksi $xy$), dan semua tiga vektor berotasi seragam seiring $t$. ✓

18.9 Rumus Frenet-Serret

Teorema 18.6 — Rumus Frenet-Serret

Turunan basis TNB terhadap panjang busur $s$:

$$\boxed{\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa\,\mathbf{N}, \qquad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa\,\mathbf{T} + \tau\,\mathbf{B}, \qquad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau\,\mathbf{N}} $$

di mana $\kappa$ adalah kurvatur dan $\tau$ adalah tonjolan (torsion).

Definisi 18.12 — Tonjolan (Torsion) $\tau$

Tonjolan mengukur seberapa cepat kurva meninggalkan bidang oskulasi — seberapa "twisted" kurva tersebut.

$$\tau = -\mathbf{N}\cdot\frac{d\mathbf{B}}{ds} = \frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|^2} $$

Interpretasi:

$\tau = 0$: kurva planar (terletak pada satu bidang)
$\tau > 0$: kurva "memilin" ke satu arah
$\tau < 0$: kurva "memilin" ke arah berlawanan

Kurvatur vs. Tonjolan

Kurvatur $\kappa$ menjawab: "Seberapa cepat kurva membengkok di dalam bidang oskulasi?" (Perubahan arah $\mathbf{T}$ di dalam bidang oskulasi.) Tonjolan $\tau$ menjawab: "Seberapa cepat bidang oskulasi itu sendiri berputar?" (Perubahan arah $\mathbf{B}$, yang normal terhadap bidang oskulasi.) Bersama-sama, $\kappa$ dan $\tau$ secara lengkap menggambarkan geometri lokal kurva — ini adalah "sidik jari" kurva.

Contoh 18.10 — Tonjolan Heliks

Dari Contoh 18.9, $\mathbf{B}(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle \sin t, -\cos t, 1 \rangle$:

$$\frac{d\mathbf{B}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle \cos t,\; \sin t,\; 0 \rangle = -\mathbf{N}(t)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} $$

Karena $\dfrac{ds}{dt} = \sqrt{2}$:

$$\frac{d\mathbf{B}}{ds} = \frac{d\mathbf{B}/dt}{ds/dt} = \frac{-\mathbf{N}/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}\,\mathbf{N} $$

Jadi $\tau = \dfrac{1}{2}$ (konstan positif). Heliks memiliki kurvatur dan tonjolan yang keduanya konstan — sifat unik yang menjelaskan keharmonisan geometrisnya. ✓

Contoh 18.11 — Tonjolan Kurva Planar

Untuk setiap kurva bidang, $\mathbf{B}$ konstan (tegak lurus terhadap bidang kurva), sehingga $d\mathbf{B}/ds = \mathbf{0}$ dan $\tau = 0$. Contoh: lingkaran, parabola, elips — semuanya memiliki tonjolan nol. ✓

18.10 Komponen Akselerasi: Tangensial dan Normal

Dalam kinematika, $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)$ adalah kecepatan dan $\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t)$ adalah percepatan. Akselerasi dapat didekomposisi menjadi dua komponen yang secara fisik sangat berbeda.

Teorema 18.7 — Dekomposisi Akselerasi

$$\boxed{\mathbf{a} = a_T\,\mathbf{T} + a_N\,\mathbf{N}} $$

di mana:

$$a_T = \frac{d}{dt}|\mathbf{v}| = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}, \qquad a_N = \kappa\,|\mathbf{v}|^2 = \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|} $$

Derivasi

Dari $\mathbf{v} = |\mathbf{v}|\,\mathbf{T}$, turunkan:

$$\mathbf{a} = \frac{d}{dt}(|\mathbf{v}|\,\mathbf{T}) = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt}\,\mathbf{T} + |\mathbf{v}|\,\frac{d\mathbf{T}}{dt} $$

Komponen pertama sudah $a_T\,\mathbf{T}$. Untuk komponen kedua, gunakan $d\mathbf{T}/dt = (d\mathbf{T}/ds)(ds/dt) = \kappa\mathbf{N}\cdot|\mathbf{v}|$:

$$|\mathbf{v}|\,\frac{d\mathbf{T}}{dt} = |\mathbf{v}|\cdot\kappa\mathbf{N}\cdot|\mathbf{v}| = \kappa|\mathbf{v}|^2\,\mathbf{N} = a_N\,\mathbf{N} \quad \blacksquare $$

Gambar 18.5 — Dekomposisi akselerasi: a_TT + a_NN. Komponen tangensial mengubah kecepatan linier, komponen normal mengubah arah.

Interpretasi Fisik

$a_T$ adalah "pedal gas/rem": positif saat partikel mempercepat (menambah kecepatan), negatif saat memperlambat, nol saat kecepatan konstan (gerak uniform). $a_N$ adalah "setir": selalu non-negatif, nol pada garis lurus, besar pada tikungan tajam. Gaya sentripetal $F_N = m\,a_N = m\kappa v^2$ adalah gaya yang diperlukan untuk membuat partikel berbelok.

Contoh 18.12 — Dekomposisi Akselerasi Heliks

$\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$:

$$\mathbf{v} = \langle -\sin t,\; \cos t,\; 1 \rangle, \quad |\mathbf{v}| = \sqrt{2}, \quad \mathbf{a} = \langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0 \rangle $$

Komponen tangensial:

$$a_T = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|} = \frac{\sin t\cos t - \sin t\cos t + 0}{\sqrt{2}} = 0 $$

Komponen normal:

$$a_N = \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 $$

Seluruh akselerasi bersifat normal ($\mathbf{a} = 0\cdot\mathbf{T} + 1\cdot\mathbf{N} = \mathbf{N}$). Kecepatan besarnya konstan ($\sqrt{2}$), akselerasi hanya mengubah arah. Ini sama dengan gerak melingkar beraturan dalam mekanika — heliks adalah "gerak melingkar beraturan yang naik." ✓

Contoh 18.13 — Proyektil: Komponen Akselerasi

$\mathbf{r}(t) = \langle v_0 t,\; 0,\; v_0 t - \frac{1}{2}g t^2 \rangle$ (dilempar miring di bidang $xz$):

$$\mathbf{v} = \langle v_0,\; 0,\; v_0 - gt \rangle, \quad \mathbf{a} = \langle 0,\; 0,\; -g \rangle $$

$$a_T = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|} = \frac{-g(v_0 - gt)}{\sqrt{v_0^2 + (v_0-gt)^2}} $$

$$a_N = \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|gv_0|}{\sqrt{v_0^2 + (v_0-gt)^2}} $$

Di puncak lintasan ($v_0 - gt = 0$): $a_T = 0$ (kecepatan minimum, sesaat tidak berubah), $a_N = g$ (seluruh gravitasi mengubah arah). Di titik lempar ($t=0$): $a_T = -gv_0/(v_0\sqrt{2}) = -g/\sqrt{2}$, $a_N = g/\sqrt{2}$. ✓

18.11 Aplikasi: Gerak Partikel di Ruang

Teorema 18.8 — Hukum Newton dalam Bentuk Vektor

$$\mathbf{F} = m\,\mathbf{a} = m\,\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} $$

Diketahui $\mathbf{F}$, integrasikan dua kali untuk mendapatkan $\mathbf{r}(t)$, menggunakan kondisi awal $\mathbf{r}(0)$ dan $\mathbf{v}(0)$ untuk menentukan konstanta integrasi.

Contoh 18.14 — Gerak di Bawah Gaya Konstan

Partikel bermassa $m$ dengan $\mathbf{F} = \langle 0, 0, -mg \rangle$, posisi awal $\mathbf{r}_0 = \langle 0, 0, h \rangle$, kecepatan awal $\mathbf{v}_0 = \langle v_{0x}, v_{0y}, v_{0z} \rangle$:

$$\mathbf{a} = \langle 0,\, 0,\, -g \rangle \implies \mathbf{v}(t) = \langle v_{0x},\, v_{0y},\, v_{0z} - gt \rangle $$

$$\mathbf{r}(t) = \langle v_{0x}\,t,\; v_{0y}\,t,\; h + v_{0z}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2 \rangle $$

Lintasan selalu parabola (atau garis lurus jika $v_{0x} = v_{0y} = 0$), terletak pada bidang vertikal yang ditentukan oleh $\mathbf{v}_0$ dan $\mathbf{g}$. ✓

Contoh 18.15 — Gerak Melingkar Beraturan

Partikel bergerak pada lingkaran berjari-jari $R$ di bidang $xy$ dengan kecepatan sudut $\omega$:

$$\mathbf{r}(t) = \langle R\cos\omega t,\; R\sin\omega t,\; 0 \rangle $$

$$\mathbf{v}(t) = \langle -R\omega\sin\omega t,\; R\omega\cos\omega t,\; 0 \rangle, \quad |\mathbf{v}| = R\omega $$

$$\mathbf{a}(t) = \langle -R\omega^2\cos\omega t,\; -R\omega^2\sin\omega t,\; 0 \rangle = -\omega^2\,\mathbf{r}(t) $$

Akselerasi selalu mengarah ke pusat (akselerasi sentripetal), dengan $|\mathbf{a}| = R\omega^2 = v^2/R$. Verifikasi: $\kappa = 1/R$, $a_N = \kappa v^2 = (1/R)(R\omega)^2 = R\omega^2$ ✓, $a_T = 0$ ✓ (kecepatan konstan). ✓

18.12 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 18

Kuantitas	Rumus (parameter $t$)
Turunan	$\mathbf{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t), z'(t) \rangle$
Vektor tangen satuan	$\mathbf{T} = \dfrac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}$
Panjang busur	$L = \displaystyle\int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt$
Fungsi panjang busur	$s(t) = \displaystyle\int_a^t \|\mathbf{r}'(u)\|\,du$
Kurvatur	$\kappa = \dfrac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3}$
Jari-jari kelengkungan	$\rho = 1/\kappa$
Normal utama	$\mathbf{N} = \dfrac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|}$
Binormal	$\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N}$
Tonjolan	$\tau = \dfrac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}$
Komponen $a_T$	$a_T = \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|} = \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|$
Komponen $a_N$	$a_N = \dfrac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|} = \kappa\,\|\mathbf{v}\|^2$
Dekomposisi	$\mathbf{a} = a_T\,\mathbf{T} + a_N\,\mathbf{N}$

Dari Kurva 3D ke Integral Garis

Semua konsep dalam bab ini — fungsi vektor, panjang busur, vektor tangen, dan kurvatur — akan menjadi fondasi bagi integral garis (Bab 23). Di sana, kita akan mengintegrasikan fungsi (skalar atau vektor) sepanjang kurva $\mathbf{r}(t)$, dan elemen $ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt$ yang diperkenalkan di sini akan muncul secara natural. Bingkai TNB juga muncul dalam Teorema Stokes (Bab 24), di mana rotasi medan vektor dihubungkan dengan sirkulasi di sepanjang tepi permukaan.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 18

Gambarkan lintasan $\mathbf{r}(t) = \langle t^2, t^4, t^6 \rangle$ untuk $t \geq 0$. Tunjukkan bahwa lintasan ini terletak pada permukaan $z = x^3$ (atau permukaan lain yang sesuai). Berikan persamaan kartesian lengkap dari kurva ini.
Hitung $\mathbf{r}'(t)$ dan $\mathbf{r}''(t)$ untuk $\mathbf{r}(t) = \langle t\,e^t,\; t^2+1,\; \ln(1+t) \rangle$. Tentukan titik-titik di mana $\mathbf{r}'(t)$ tegak lurus terhadap $\mathbf{r}''(t)$.
Hitung panjang busur kurva $\mathbf{r}(t) = \langle e^t\cos t,\; e^t\sin t,\; e^t \rangle$ dari $t=0$ hingga $t=1$. Petunjuk: sederhanakan $|\mathbf{r}'(t)|$ terlebih dahulu.
Hitung kurvatur kurva $\mathbf{r}(t) = \langle t,\; t^2,\; t^3 \rangle$ di $t = 0$ dan $t = 1$. Di titik mana kurva lebih "bengkok"?
Hitung kurvatur parabola $y = ax^2 + bx + c$ sebagai fungsi $x$, dan tunjukkan bahwa kurvatur maksimum terjadi di puncak parabola.
Tentukan basis TNB untuk kurva $\mathbf{r}(t) = \langle \cosh t,\; \sinh t,\; t \rangle$ di $t = 0$. Hitung juga $\kappa$ dan $\tau$ di titik ini.
Tunjukkan bahwa untuk setiap kurva dengan $\tau = 0$ di semua titik, kurva tersebut terletak pada sebuah bidang. Petunjuk: jika $\mathbf{B}$ konstan, maka $\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B} = 0$, yang berarti $\mathbf{r}(t)$ selalu pada bidang yang tegak lurus $\mathbf{B}$.
Partikel bergerak dengan $\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos 3t,\; 2\sin 3t,\; 4t \rangle$. Hitung $a_T$ dan $a_N$. Berapa kecepatan linear? Berapa kurvatur? Verifikasi bahwa $a_N = \kappa v^2$.
Sebuah partikel dilempar dari titik $(0, 0, 10)$ dengan kecepatan awal $\mathbf{v}_0 = \langle 3, 4, 8 \rangle$ m/s di bawah gravitasi $g = 9.8$ m/s². (a) Tentukan $\mathbf{r}(t)$. (b) Kapan dan di mana partikel menyentuh bidang $z = 0$? (c) Hitung kecepatan saat tumbukan.
Tunjukkan bahwa rumus kurvatur dalam parameter $t$ mengurangi menjadi rumus kurvatur untuk kurva bidang $y = f(x)$ dengan substitusi $\mathbf{r}(t) = \langle t, f(t), 0 \rangle$.

Jembatan ke Bab 19–20

Bab 18 membahas satu variabel independen ($t$) yang menghasilkan vektor di $\mathbb{R}^3$. Bab 19 membalik situasi: banyak variabel independen ($x, y$ atau $x, y, z$) yang menghasilkan satu nilai (skalar) $f(x,y)$ atau $f(x,y,z)$. Ini adalah fungsi multivariabel — objek sentral Kalkulus III. Turunan parsial (Bab 19) menggantikan turunan biasa, gradien menggantikan turunan sebagai vektor, dan bidang tangen (Bab 20) menggantikan garis singgung sebagai aproksimasi linear lokal.

Sebelumnya

Bab 17: Vektor & Ruang 3D

Selanjutnya

Bab 19: Turunan Parsial