Bab 5

Integral Tak Tentu (Antiturunan)

Integral tak tentu adalah operasi balikan dari turunan — ia menjawab pertanyaan "fungsi apa yang memiliki turunan tertentu?" Bab ini membangun definisi formal antiturunan, menyajikan tabel integral dasar yang harus dihafal, membahas sifat-sifat aljabar integral, dan menunjukkan bagaimana teknik pengenalan pola dapat menyelesaikan integral sederhana tanpa substitusi formal.

DEF Definisi SIF Sifat TBL Tabel POL Pola PD Pers. Dif.
Gambar 5.1 — Alur konsep Bab 5: dari definisi antiturunan hingga persamaan diferensial dasar

5.1 Motivasi: Operasi Balikan Turunan

Dalam Bab 3, kita belajar bahwa jika \(f(x) = x^2\), maka \(f'(x) = 2x\). Pertanyaan balik yang muncul secara alami dalam banyak konteks teknik adalah:

$$\text{Jika } \frac{dy}{dx} = 2x, \quad \text{apa } y(x)\text{?}$$

Jawabannya adalah \(y = x^2\), tetapi juga \(y = x^2 + 1\), \(y = x^2 - 5\), \(y = x^2 + \pi\), dan seterusnya — setiap konstanta yang ditambahkan menghasilkan turunan yang sama karena \(\dfrac{d}{dx}(C) = 0\).

Koneksi ke Teknik

Jika kita mengetahui percepatan \(a(t)\) suatu benda dan ingin mencari kecepatan \(v(t)\), kita perlu "mengintegralkan" percepatan. Dari kecepatan, kita perlu mengintegralkan lagi untuk mendapatkan posisi \(s(t)\). Ini adalah operasi balikan turunan — dan di situlah integral tak tentu memainkan perannya.

Contoh 5.1 — Dari Percepatan ke Posisi

Sebuah partikel memiliki percepatan \(a(t) = 6t - 4\) m/s\(^2\). Pada \(t = 0\), kecepatan awal \(v_0 = 2\) m/s dan posisi awal \(s_0 = 5\) m.

Langkah 1: Cari \(v(t)\) dari \(a(t) = v'(t)\):

$$v(t) = \int (6t - 4)\, dt = 3t^2 - 4t + C_1$$

Kondisi awal: \(v(0) = 2 \implies C_1 = 2\).

$$v(t) = 3t^2 - 4t + 2$$

Langkah 2: Cari \(s(t)\) dari \(v(t) = s'(t)\):

$$s(t) = \int (3t^2 - 4t + 2)\, dt = t^3 - 2t^2 + 2t + C_2$$

Kondisi awal: \(s(0) = 5 \implies C_2 = 5\).

$$\boxed{s(t) = t^3 - 2t^2 + 2t + 5}$$

5.2 Definisi Antiturunan dan Notasi Integral

Definisi 5.1 — Antiturunan

Fungsi \(F\) disebut antiturunan (antiderivative) dari \(f\) pada interval \(I\) jika:

$$F'(x) = f(x) \quad \text{untuk semua } x \in I$$
Teorema 5.1 — Uniknesehingga-Konstanta

Jika \(F\) dan \(G\) keduanya antiturunan \(f\) pada interval \(I\), maka terdapat konstanta \(C\) sehingga:

$$G(x) = F(x) + C \quad \text{untuk semua } x \in I$$

Bukti: Misalkan \(H(x) = G(x) - F(x)\). Maka \(H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\) untuk semua \(x \in I\). Oleh Korolari 4.1 (Bab 4), \(H(x) = C\). ∎

Definisi 5.2 — Integral Tak Tentu

Notasi integral tak tentu:

$$\int f(x)\, dx = F(x) + C$$

di mana \(F\) adalah salah satu antiturunan \(f\), dan \(C\) disebut konstanta integrasi. Simbol \(\int\) disebut tanda integral, \(f(x)\) disebut integrand, dan \(dx\) menunjukkan variabel integrasi.

Peringatan

Jangan pernah lupa menulis \(+ C\) pada akhir integral tak tentu! Meskipun terlihat sepele, konstanta ini memiliki makna fisik yang kritis (seperti yang kita lihat pada Contoh 5.1 — tanpa \(C\), kita tidak bisa memenuhi kondisi awal). Satu-satunya pengecualian adalah ketika soal secara eksplisit meminta "satu antiturunan" atau ketika kita akan menghitung integral tentu (di mana \(C\) otomatis tereliminasi).

5.3 Sifat-Sifat Dasar Integral Tak Tentu

Teorema 5.2 — Sifat Aljabar Integral Tak Tentu
  1. Konstanta keluar: \(\displaystyle\int c\,f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx\)
  2. Linearitas penjumlahan: \(\displaystyle\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx\)
  3. Linearitas pengurangan: \(\displaystyle\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx\)
Catatan

Sifat-sifat ini adalah balikan langsung dari sifat linearitas turunan. Misalnya, karena \(\dfrac{d}{dx}[F + G] = F' + G' = f + g\), maka \(\int(f+g)\,dx = F + G + C = \int f\,dx + \int g\,dx\). Perhatikan bahwa secara teknis setiap integral memiliki konstantanya sendiri, tetapi mereka bisa digabung menjadi satu konstanta \(C\).

Contoh 5.2 — Menggunakan Linearitas

\(\displaystyle\int (6x^5 - 4x^3 + 2x - 7)\,dx\)

$$= 6 \cdot \frac{x^6}{6} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C = \boxed{x^6 - x^4 + x^2 - 7x + C}$$

5.4 Tabel Integral Dasar

Tabel berikut harus di hafal — ia merupakan fondasi untuk semua teknik integrasi di Bab 7. Setiap rumus dapat diverifikasi dengan menurunkan ruas kanan.

5.4.1 Fungsi Pangkat

No.\(\displaystyle\int f(x)\,dx\)HasilSyarat
1\(\displaystyle\int x^n\,dx\)\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)\(n \neq -1\)
2\(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\)\(\ln|x| + C\)\(x \neq 0\)
3\(\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx\)\(-\dfrac{1}{x} + C\)\(x \neq 0\)
4\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)\(2\sqrt{x} + C\)\(x > 0\)
5\(\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx\)\(\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C\)\(x \geq 0\)
Verifikasi: Mengapa \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|\) (bukan \(\frac{x^0}{0}\))

Rumus pangkat \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) gagal untuk \(n = -1\) karena penyebutnya nol. Kita membutuhkan fungsi lain yang turunannya \(= \dfrac{1}{x}\).

Untuk \(x > 0\): \(\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}\) ✓

Untuk \(x < 0\): misalkan \(u = -x > 0\). Maka \(\dfrac{d}{dx}(\ln(-x)) = \dfrac{1}{-x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{x}\) ✓

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \begin{cases} \ln x + C, & x > 0 \\ \ln(-x) + C, & x < 0 \end{cases} \quad \xrightarrow{\text{gabungkan}} \quad \ln|x| + C$$

5.4.2 Fungsi Eksponensial dan Logaritma

No.\(\displaystyle\int f(x)\,dx\)Hasil
6\(\displaystyle\int e^x\,dx\)\(e^x + C\)
7\(\displaystyle\int a^x\,dx\)\(\dfrac{a^x}{\ln a} + C\)
8\(\displaystyle\int e^{kx}\,dx\)\(\dfrac{1}{k}\,e^{kx} + C\)

5.4.3 Fungsi Trigonometri

No.\(\displaystyle\int f(x)\,dx\)Hasil
9\(\displaystyle\int \sin x\,dx\)\(-\cos x + C\)
10\(\displaystyle\int \cos x\,dx\)\(\sin x + C\)
11\(\displaystyle\int \sec^2 x\,dx\)\(\tan x + C\)
12\(\displaystyle\int \csc^2 x\,dx\)\(-\cot x + C\)
13\(\displaystyle\int \sec x \tan x\,dx\)\(\sec x + C\)
14\(\displaystyle\int \csc x \cot x\,dx\)\(-\csc x + C\)

5.4.4 Fungsi Invers Trigonometri

No.\(\displaystyle\int f(x)\,dx\)HasilSyarat
15\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx\)\(\arcsin x + C\)\(|x| < 1\)
16\(\displaystyle\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx\)\(\arccos x + C\)\(|x| < 1\)
17\(\displaystyle\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx\)\(\arctan x + C\)\(\mathbb{R}\)
18\(\displaystyle\int \frac{-1}{1 + x^2}\,dx\)\(\text{arccot}\, x + C\)\(\mathbb{R}\)

5.4.5 Fungsi Hiperbolik

No.\(\displaystyle\int f(x)\,dx\)Hasil
19\(\displaystyle\int \cosh x\,dx\)\(\sinh x + C\)
20\(\displaystyle\int \sinh x\,dx\)\(\cosh x + C\)
21\(\displaystyle\int \text{sech}^2 x\,dx\)\(\tanh x + C\)
22\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx\)\(\text{arsinh}\, x + C = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C\)
23\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx\)\(\text{arcosh}\, x + C = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C\)

5.5 Integrasi Langsung: Pengenalan Pola

Banyak integral yang terlihat rumit sebenarnya dapat diselesaikan langsung dengan mengenali pola dari tabel integral dasar, setelah melakukan "penyesuaian kecil" pada eksponen atau koefisien. Kunci utamanya: balikkan aturan rantai secara mental.

Contoh 5.3 — Pangkat Rasional

(a) \(\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}\,dx = \int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}\,x^{5/3} + C\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{1}{x\sqrt[4]{x^3}}\,dx = \int x^{-1}\cdot x^{-3/4}\,dx = \int x^{-7/4}\,dx = \frac{x^{-3/4}}{-3/4} + C = -\frac{4}{3}\,\frac{1}{x^{3/4}} + C\)

(c) \(\displaystyle\int \frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}\,dx\). Ekspansi dulu:

$$= \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^{1/2}}\,dx = \int (x^{3/2} + 2x^{1/2} + x^{-1/2})\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$$
Contoh 5.4 — Eksponensial dengan Faktor Konstanta

(a) \(\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\,e^{3x} + C\)

Verifikasi: \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) = \dfrac{1}{3}\cdot 3e^{3x} = e^{3x}\) ✓

(b) \(\displaystyle\int 5e^{-2x}\,dx = 5 \cdot \frac{1}{-2}\,e^{-2x} + C = -\frac{5}{2}\,e^{-2x} + C\)

(c) \(\displaystyle\int 2^{3x}\,dx = \frac{2^{3x}}{3\ln 2} + C\)

Verifikasi: \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{2^{3x}}{3\ln 2}\right) = \dfrac{2^{3x}\ln 2 \cdot 3}{3\ln 2} = 2^{3x}\) ✓

Contoh 5.5 — Trigonometri dengan Perkalian Skalar

(a) \(\displaystyle\int \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C\)

(b) \(\displaystyle\int \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)dx = 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) + C\)

(c) \(\displaystyle\int \sec^2(4x)\,dx = \frac{1}{4}\tan(4x) + C\)

(d) \(\displaystyle\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C\)

Contoh 5.6 — Kombinasi Berbagai Tipe

\(\displaystyle\int \left(3e^{2x} - 4\cos\frac{x}{2} + \frac{5}{1+x^2} - \sqrt{x}\right)dx\)

$$= \frac{3}{2}e^{2x} - 4\cdot 2\sin\frac{x}{2} + 5\arctan x - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$
$$= \boxed{\frac{3}{2}e^{2x} - 8\sin\frac{x}{2} + 5\arctan x - \frac{2}{3}x^{3/2} + C}$$
Contoh 5.7 — Pola \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}\)

Perhatikan bahwa \(\dfrac{d}{dx}(\ln|f(x)|) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\). Ini memberikan pola penting:

(a) \(\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C\)   (karena \(\dfrac{d}{dx}(x^2+1) = 2x\))

(b) \(\displaystyle\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \ln(e^x+1) + C\)

(c) \(\displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln|\sin x| + C\)

(d) \(\displaystyle\int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \ln|\sin x| + C\)

Contoh 5.8 — Pola Turunan Rantai Terbalik

(a) \(\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx\). Perhatikan: jika \(u = x^2\), maka \(du = 2x\,dx\). Integrand memiliki faktor \(x\,dx = \frac{1}{2}du\):

$$= \frac{1}{2}\int e^{x^2}\cdot 2x\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

(b) \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\). Jika \(u = 1 - x^2\), maka \(du = -2x\,dx\):

$$= -\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$

(c) \(\displaystyle\int x^2\cos(x^3)\,dx\). Jika \(u = x^3\), maka \(du = 3x^2\,dx\):

$$= \frac{1}{3}\int 3x^2\cos(x^3)\,dx = \frac{1}{3}\sin(x^3) + C$$
Contoh 5.9 — Integral Fungsi Rasional Sederhana

(a) \(\displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}\,dx\). Perhatikan pembilang \(=\) turunan penyebut!

$$= \ln|x^2+3x+5| + C$$

Verifikasi: \(\dfrac{d}{dx}\ln(x^2+3x+5) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x+5}\) ✓

(b) \(\displaystyle\int \frac{6x^2 + 2x - 1}{2x^3 + x^2 - x}\,dx\). Pembilang \(= \) setengah dari turunan penyebut, jadi:

$$= \frac{1}{2}\ln|2x^3 + x^2 - x| + C$$
Contoh 5.10 — Pola Trigonometri Khusus

(a) \(\displaystyle\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C\)

(b) \(\displaystyle\int \sec x\,dx\). Trik klasik — kalikan dengan \(\dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\):

$$= \int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$
$$= \ln|\sec x + \tan x| + C$$

Verifikasi: \(\dfrac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = (\sec x + \tan x)\sec x\), sehingga \(\dfrac{d}{dx}\ln|\sec x + \tan x| = \dfrac{(\sec x + \tan x)\sec x}{\sec x + \tan x} = \sec x\) ✓

(c) \(\displaystyle\int \csc x\,dx\). Dengan trik serupa:

$$= -\ln|\csc x + \cot x| + C = \ln|\csc x - \cot x| + C$$

5.6 Menentukan Fungsi dari Turunannya

Jika turunan suatu fungsi diketahui beserta sebuah kondisi (nilai fungsi di suatu titik), kita dapat menentukan fungsi tersebut secara unik — konstanta integrasi ditentukan oleh kondisi tersebut.

Contoh 5.11 — Menentukan Fungsi dari \(f'\) dan Satu Kondisi

Soal: \(f'(x) = 6x^2 - 4x + 3\) dan \(f(1) = 5\). Tentukan \(f(x)\).

$$f(x) = \int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$
$$f(1) = 2 - 2 + 3 + C = 5 \implies C = 2$$
$$\boxed{f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + 2}$$
Contoh 5.12 — Menentukan Fungsi dari \(f''\)

Soal: \(f''(x) = 12x^2 - 6\), \(f'(0) = 1\), \(f(0) = 2\).

Langkah 1: Integral \(f''\) untuk mendapat \(f'\):

$$f'(x) = \int (12x^2 - 6)\,dx = 4x^3 - 6x + C_1$$
$$f'(0) = C_1 = 1 \implies f'(x) = 4x^3 - 6x + 1$$

Langkah 2: Integral \(f'\) untuk mendapat \(f\):

$$f(x) = \int (4x^3 - 6x + 1)\,dx = x^4 - 3x^2 + x + C_2$$
$$f(0) = C_2 = 2 \implies \boxed{f(x) = x^4 - 3x^2 + x + 2}$$
Contoh 5.13 — Menentukan Fungsi dari \(f'''\)

Soal: \(f'''(x) = \cos x\), \(f''(0) = 0\), \(f'(0) = 1\), \(f(0) = 0\).

$$f''(x) = \sin x + C_1, \quad f''(0) = 0 + C_1 = 0 \implies f''(x) = \sin x$$
$$f'(x) = -\cos x + C_2, \quad f'(0) = -1 + C_2 = 1 \implies C_2 = 2 \implies f'(x) = -\cos x + 2$$
$$f(x) = -\sin x + 2x + C_3, \quad f(0) = 0 + 0 + C_3 = 0 \implies \boxed{f(x) = -\sin x + 2x}$$
Contoh 5.14 — Garis Singgung dari Integral

Soal: Kurva \(y = f(x)\) melalui \((1, 6)\) dan di setiap titik \((x, f(x))\) garis singgungnya memiliki kemiringan \(3x^2 - 2x + 1\). Tentukan \(f(x)\).

$$f'(x) = 3x^2 - 2x + 1$$
$$f(x) = \int (3x^2 - 2x + 1)\,dx = x^3 - x^2 + x + C$$
$$f(1) = 1 - 1 + 1 + C = 6 \implies C = 5 \implies \boxed{f(x) = x^3 - x^2 + x + 5}$$

5.7 Persamaan Diferensial Orde Pertama Dasar

Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang melibatkan turunan suatu fungsi. Bentuk paling sederhana:

$$\frac{dy}{dx} = f(x)$$

Penyelesaiannya langsung: \(y = \displaystyle\int f(x)\,dx + C\). Jika ada kondisi awal \(y(x_0) = y_0\), maka \(C\) ditentukan secara unik.

Contoh 5.15 — PD Langsung

Soal: \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3 + 1\), dengan \(y(0) = 3\).

$$y = \int (4x^3 + 1)\,dx = x^4 + x + C$$
$$y(0) = 0 + 0 + C = 3 \implies \boxed{y = x^4 + x + 3}$$
Contoh 5.16 — PD Terpisahkan (Separable) Sederhana

Soal: \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}\), dengan \(y(1) = 2\).

Langkah 1: Pisahkan variabel:

$$y\,dy = x^2\,dx$$

Langkah 2: Integral kedua ruas:

$$\int y\,dy = \int x^2\,dx \implies \frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + C$$

Langkah 3: Substitusi kondisi awal \(y(1) = 2\):

$$\frac{4}{2} = \frac{1}{3} + C \implies C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$

Langkah 4: Selesaikan untuk \(y\):

$$\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{x^3 + 5}{3} \implies y^2 = \frac{2(x^3 + 5)}{3}$$
$$\boxed{y = \sqrt{\frac{2(x^3+5)}{3}}}$$

(Akar positif karena \(y(1) = 2 > 0\).)

Contoh 5.17 — PD dengan Eksponensial

Soal: \(\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\), dengan \(y(0) = \ln 2\).

$$e^y\,dy = dx \implies \int e^y\,dy = \int dx \implies e^y = x + C$$
$$e^{\ln 2} = 0 + C \implies C = 2 \implies e^y = x + 2$$
$$\boxed{y = \ln(x + 2)}$$

Domain: \(x > -2\) (agar argumen ln positif).

Contoh 5.18 — PD dalam Konteks Teknik: Sirkuit RC

Soal: Arus pada kapasitor dalam sirkuit RC memenuhi \(\dfrac{dV_C}{dt} = \dfrac{V_s - V_C}{RC}\) dengan \(V_s = 10\) V, \(R = 1\) k\(\Omega\), \(C = 1\) mF, dan \(V_C(0) = 0\).

Substitusi: \(RC = 1000 \times 0.001 = 1\) s. Persamaan:

$$\frac{dV_C}{dt} = \frac{10 - V_C}{1} = 10 - V_C$$

Pisahkan variabel:

$$\frac{dV_C}{10 - V_C} = dt \implies -\ln|10 - V_C| = t + C_1$$
$$\ln|10 - V_C| = -t + C_2 \implies 10 - V_C = Ae^{-t}$$

Kondisi awal: \(10 - 0 = A \cdot 1 \implies A = 10\).

$$\boxed{V_C(t) = 10(1 - e^{-t})}$$

Tegangan kapasitor naik eksponensial menuju \(10\) V dengan konstanta waktu \(\tau = RC = 1\) s.

5.8 Verifikasi Hasil Integral

Setiap hasil integral wajib diverifikasi dengan menurunkan kembali. Ini adalah kebiasaan yang harus dibangun sejak sekarang.

Contoh 5.19 — Verifikasi Sistematis

Klaim: \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \sqrt{x^2 + a^2} + C\)

Verifikasi:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + a^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad \checkmark$$
Contoh 5.20 — Verifikasi yang Menemukan Kesalahan

Klaim (SALAH): \(\displaystyle\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx = -\frac{1}{2x+1} + C\)

Verifikasi:

$$\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2x+1}\right) = -\frac{-1 \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{2}{(2x+1)^2} \neq \frac{1}{(2x+1)^2}$$

Salah! Faktor 2 berlebihan. Jawaban benar:

$$\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x+1)} + C$$

Verifikasi: \(\dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{2(2x+1)}\right) = -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-2}{(2x+1)^2} = \dfrac{1}{(2x+1)^2}\) ✓

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 5
  1. Hitung: \(\displaystyle\int \left(\frac{2}{x^3} - 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}}\right)dx\)
  2. Hitung: \(\displaystyle\int \frac{x^4 - x^2 + 1}{x^2}\,dx\). Petunjuk: bagi suku per suku dulu.
  3. Hitung: \(\displaystyle\int \left(3\sin 2x - 5\cos\frac{x}{3} + 4\sec^2 5x\right)dx\)
  4. Hitung: \(\displaystyle\int \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}\,dx\). Petunjuk: recognisasi pola \(\dfrac{f'}{f}\).
  5. Tentukan \(f(x)\) jika \(f'(x) = x^2\sqrt{x}\) dan \(f(0) = 1\).
  6. Tentukan \(f(x)\) jika \(f''(x) = 2\cos x - 3\sin x\), \(f'(0) = -1\), \(f(0) = 4\).
  7. Sebuah kurva melalui \((2, 5)\) dan di setiap titik garis singgungnya memiliki kemiringan \(3x^2 - \dfrac{1}{x^2}\). Tentukan persamaan kurva.
  8. Selesaikan PD \(\dfrac{dy}{dx} = xy\) dengan \(y(0) = 3\).
  9. Selesaikan PD \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y+1}\) dengan \(y(0) = 0\).
  10. Verifikasi bahwa \(\displaystyle\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C\) dengan menurunkan ruas kanan.
Sebelumnya
Bab 4: Penerapan Turunan
Selanjutnya
Bab 6: Integral Tentu