Bab 11

Uji Konvergensi Deret

Bab 10 memberikan jawaban eksak untuk deret geometri dan deret teleskopik, tetapi sebagian besar deret yang muncul dalam praktik tidak termasuk kategori tersebut. Bab ini membekali kita dengan enam uji konvergensi utama — perbandingan, rasio, akar, integral, dan Leibniz — beserta konsep konvergensi mutlak versus kondisional yang memungkinkan kita menentukan nasib hampir semua deret yang ditemui dalam rekayasa.

Gambar 11.1 — Alur uji konvergensi: perbandingan dan integral untuk deret positif, rasio/akar untuk deret umum, Leibniz untuk deret selang-seling, dan konvergensi mutlak sebagai jembatan

11.1 Strategi Memilih Uji Konvergensi

Sebelum membahas uji-uji secara detail, berikut panduan praktis untuk memilih uji yang tepat:

Karakteristik Deret	Uji yang Dipertimbangkan
Suku berbentuk $n^p$, $r^n$, atau kombinasi	Deret-$p$, geometri, atau perbandingan limit
Suku mengandung faktorial, pangkat, eksponensial	Uji rasio
Suku berbentuk $[f(n)]^n$ atau pangkat ke-$n$	Uji akar
Suku positif dan bisa diintegralkan	Uji integral
Suku berganti tanda: $(-1)^n b_n$	Uji Leibniz
Suku tidak positif semua, tidak selang-seling	Uji konvergensi mutlak
Bentuknya mirip deret yang sudah diketahui	Perbandingan langsung atau limit

Pemeriksaan Pertama: Uji Suku ke-$n$

Sebelum menerapkan uji apa pun, selalu periksa apakah $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Jika limit ini tidak nol (atau tidak ada), maka $\sum a_n$ pasti divergen — tidak perlu uji lain. Uji ini sangat cepat dan mengeliminasi banyak deret sekaligus. Namun, jika $\lim a_n = 0$, deret belum tentu konvergen (contoh: deret harmonik).

11.2 Uji Perbandingan Langsung

Uji perbandingan bekerja dengan prinsip intuitif: jika setiap suku deret yang diuji "lebih kecil" dari suku deret yang sudah diketahui konvergen, maka deret yang diuji juga konvergen. Sebaliknya, jika setiap suku "lebih besar" dari deret yang diketahui divergen, maka deret yang diuji juga divergen.

Teorema 11.1 — Uji Perbandingan Langsung (Direct Comparison Test)

Misalkan $0 \leq a_n \leq b_n$ untuk semua $n \geq N$ (beberapa $N$).

Jika $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$ juga konvergen.
Jika $\sum a_n$ divergen, maka $\sum b_n$ juga divergen.

Gambar 11.2 — Ilustrasi uji perbandingan: batang ungu ($a_n$) selalu di bawah batang biru ($b_n$); jika jumlah batang biru konvergen, jumlah batang ungu juga konvergen

Contoh 11.1 — Uji Perbandingan Langsung

(a) Tentukan konvergensi $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$.

Karena $\dfrac{1}{n^2 + 1} < \dfrac{1}{n^2}$ untuk semua $n \geq 1$ dan $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergen ($p = 2 > 1$), maka $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ konvergen.

(b) Tentukan konvergensi $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$.

Karena $\dfrac{1}{\sqrt{n} + 1} > \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ untuk $n \geq 1$ dan $\sum \frac{1}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ divergen ($p = \frac{1}{2} \leq 1$), maka $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ divergen.

(c) Tentukan konvergensi $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2 n}{n^3}$.

Karena $0 \leq \dfrac{\sin^2 n}{n^3} \leq \dfrac{1}{n^3}$ dan $\sum \frac{1}{n^3}$ konvergen ($p = 3 > 1$), maka deret konvergen.

(d) Tentukan konvergensi $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^3 + n}$.

Karena $0 < \arctan n < \dfrac{\pi}{2}$ untuk semua $n \geq 1$, kita peroleh:

$$0 < \frac{\arctan n}{n^3 + n} < \frac{\pi/2}{n^3}$$

Deret $\displaystyle\sum \frac{\pi/2}{n^3} = \frac{\pi}{2}\sum \frac{1}{n^3}$ konvergen ($p = 3 > 1$), maka deret konvergen.

Catatan: Trik mengikat fungsi terbatas (seperti $\arctan n$, $\sin n$, $\cos^2 n$) dengan konstanta lalu membandingkan dengan deret-$p$ adalah pola yang sangat sering muncul.

11.3 Uji Perbandingan Limit

Uji perbandingan langsung mensyaratkan ketaksamaan suku per suku, yang sering sulit dibuktikan. Uji perbandingan limit menggantikan ketaksamaan ketat dengan perbandingan asimtotik.

Teorema 11.2 — Uji Perbandingan Limit (Limit Comparison Test)

Misalkan $a_n > 0$ dan $b_n > 0$ untuk semua $n \geq N$. Jika:

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}$$

maka:

Jika $0 < L < \infty$, maka $\sum a_n$ dan $\sum b_n$ berperilaku sama (kedu-duanya konvergen atau keduanya divergen).
Jika $L = 0$ dan $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$ konvergen.
Jika $L = \infty$ dan $\sum b_n$ divergen, maka $\sum a_n$ divergen.

Kapan Kasus $L = 0$ atau $L = \infty$?

$L = 0$ berarti $a_n$ "jauh lebih kecil" dari $b_n$ — jika deret yang lebih besar ($b_n$) konvergen, yang lebih kecil pasti konvergen. $L = \infty$ berarti $a_n$ "jauh lebih besar" — jika deret yang lebih kecil ($b_n$) divergen, yang lebih besar pasti divergen. Kasus $L = 0$ atau $\infty$ memberikan kesimpulan satu arah, berbeda dari $0 < L < \infty$ yang memberikan kesimpulan dua arah.

Contoh 11.2 — Uji Perbandingan Limit

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 + n}{5n^4 - 2}$: Bandingkan dengan $b_n = \dfrac{1}{n^2}$.

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{(3n^2+n)/(5n^4-2)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n^4 + n^2}{5n^4 - 2} = \frac{3}{5}$$

Karena $L = 3/5 \in (0, \infty)$ dan $\sum 1/n^2$ konvergen, maka deret konvergen.

(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^3}$: Bandingkan dengan $b_n = 1/n^{2.5}$.

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n / n^3}{1/n^{2.5}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^{0.5}} = 0 \quad \text{(karena ln n tumbuh lebih lambat dari } n^\alpha \text{ untuk } \alpha > 0\text{)}$$

Karena $L = 0$ dan $\sum 1/n^{2.5}$ konvergen ($p = 2.5 > 1$), maka deret konvergen.

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$: Bandingkan dengan $b_n = 1/\sqrt{n}$.

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{1/\sqrt{n+1}}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = 1$$

Karena $L = 1 \in (0, \infty)$ dan $\sum 1/\sqrt{n}$ divergen ($p = 1/2 \leq 1$), maka deret divergen.

(d) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1}$: Bandingkan dengan $b_n = 1/\sqrt{n}$.

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}/(n-1)}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n-1} = 1$$

Karena $L = 1 \in (0, \infty)$ dan $\sum 1/\sqrt{n}$ divergen, maka deret divergen. Perhatikan bahwa membandingkan dengan $1/n$ juga sah dan memberikan $L = \infty$, yang juga menyimpulkan divergen karena $\sum 1/n$ divergen.

Kesalahan Umum

Jangan lupa bahwa kedua uji perbandingan hanya berlaku untuk deret positif ($a_n \geq 0$). Jika suku berganti tanda, gunakan uji konvergensi mutlak (bagian 11.8) terlebih dahulu untuk memeriksa $\sum |a_n|$.

11.4 Uji Rasio (d'Alembert)

Uji rasio adalah uji yang paling sering digunakan dalam praktik, terutama ketika suku deret mengandung faktorial, pangkat, atau eksponensial — yaitu situasi yang sangat umum dalam teknik.

Teorema 11.3 — Uji Rasio (Ratio Test)

Misalkan $\sum a_n$ dengan $a_n \neq 0$ untuk semua $n$ cukup besar. Hitung:

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

maka:

Jika $\rho < 1$, maka $\sum a_n$ konvergen mutlak (dan maka konvergen).
Jika $\rho > 1$ (termasuk $\rho = \infty$), maka $\sum a_n$ divergen.
Jika $\rho = 1$, uji rasio tidak memberikan kesimpulan (inconclusive).

Gambar 11.3 — Tiga wilayah uji rasio: hanya $\rho < 1$ yang memberikan kesimpulan positif (konvergen), $\rho > 1$ memberikan kesimpulan negatif (divergen), dan $\rho = 1$ adalah zona abu-abu

Contoh 11.3 — Uji Rasio

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$:

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!/10^{n+1}}{n!/10^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{10} = \infty > 1 \implies \textbf{divergen}$$

(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}$:

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^3 / 3^{n+1}}{n^3 / 3^n} = \frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} < 1 \implies \textbf{konvergen}$$

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$:

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \implies \textbf{tidak tentu}$$

Uji ratio gagal memberikan kesimpulan untuk deret harmonik — kita perlu uji lain (dan memang deret ini divergen).

(d) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \, x^n}{n!}$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}$:

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}/(n+1)!}{(-1)^n x^n / n!}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{n+1} = 0 < 1 \implies \textbf{konvergen mutlak untuk semua } x$$

Inilah deret untuk $e^{-x}$ — konvergen untuk setiap bilangan real $x$. Contoh ini menunjukkan bahwa uji rasio secara otomatis menangani tanda selang-seling melalui nilai mutlak.

Mengapa $\rho = 1$ Tidak Bisa Ditentukan?

Pada batas kritis $\rho = 1$, deret bisa konvergen atau divergen. Contoh konvergen: $\sum 1/n^2$ memberikan $\rho = 1$ (coba hitung). Contoh divergen: $\sum 1/n$ juga memberikan $\rho = 1$. Kedua deret memiliki $\rho = 1$ tetapi nasib berbeda. Ini analog dengan situasi di uji rasio pada persamaan diferensial linear — di batas kritis, informasi dari uji tidak cukup.

11.5 Uji Akar (Cauchy)

Teorema 11.4 — Uji Akar (Root Test)

Hitung:

$$\rho = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}$$

maka kesimpulannya identik dengan uji rasio: konvergen jika $\rho < 1$, divergen jika $\rho > 1$, tidak tentu jika $\rho = 1$.

Uji Rasio vs Uji Akar

Uji akar secara teoretis lebih kuat dari uji rasio: jika uji rasio memberikan $\rho < 1$, maka uji akar juga pasti memberikan $\rho \leq 1$ (tapi bisa lebih kuat). Secara praktis, uji rasio lebih mudah dihitung karena tidak melibatkan akar ke-$n$. Gunakan uji rasio sebagai pilihan pertama; gunakan uji akar jika uji rasio memberikan $\rho = 1$ atau jika limit rasio sulit dihitung.

Contoh 11.4 — Uji Akar

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^n}{3^n}$: Uji rasio memberikan limit yang tidak ada karena $(-1)^n$ berosilasi. Tapi uji akar:

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{2 + (-1)^n}{3^n}} = \frac{\sqrt[n]{2 + (-1)^n}}{3} \to \frac{1}{3} < 1 \implies \textbf{konvergen}$$

karena $\sqrt[n]{2 + (-1)^n}$ terletak antara $\sqrt[n]{1} = 1$ dan $\sqrt[n]{3} \to 1$, sehingga limitnya $1$ oleh teorema squeeze.

(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n+1}{3n-1}\right)^{\!n}$

Bentuk $[f(n)]^n$ adalah tanda khas bahwa uji akar tepat digunakan:

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{2n+1}{3n-1} \to \frac{2}{3} < 1 \implies \textbf{konvergen}$$

Bandingkan dengan uji rasio: menghitung $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(2n+3)^{n+1}/(3n+2)^{n+1}}{(2n+1)^n/(3n-1)^n}$ jauh lebih rumit karena pangkat $n$ dan $n+1$ berbeda. Di sinilah uji akar bersinar.

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\!n^2}$

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\!n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!n} \to e \approx 2{,}718 > 1 \implies \textbf{divergen}$$

Ini contoh bagus di mana suku $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ memang menuju $\infty$ (bukan $0$), sehingga deret ini bahkan gagal uji suku ke-$n$. Uji akar hanya mengkonfirmasi dengan lebih kuat.

(d) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ untuk sembarang $p > 0$:

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \left(\frac{1}{n^p}\right)^{\!1/n} = n^{-p/n} = e^{-p\,\frac{\ln n}{n}} \to e^0 = 1 \implies \textbf{tidak tentu}$$

Uji akar selalu gagal untuk deret-$p$, apa pun nilai $p$-nya. Ini menunjukkan batas fundamental uji akar: ketika suku turun secara polinomial, uji akar tidak bisa membedakan konvergensi dan divergensi. Untuk deret-$p, gunakan uji integral atau perbandingan.

11.6 Uji Integral

Uji integral secara langsung menghubungkan deret dengan integral — ini adalah uji yang "menyelesaikan" sketsa bukti deret-$p$ yang kita lihat di Bab 10.

Teorema 11.5 — Uji Integral (Integral Test)

Jika $f(x)$ adalah fungsi positif, kontinu, dan menurun pada $[1, \infty)$, dan $a_n = f(n)$ untuk setiap $n \geq 1$, maka:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{dan} \quad \int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

berperilaku sama: keduanya konvergen bersamaan atau keduanya divergen bersamaan.

Gambar 11.4 — Uji integral: persegi-persegi Riemann kiri (batang) membatasi luas di bawah kurva dari atas; integral membatasi dari bawah. Keduanya sama-sama konvergen atau sama-sama divergen

Contoh 11.5 — Uji Integral

(a) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n}$

$f(x) = \dfrac{1}{x \ln^2 x}$ positif dan menurun untuk $x \geq 2$. Evaluasi integral:

$$\int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln^2 x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln b}\right) = \frac{1}{\ln 2} < \infty$$

Integral konvergen → deret konvergen.

(b) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$

$$\int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\bigl[\ln(\ln x)\bigr]_2^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln(\ln b) - \ln(\ln 2) = \infty$$

Integral divergen → deret divergen.

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\,e^{-n^2}$

$f(x) = x\,e^{-x^2}$ positif dan menurun untuk $x \geq 1$ (periksa: $f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2) < 0$ untuk $x > 1/\sqrt{2}$). Evaluasi integral dengan substitusi $u = x^2$, $du = 2x\,dx$:

$$\int_1^{\infty} x\,e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^{\infty} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_1^{\infty} = \frac{1}{2}\cdot e^{-1} = \frac{1}{2e} < \infty$$

Integral konvergen → deret konvergen.

Catatan: Uji rasio juga bisa digunakan di sini: $\rho = \lim \frac{(n+1)e^{-(n+1)^2}}{n e^{-n^2}} = \lim \frac{n+1}{n}\,e^{-2n-1} = 0 < 1$. Kedua uji setuju, tapi uji integral memberikan bonus: estimasi sisa (lihat bagian 11.9).

Syarat "Menurun" Wajib Diperiksa

Uji integral gagal jika $f(x)$ tidak menurun monoton. Misalnya, untuk $a_n = f(n)$ dengan $f$ yang berosilasi, hubungan antara integral dan jumlah Riemann tidak terjamin. Selalu periksa $f'(x) \leq 0$ sebelum menggunakan uji ini. Dalam praktik, untuk $n$ cukup besar, sebagian besar fungsi yang muncul memang menurun — tapi formalitas tetap diperlukan.

Bukti Uji Integral (Sketsa)

Karena $f$ menurun, untuk setiap $k \geq 1$:

$$f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(x)\,dx \leq f(k)$$

Jumlahkan dari $k = m$ sampai $k = n$:

$$\sum_{k=m+1}^{n+1} f(k) \leq \int_m^{n+1} f(x)\,dx \leq \sum_{k=m}^{n} f(k)$$

Dengan mengambil $m \to \infty$, ketiga kuantitas ini sama-sama konvergen atau sama-sama divergen. ∎

11.7 Uji Leibniz (Deret Selang-Seling)

Teorema 11.6 — Uji Leibniz (Alternating Series Test)

Jika deret berbentuk $\sum (-1)^{n-1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots$ dengan $b_n > 0$ memenuhi:

$b_{n+1} \leq b_n$ untuk semua $n$ cukup besar (barisan $\{b_n\}$ monoton turun)
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0$

maka deret konvergen.

Dua Syarat Keduanya Diperlukan

Kedua syarat tidak bisa dilepaskan. Contoh: $b_n = 1/n$ memenuhi kedua syarat → konvergen. Tapi $b_n = 1$ memenuhi (1) tetapi bukan (2) → $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ divergen. Dan $b_n = 1 + 1/n$ memenuhi (2) tetapi bukan (1) → divergen (suku bahkan membesar).

Contoh 11.6 — Uji Leibniz

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$

$b_n = 1/n$: monoton turun ✓, $1/n \to 0$ ✓ → konvergen (jumlahnya adalah $\ln 2$, dibuktikan nanti).

(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$

$b_n = 1/\sqrt{n}$: monoton turun ✓, $1/\sqrt{n} \to 0$ ✓ → konvergen.

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$

$b_n = n/(n+1)$: $b_n \to 1 \neq 0$ ✗ → uji Leibniz gagal. Sebenarnya deret ini divergen karena $a_n$ tidak menuju $0$.

(d) $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln n}{n}$

$b_n = \dfrac{\ln n}{n}$. Periksa kedua syarat:

Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$ ✓ (karena $\ln n$ tumbuh lebih lambat dari $n$).
Monoton turun: Periksa fungsi $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. Maka:
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
$f'(x) < 0$ ketika $\ln x > 1$, yaitu $x > e \approx 2{,}718$. Jadi $b_n$ monoton turun untuk $n \geq 3$ ✓.

Kedua syarat terpenuhi → deret konvergen. (Karena $\sum \frac{\ln n}{n}$ divergen oleh uji integral, deret ini konvergen kondisional.)

11.8 Konvergensi Mutlak dan Kondisional

Definisi 11.1 — Konvergensi Mutlak dan Kondisional

Deret $\sum a_n$ konvergen mutlak (absolutely convergent) jika $\sum |a_n|$ konvergen.
Deret $\sum a_n$ konvergen kondisional (conditionally convergent) jika $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum |a_n|$ divergen.

Teorema 11.7 — Konvergensi Mutlak Implikas Konvergensi

Jika $\sum |a_n|$ konvergen, maka $\sum a_n$ juga konvergen. Dengan kata lain: mutlak → (kondisional atau mutlak).

Analogi dengan Bilangan Real

Perbedaan ini analog dengan perbedaan antara "terbatas" dan "konvergen" di teori barisan. Karena $\sum |a_n|$ adalah deret positif, semua uji untuk deret positif (perbandingan, rasio, akar, integral) langsung berlaku untuk $\sum |a_n|$. Ini menjadikan konvergensi mutlak relatif mudah dibuktikan dibandingkan konvergensi kondisional.

Contoh 11.7 — Mutlak vs Kondisional

(a) Konvergen mutlak: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty \implies \textbf{konvergen mutlak}$$

(b) Konvergen kondisional: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$

Deret ini konvergen (uji Leibniz), tetapi:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \implies \textbf{konvergen kondisional}$$

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, n}{n^3 + 1}$

Periksa konvergensi mutlak terlebih dahulu:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n \, n}{n^3 + 1}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3 + 1}$$

Bandingkan dengan $b_n = 1/n^2$:

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{n/(n^3+1)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{n^3+1} = 1 \in (0,\infty)$$

Karena $\sum 1/n^2$ konvergen, maka $\sum |a_n|$ konvergen → deret konvergen mutlak.

Perhatikan alur kerjanya: kita tidak pernah langsung menerapkan Leibniz. Langkah pertama selalu periksa $\sum |a_n|$ (deret positif → semua uji positif berlaku). Hanya jika $\sum |a_n|$ divergen, barulah kita coba Leibniz untuk konvergensi kondisional.

Teorema 11.8 — Uji Konvergensi Mutlak via Rasio/Akar

Jika uji rasio (atau uji akar) diterapkan pada $\sum |a_n|$ dan memberikan $\rho < 1$, maka $\sum a_n$ konvergen mutlak.

Implikasi praktis: saat kita menerapkan uji rasio pada $\sum a_n$ (bukan $\sum |a_n|$) dan mendapat $\rho < 1$, kita sebenarnya telah membuktikan konvergensi mutlak, yang lebih kuat dari yang kita butuhkan. Ini menjelaskan mengapa uji rasio begitu sering berhasil — ia secara otomatis menangani deret dengan suku berganti tanda.

11.9 Estimasi Sisa Deret

Dalam praktik teknik, kita tidak hanya perlu tahu apakah deret konvergen, tetapi juga berapa besar galat jika kita hanya menjumlahkan sebagian suku.

Definisi 11.2 — Sisa Deret

Sisa (remainder) setelah $n$ suku adalah:

$$R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k = S - S_n$$

Teorema 11.9 — Estimasi Sisa Deret Selang-Seling

Jika $\sum (-1)^{n-1} b_n$ memenuhi syarat uji Leibniz, maka:

$$|R_n| \leq b_{n+1}$$

Galat setelah menjumlahkan $n$ suku tidak lebih besar dari suku pertama yang diabaikan.

Contoh 11.8 — Estimasi Galat Deret Selang-Seling

Berapa suku diperlukan untuk menghitung $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ dengan galat kurang dari $0.001$?

Kita butuh $b_{n+1} = \dfrac{1}{n+1} < 0.001$, yaitu $n+1 > 1000$, jadi $n \geq 1000$. Periksa: $S_{1000} \approx 0.6926$ dan jumlah sebenarnya $\ln 2 \approx 0.6931$, galatnya $\approx 0.0005 < 0.001$. ✓

Teorema 11.10 — Estimasi Sisa via Uji Rasio

Jika uji rasio pada $\sum a_n$ memberikan $\rho < 1$, maka:

$$|R_n| \leq \frac{|a_{n+1}|}{1 - \rho}$$

di mana $\rho$ adalah limit rasio. Secara praktis, jika $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq r < 1$ untuk semua $n \geq N$, maka $|R_n| \leq \dfrac{|a_{n+1}|}{1-r}$.

Contoh 11.9 — Estimasi Galat via Rasio

Estimasi galat $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$ dengan $n = 5$ suku.

Untuk $n \geq 5$: $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{1/(n+1)!}{1/n!} = \dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{1}{6}$. Maka:

$$|R_5| \leq \frac{|a_6|}{1 - 1/6} = \frac{1/6!}{5/6} = \frac{1}{5 \cdot 720} = \frac{1}{3600} \approx 0{,}000278$$

Teorema 11.11 — Estimasi Sisa via Uji Integral

Jika $f$ memenuhi syarat uji integral (positif, kontinu, menurun), maka sisa deret $\sum f(n)$ dibatasi oleh:

$$\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\leq\; R_n \;\leq\; \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx$$

Ini memberikan batas bawah dan batas atas sekaligus — lebih informatif daripada estimasi satu sisi dari uji rasio atau Leibniz.

Contoh 11.10 — Estimasi Galat via Integral

(a) Estimasi sisa $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ setelah $n = 10$ suku.

$$R_{10} \leq \int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^4}\,dx = \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{10}^{\infty} = \frac{1}{3 \cdot 1000} = \frac{1}{3000} \approx 0{,}000333$$

$$R_{10} \geq \int_{11}^{\infty} \frac{1}{x^4}\,dx = \frac{1}{3 \cdot 1331} \approx 0{,}000250$$

Jadi $0{,}000250 \leq R_{10} \leq 0{,}000333$. Nilai tengahnya $\approx 0{,}000292$ sangat dekat dengan sisa sebenarnya $R_{10} = \zeta(4) - S_{10} \approx 0{,}000291$. Batas integral memberikan estimasi yang jauh lebih tajam dibandingkan batas Leibniz (yang tidak berlaku di sini karena deret ini positif).

(b) Berapa suku diperlukan agar $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ memiliki sisa kurang dari $10^{-4}$?

Cukup gunakan batas atas: $\displaystyle R_n \leq \int_n^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{1}{n} < 10^{-4}$, sehingga $n > 10^4 = 10000$. Jadi diperlukan setidaknya $n = 10001$ suku.

11.10 Contoh Strategi: Memilih Uji yang Tepat

Bagian ini menunjukkan proses berpikir saat menghadapi deret yang belum diketahui nasibnya. Kunci utamanya: perhatikan bentuk suku, lalu coba uji dari yang paling mudah dihitung.

Contoh 11.11 — Demonstrasi Strategi Pemilihan Uji

Deret 1: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + n}{3^n}$

Analisis: Suku mengandung $2^n$ dan $3^n$ → uji rasio adalah pilihan alami. Selain itu, suku positif.

$$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{(2^{n+1}+n+1)/3^{n+1}}{(2^n+n)/3^n} = \frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+n+1}{2^n+n} = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3} < 1 \implies \textbf{konvergen}$$

Alternatif: Tulis $\frac{2^n+n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\!n} + \frac{n}{3^n}$. Kedua deret konvergen (geometri dan uji rasio), maka jumlahnya konvergen.

Deret 2: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n^2 + 1}$

Langkah 1 — Cek suku ke-$n$: $a_n \to 0$ ✓ (tidak bisa disimpulkan divergen).

Langkah 2 — Cek konvergensi mutlak: $\sum \frac{\sqrt{n}}{n^2+1}$. Bandingkan dengan $b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$:

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}/(n^2+1)}{1/n^{3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1 \in (0,\infty)$$

$\sum 1/n^{3/2}$ konvergen ($p = 3/2 > 1$) → $\sum |a_n|$ konvergen → deret konvergen mutlak. Tidak perlu uji Leibniz.

Deret 3: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \, (\ln \ln n)^2}$ untuk $n \geq 3$

Analisis: Bentuk bertingkat $\ln \ln n$ adalah tanda khas uji integral. Substitusi bertingkat: $u = \ln x$, $du = dx/x$:

$$\int_3^{\infty} \frac{1}{x \ln x \, (\ln \ln x)^2}\,dx = \int_{\ln 3}^{\infty} \frac{1}{u \, (\ln u)^2}\,du$$

Sekali lagi substitusi $v = \ln u$, $dv = du/u$:

$$= \int_{\ln(\ln 3)}^{\infty} \frac{1}{v^2}\,dv = \left[-\frac{1}{v}\right]_{\ln(\ln 3)}^{\infty} = \frac{1}{\ln(\ln 3)} < \infty$$

Integral konvergen → deret konvergen. Pola umum: $\sum \frac{1}{n \ln n \, \ln\ln n \cdots (\ln_k n)^{p}}$ konvergen jika dan hanya jika $p > 1$ (analog dengan deret-$p$).

11.11 Ringkasan Uji Konvergensi

Uji	Syarat	Kesimpulan	Kekuatan
Suku ke-$n$	$\lim a_n \neq 0$	Divergen	Lemah (hanya divergen)
Perbandingan	$0 \leq a_n \leq b_n$	Sama dengan $\sum b_n$	Sedang (perlu ketaksamaan)
Perbandingan Limit	$\lim a_n/b_n = L \in (0,\infty)$	Sama dengan $\sum b_n$	Kuat (asimtotik)
Integral	$a_n = f(n)$, $f$ turun positif	Sama dengan $\int f$	Kuat (juga sisa)
Rasio	$\lim \|a_{n+1}/a_n\| = \rho$	$\rho < 1$: konvergen; $\rho > 1$: divergen	Sangat kuat (otomatis mutlak)
Akar	$\limsup \|a_n\|^{1/n} = \rho$	Sama dengan rasio	Sangat kuat (lebih kuat dari rasio)
Leibniz	$b_n \searrow 0$, selang-seling	Konvergen	Hanya selang-seling positif
Mutlak	$\sum \|a_n\|$ konvergen	$\sum a_n$ konvergen	Metode "payung" untuk deret umum

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 11

Tentukan konvergensi atau divergensi deret berikut. Gunakan uji yang paling efisien untuk masing-masing.
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n^2 + 1}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.01}}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n^2}}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$
- $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \cdot \ln(\ln n)}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{\!n}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, n!}{n^n}$
Tunjukkan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ konvergen kondisional untuk $0 < p \leq 1$ dan konvergen mutlak untuk $p > 1$.
Uji rasio memberikan $\rho = 1$ untuk $\sum 1/n^2$. Hitunglah $\rho$ secara eksplisit dan verifikasi. Mengapa ini tidak bertentangan dengan fakta bahwa deret tersebut konvergen?
Berapa suku diperlukan untuk menghitung $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{10^n}$ dengan galat kurang dari $10^{-6}$?
Benarkah bahwa jika $\sum a_n$ konvergen kondisional, maka $\sum a_n^2$ pasti konvergen? Jika benar, buktikan. Jika salah, berikan contoh penyangkal dan jelaskan mengapa argumen "$a_n^2 \leq |a_n|$ untuk $n$ cukup besar" tidak cukup.
Tunjukkan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ konvergen, lalu gunakan estimasi sisa Leibniz untuk menentukan berapa suku minimum yang diperlukan agar galat kurang dari $0{,}01$.
Gunakan estimasi sisa integral untuk menunjukkan bahwa $S_{100} = \displaystyle\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^3}$ mendekati $\zeta(3)$ dengan galat kurang dari $5 \times 10^{-5}$. Bandingkan dengan ketajaman batas Leibniz — mengapa batas Leibniz tidak bisa digunakan di sini?

Sebelumnya

Bab 10: Deret Tak Hingga

Selanjutnya

Bab 12: Deret Pangkat