Bab 2

Limit dan Keberlanjutan Fungsi

Konsep limit adalah fondasi seluruh kalkulus — turunan didefinisikan sebagai limit fungsi beda, dan integral didefinisikan sebagai limit penjumlahan Riemann. Bab ini membangun intuisi limit, menyajikan definisi formal $\varepsilon$-$\delta$, menurunkan teorema-teorema utama, lalu menghubungkannya dengan konsep keberlanjutan fungsi dan aturan L'Hôpital.

Gambar 2.1 — Alur konsep Bab 2: dari intuisi numerik hingga aturan L'Hôpital

2.1 Motivasi: Mengapa Kita Perlu Limit?

Pertimbangkan masalah klasik: berapa nilai fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ saat $x = 2$? Langsung substitusi menghasilkan $\dfrac{0}{0}$ — bentuk tak tentu. Namun, jika kita mendekati $x = 2$ dari kedua sisi:

$x$	1.9	1.99	1.999	2.001	2.01	2.1
$f(x)$	3.9	3.99	3.999	4.001	4.01	4.1

Nilai $f(x)$ mendekati $4$ saat $x$ mendekati $2$, meskipun $f(2)$ tidak terdefinisi. Inilah esensi konsep limit: kita tertarik pada perilaku fungsi di sekitar suatu titik, bukan nilainya di titik tersebut.

Koneksi ke Kalkulus

Turunan $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ adalah limit dari bentuk $\frac{0}{0}$. Integral $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$ adalah limit penjumlahan. Tanpa teori limit yang solid, kedua konsep ini tidak memiliki dasar yang rigorus.

2.2 Definisi Intuitif Limit

Definisi Intuitif — Limit Fungsi

Kita menulis $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ dan membacanya "limit $f(x)$ saat $x$ mendekati $a$ sama dengan $L$" jika kita dapat membuat nilai $f(x)$ sedekat yang diinginkan dengan $L$ dengan mengambil $x$ cukup dekat dengan $a$ (tetapi $x \neq a$).

Gambar 2.2 — Interpretasi geometris $\varepsilon$-$\delta$: jika $x$ berada dalam $(a-\delta, a+\delta)$ (tidak termasuk $a$), maka $f(x)$ berada dalam $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$

2.3 Definisi Formal Limit ($\varepsilon$-$\delta$)

Definisi 2.1 — Limit Fungsi (Definisi $\varepsilon$-$\delta$)

Dikatakan bahwa $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga:

$$0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$

Secara simbolis, kita tulis:

$$\forall\, \varepsilon > 0,\; \exists\, \delta > 0 : \quad 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$

Beberapa poin kritis dalam definisi ini:

Ketidaksetaraan $0 < |x - a|$ berarti kita tidak peduli dengan nilai $f(a)$ — bahkan $f(a)$ tidak perlu terdefinisi.
$\varepsilon$ dipilih terlebih dahulu (sembarang positif), lalu $\delta$ bergantung pada $\varepsilon$. Kita tulis $\delta = \delta(\varepsilon)$.
Definisi ini bersifat universal-eksistensial: untuk setiap $\varepsilon$ harus ada $\delta$ yang sesuai.

Contoh 2.1 — Bukti

$\varepsilon$-$\delta$: $\displaystyle\lim_{x \to 3} (2x - 1) = 5$

Langkah 1: Kita perlu menunjukkan: $\forall\, \varepsilon > 0$, $\exists\, \delta > 0$ sehingga $0 < |x - 3| < \delta \implies |(2x-1) - 5| < \varepsilon$.

Langkah 2: Sederhanakan ekspresi $|f(x) - L|$:

$$|(2x - 1) - 5| = |2x - 6| = 2|x - 3|$$

Langkah 3: Kita ingin $2|x - 3| < \varepsilon$, yaitu $|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{2}$. Jadi pilih $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$.

Langkah 4: Verifikasi: Jika $0 < |x - 3| < \delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$, maka:

$$|f(x) - 5| = 2|x - 3| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \quad \blacksquare$$

Contoh 2.2 — Bukti

$\varepsilon$-$\delta$: $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

Langkah 1: Kita ingin $|x^2 - 4| < \varepsilon$ saat $0 < |x - 2| < \delta$.

Langkah 2: Faktorkan:

$$|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2|$$

Langkah 3: Faktor $|x + 2|$ perlu dibatasi atas. Asumsikan $\delta \leq 1$, maka $|x - 2| < 1$ mengimplikasikan $1 < x < 3$, sehingga $3 < x + 2 < 5$ dan $|x + 2| < 5$.

Langkah 4: Maka $|x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2| < 5\delta$. Agar ini $< \varepsilon$, pilih $\delta = \min\!\left(1, \dfrac{\varepsilon}{5}\right)$.

Langkah 5: Verifikasi: Jika $0 < |x - 2| < \delta$, maka $|x-2| < 1$ (sehingga $|x+2| < 5$) dan $|x-2| < \dfrac{\varepsilon}{5}$, sehingga:

$$|x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2| < \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon \quad \blacksquare$$

Strategi Umum Bukti $\varepsilon$-$\delta$

(1) Mulai dari $|f(x) - L|$ dan faktorkan/sederhanakan untuk mengeluarkan $|x - a|$. (2) Batasi faktor-faktor lain menggunakan asumsi $\delta \leq c$ (biasanya $c = 1$). (3) Pilih $\delta = \min\!\left(c, \dfrac{\varepsilon}{M}\right)$ di mana $M$ adalah batas atas faktor-faktor lain.

2.4 Limit Satu Sisi

Definisi 2.2 — Limit Kanan dan Limit Kiri

Limit kanan: $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ jika $\forall\, \varepsilon > 0$, $\exists\, \delta > 0$ sehingga $a < x < a + \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$.

Limit kiri: $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ jika $\forall\, \varepsilon > 0$, $\exists\, \delta > 0$ sehingga $a - \delta < x < a \implies |f(x) - L| < \varepsilon$.

Teorema 2.1 — Hubungan Limit Dua Sisi dan Satu Sisi

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ jika dan hanya jika $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ dan $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L$.

Contoh 2.3 — Limit Satu Sisi: Fungsi Puluhan

Pertimbangkan $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases}$

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$$

Karena $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$, maka $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ tidak ada.

2.5 Limit Tak Hingga

Definisi 2.3 — Limit saat $x \to \infty$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ jika $\forall\, \varepsilon > 0$, $\exists\, N > 0$ sehingga $x > N \implies |f(x) - L| < \varepsilon$.

Definisi 2.4 — Limit Tak Hingga

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ jika $\forall\, M > 0$, $\exists\, \delta > 0$ sehingga $0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M$.

Contoh 2.4 —

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

Diberikan $\varepsilon > 0$, pilih $N = \dfrac{1}{\varepsilon}$. Jika $x > N$, maka:

$$\left|\frac{1}{x} - 0\right| = \frac{1}{x} < \frac{1}{N} = \varepsilon \quad \blacksquare$$

2.5.1 Aturan Limit untuk Polinomial dan Rasional di Tak Hingga

Teorema 2.2 — Perilaku Limit Tak Hingga

(a) $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots} = \begin{cases} 0, & n < m \\ \dfrac{a_n}{b_m}, & n = m \\ \pm\infty, & n > m \end{cases}$

(b) Asimtot horizontal $y = L$ dari $f$ jika $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Contoh 2.5 — Asimtot Horizontal

$\displaystyle f(x) = \frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + 7}$. Karena derajat pembilang = derajat penyebut (= 2):

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - x + 2}{5x^2 + 7} = \frac{3}{5}$$

Jadi $y = \dfrac{3}{5}$ adalah asimtot horizontal.

2.6 Teorema Limit Aljabar

Teorema 2.3 — Sifat-Sifat Limit

Jika $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ dan $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$, maka:

$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$ (penjumlahan)
$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$ (pengurangan)
$\displaystyle\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = cL$ (skalar)
$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$ (perkalian)
$\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, asalkan $M \neq 0$ (pembagian)
$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ (pangkat)
$\displaystyle\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$, asalkan $L > 0$ untuk $n$ genap (akar)

Contoh 2.6 — Menghitung Limit dengan Teorema Aljabar

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$

Substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$. Faktorkan pembilang dan penyebut:

$$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}, \quad x \neq 1$$

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$$

2.7 Teorema Squeeze (Tekanan)

Teorema 2.4 — Teorema Squeeze

Jika $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ untuk semua $x$ dalam suatu lingkungan terbuka dari $a$ (kecuali mungkin di $x = a$ sendiri), dan:

$$\lim_{x \to a} g(x) = L = \lim_{x \to a} h(x)$$

maka $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Gambar 2.3 — Teorema Squeeze: $f(x)$ terjepit antara $g(x)$ dan $h(x)$ yang keduanya menuju $L$

Bukti Limit Khusus: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Untuk $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, dari geometri sektor lingkaran satuan, dapat ditunjukkan:

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

Karena $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$ dan $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$, oleh Teorema Squeeze:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Untuk $x < 0$, substitusi $u = -x > 0$:

$$\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin(-u)}{-u} = \frac{-\sin u}{-u} = \frac{\sin u}{u} \to 1 \text{ saat } u \to 0^+$$

Kedua limit sisi sama, sehingga:

$$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$$

2.7.1 Limit Trigonometri Penting

No.	Limit	Nilai
1	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$	$1$
2	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$	$0$
3	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$	$\dfrac{1}{2}$
4	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$	$1$
5	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$	$1$
6	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$	$1$

Contoh 2.7 — Limit Trigonometri

(a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$$

(b) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x \cdot \tan x}$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$$

2.8 Keberlanjutan Fungsi

Definisi 2.5 — Keberlanjutan di Sebuah Titik

Fungsi $f$ dikatakan berlanjut (kontinu) di titik $x = a$ jika memenuhi tiga syarat:

$f(a)$ terdefinisi
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ ada
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Secara ringkas: $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Definisi 2.6 — Keberlanjutan pada Interval

Pada interval terbuka $(a, b)$: $f$ kontinu di setiap titik di $(a, b)$.

Pada interval tertutup $[a, b]$: $f$ kontinu di $(a, b)$, kontinu kanan di $a$, dan kontinu kiri di $b$.

2.8.1 Jenis Ketidakberlanjutan

Jenis	Karakteristik	Contoh
Removable (dapat dihilangkan)	$\lim_{x \to a} f(x)$ ada, tetapi tidak sama dengan $f(a)$ atau $f(a)$ tidak terdefinisi	$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ di $x = 0$ Limit = 1, $f(0)$ tak terdefinisi
Jump (lompatan)	$\lim_{x \to a^-} f(x)$ dan $\lim_{x \to a^+} f(x)$ keduanya ada tetapi tidak sama	Fungsi tangga Heaviside di $x = 0$ $\lim_{x \to 0^-} = 0$, $\lim_{x \to 0^+} = 1$
Infinite (tak hingga)	$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$	$f(x) = \dfrac{1}{x}$ di $x = 0$
Oscillatory (osilasi)	Limit tidak ada karena osilasi tanpa batas	$f(x) = \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ di $x = 0$

2.8.2 Teorema Keberlanjutan

Teorema 2.5 — Fungsi yang Pasti Kontinu

Fungsi-fungsi berikut kontinu pada domain alaminya:

Fungsi polinomial: kontinu di $\mathbb{R}$
Fungsi rasional: kontinu di $\mathbb{R} \setminus \{\text{zero penyebut}\}$
$\sin x$, $\cos x$: kontinu di $\mathbb{R}$
$\tan x$, $\sec x$: kontinu di domainnya masing-masing
$e^x$, $a^x$ $(a > 0)$: kontinu di $\mathbb{R}$
$\ln x$, $\log_a x$: kontinu di $(0, \infty)$
$\sqrt[n]{x}$: kontinu di domainnya

Teorema 2.6 — Aljabar Keberlanjutan

Jika $f$ dan $g$ kontinu di $a$, dan $c$ konstanta, maka:

$f + g$, $f - g$, $f \cdot g$ kontinu di $a$
$\dfrac{f}{g}$ kontinu di $a$ jika $g(a) \neq 0$
$f \circ g$ kontinu di $a$ jika $g$ kontinu di $a$ dan $f$ kontinu di $g(a)$

Teorema 2.7 — Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $k$ adalah bilangan mana pun antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka terdapat setidaknya satu $c \in (a, b)$ sehingga $f(c) = k$.

Gambar 2.4 — Teorema Nilai Antara: setiap nilai $k$ antara $f(a)$ dan $f(b)$ "ditembus" oleh kurva setidaknya sekali

Teorema 2.8 — Teorema Nilai Ekstrem (Extreme Value Theorem)

Jika $f$ kontinu pada interval tertutup dan terbatas $[a, b]$, maka $f$ mencapai nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut pada $[a, b]$. Yaitu, terdapat $c_1, c_2 \in [a, b]$ sehingga $f(c_1) \leq f(x) \leq f(c_2)$ untuk semua $x \in [a, b]$.

Peringatan

Syarat interval tertutup dan terbatas $[a, b]$ esensial. Pada interval terbuka $(a, b)$ atau tak hingga, teorema ini bisa gagal. Contoh: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ pada $(0, 1]$ kontinu tetapi tidak mencapai minimum (terus menuju $\infty$ saat $x \to 0^+$).

Contoh 2.8 — Penerapan Teorema Nilai Antara

Soal: Buktikan bahwa persamaan $x^5 - x - 1 = 0$ memiliki setidaknya satu akar real.

Bukti: Definisikan $f(x) = x^5 - x - 1$. Fungsi ini kontinu di $\mathbb{R}$ (polinomial). Hitung:

$$f(0) = -1 < 0, \qquad f(2) = 32 - 2 - 1 = 29 > 0$$

Oleh Teorema Nilai Antara (dengan $a = 0$, $b = 2$, $k = 0$), terdapat $c \in (0, 2)$ sehingga $f(c) = 0$. Jadi persamaan tersebut memiliki setidaknya satu akar di $(0, 2)$. ∎

2.9 Limit Tak Tentu dan Aturan L'Hôpital

2.9.1 Bentuk Tak Tentu

Bentuk tak tentu (indeterminate forms) adalah ekspresi yang tidak dapat dievaluasi langsung dengan substitusi:

Tipe	Bentuk	Strategi Umum
Tipe $\frac{0}{0}$	$\dfrac{0}{0}$	Faktorkan, rasionalisasi, atau L'Hôpital
Tipe $\frac{\infty}{\infty}$	$\dfrac{\infty}{\infty}$	L'Hôpital atau bagi pangkat tertinggi
Tipe $0 \cdot \infty$	$0 \cdot \infty$	Ubah ke $\frac{0}{1/\infty}$ atau $\frac{\infty}{1/0}$
Tipe $\infty - \infty$	$\infty - \infty$	Gabungkan menjadi satu pecahan
Tipe $0^0$	$0^0$	Ambil $e^{\ln}$, ubah ke $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$
Tipe $1^\infty$	$1^\infty$	Ambil $e^{\ln}$, ubah ke $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$
Tipe $\infty^0$	$\infty^0$	Ambil $e^{\ln}$, ubah ke $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$

2.9.2 Aturan L'Hôpital

Teorema 2.9 — Aturan L'Hôpital

Jika $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$, dan:

$f$ dan $g$ terdiferensiasi di lingkungan terbuka dari $a$ (kecuali mungkin di $a$)
$g'(x) \neq 0$ di lingkungan tersebut
$\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ada (atau $= \pm\infty$)

maka: $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Peringatan Kritis

Aturan L'Hôpital HANYA berlaku untuk bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Menerapkannya pada bentuk yang bukan tak tentu menghasilkan jawaban salah. Selalu periksa bentuk tak tentu sebelum menggunakannya. Jika setelah satu kali penerapan masih tak tentu, boleh diterapkan lagi.

Contoh 2.9 — L'Hôpital Tipe $\frac{0}{0}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

Substitusi: $\frac{1 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}$ ✓

Penerapan pertama:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \frac{0}{0} \quad \text{(masih tak tentu)}$$

Penerapan kedua:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}}$$

Contoh 2.10 — L'Hôpital Tipe $\frac{\infty}{\infty}$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$

Substitusi: $\frac{\infty}{\infty}$ ✓

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

Ini menunjukkan bahwa $\ln x$ tumbuh lebih lambat dari pangkat linear — fakta penting dalam analisis asimtotik.

2.9.3 Menangani Bentuk Tak Tentu Lainnya

Contoh 2.11 — Tipe

$0 \cdot \infty$: $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$

Ubah ke bentuk pecahan: $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$

Substitusi: $\frac{-\infty}{\infty}$ ✓ (termasuk tipe $\frac{\infty}{\infty}$)

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-x} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

$$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0}$$

Contoh 2.12 — Tipe

$1^\infty$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$

Ambil logaritma natural: $y = (1+x)^{1/x}$, maka $\ln y = \dfrac{\ln(1+x)}{x}$

$$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{0}{0}$$

Gunakan L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$$

Jadi $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln y = 1$, yang berarti:

$$\boxed{\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e^1 = e}$$

Inilah salah satu definisi klasik bilangan Euler $e$.

Contoh 2.13 — Tipe

$\infty^0$: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$

$\ln y = \dfrac{\ln x}{x}$, dan kita sudah tahu dari Contoh 2.10 bahwa limitnya $= 0$.

$$\boxed{\lim_{x \to \infty} x^{1/x} = e^0 = 1}$$

2.9.4 Peringatan: L'Hôpital Bukan Obat Semua

Kesalahan Umum

Seringkali L'Hôpital justru memperumit. Contoh:

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ — bentuk $\frac{\infty}{\infty}$.

Jika L'Hôpital: $\dfrac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — kembali ke bentuk semula! (loop tak berujung).

Jika dibagi $x$: $\dfrac{\sqrt{x^2+1}/x}{x/x} = \dfrac{\sqrt{1 + 1/x^2}}{1} \to 1$. Jauh lebih sederhana.

Moral: selalu pertimbangkan alternatif aljabar (faktorisasi, rasionalisasi, bagi pangkat tertinggi) sebelum L'Hôpital.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 2

Buktikan dengan definisi $\varepsilon$-$\delta$ bahwa $\displaystyle\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$. Petunjuk: mulai dari $|\sqrt{x} - 2| = \dfrac{|x - 4|}{\sqrt{x} + 2} \leq \dfrac{|x-4|}{2}$ (karena $\sqrt{x} \geq 0$).
Hitung $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x^2}$ menggunakan identitas trigonometri dan limit dasar.
Tentukan semua titik ketidakberlanjutan dari $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$ dan klasifikasikan jenisnya.
Hitung menggunakan aturan L'Hôpital: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$.
Hitung $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}$.
Buktikan bahwa persamaan $e^x = 3x$ memiliki setidaknya dua akar real. Petunjuk: gunakan Teorema Nilai Antara pada dua interval yang berbeda.
Buktikan bahwa jika $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L > 0$, maka terdapat $\delta > 0$ sehingga $f(x) > 0$ untuk semua $x$ dengan $0 < |x - a| < \delta$. (Ini dikenal sebagai teorema pelestarian tanda.)

Sebelumnya

Bab 1: Bilangan Real & Fungsi

Selanjutnya

Bab 3: Turunan Fungsi

No.	Limit	Nilai
1	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)	\(1\)
2	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}\)	\(0\)
3	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)
4	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)	\(1\)
5	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}\)	\(1\)
6	\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}\)	\(1\)

Tipe	Bentuk	Strategi Umum
Tipe \(\frac{0}{0}\)	\(\dfrac{0}{0}\)	Faktorkan, rasionalisasi, atau L'Hôpital
Tipe \(\frac{\infty}{\infty}\)	\(\dfrac{\infty}{\infty}\)	L'Hôpital atau bagi pangkat tertinggi
Tipe \(0 \cdot \infty\)	\(0 \cdot \infty\)	Ubah ke \(\frac{0}{1/\infty}\) atau \(\frac{\infty}{1/0}\)
Tipe \(\infty - \infty\)	\(\infty - \infty\)	Gabungkan menjadi satu pecahan
Tipe \(0^0\)	\(0^0\)	Ambil \(e^{\ln}\), ubah ke \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\)
Tipe \(1^\infty\)	\(1^\infty\)	Ambil \(e^{\ln}\), ubah ke \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\)
Tipe \(\infty^0\)	\(\infty^0\)	Ambil \(e^{\ln}\), ubah ke \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\)