Bab 24

Integral Permukaan dan Teorema Besar

Bab ini adalah puncak seluruh Kalkulus III — dan secara tertentu, puncak tiga semester materi kalkulus. Kita telah membangun alat-alat secara bertahap: dari turunan parsial dan gradien (Bab 19–20), ke integral ganda dan tiga (Bab 21–22), ke integral garis dan medan vektor (Bab 23). Sekarang kita memperkenalkan integral permukaan: menjumlahkan fungsi skalar (untuk massa kulit) atau fungsi vektor (untuk fluks, laju aliran melintasi permukaan) di atas permukaan 3D. Kemudian, dua Teorema Besar menyatukan semua konsep ini: Teorema Divergensi (Gauss) menghubungkan fluks keluar volume tertutup dengan integral tiga dari divergensi di dalamnya, dan Teorema Stokes menghubungkan sirkulasi di tepi permukaan dengan integral permukaan dari curl. Kedua teorema ini, bersama Teorema Green, adalah generalisasi langsung dari Teorema Dasar Kalkulus ke dimensi yang lebih tinggi — dan merupakan fondasi matematis elektromagnetisme (Persamaan Maxwell) dan mekanika fluida.

Gambar 24.1 — Alur Bab 24: dari permukaan parametrik hingga penerapan fisika teorema besar

24.1 Permukaan Parametrik dan Luas Permukaan

Untuk mengintegralkan atas permukaan, kita memerlukan parameterisasi — cara memetakan daerah 2D $(u,v)$ ke permukaan 3D.

Definisi 24.1 — Permukaan Parametrik

Permukaan $S$ diparametrisasi oleh:

$$\boxed{\mathbf{r}(u,v) = \langle x(u,v),\; y(u,v),\; z(u,v) \rangle, \qquad (u,v) \in D} $$

Kurva $u = \text{konstan}$ dan $v = \text{konstan}$ pada $S$ disebut kurva grid (grid curves).

Definisi 24.2 — Elemen Luas Permukaan

Vektor tangen: $\mathbf{r}_u = \langle x_u, y_u, z_u \rangle$ dan $\mathbf{r}_v = \langle x_v, y_v, z_v \rangle$.

Vektor $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ tegak lurus terhadap permukaan, dan panjangnya adalah faktor skala luas:

$$\boxed{dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv} $$

Luas permukaan:

$$A(S) = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv $$

Kasus Khusus: Permukaan Grafik $z = g(x,y)$

Jika permukaan diberikan sebagai $z = g(x,y)$, parameterisasi alaminya adalah $\mathbf{r}(x,y) = \langle x, y, g(x,y) \rangle$. Maka:

$$\mathbf{r}_x = \langle 1, 0, g_x \rangle, \qquad \mathbf{r}_y = \langle 0, 1, g_y \rangle $$

$$\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y = \langle -g_x,\; -g_y,\; 1 \rangle, \qquad dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dx\,dy $$

Contoh 24.1 — Luas Permukaan Sfera

Parameterisasi sfera: $x = a\sin\varphi\cos\theta$, $y = a\sin\varphi\sin\theta$, $z = a\cos\varphi$.

$$\mathbf{r}_\varphi = \langle a\cos\varphi\cos\theta,\; a\cos\varphi\sin\theta,\; -a\sin\varphi \rangle$$ $$\mathbf{r}_\theta = \langle -a\sin\varphi\sin\theta,\; a\sin\varphi\cos\theta,\; 0 \rangle $$

$$\mathbf{r}_\varphi \times \mathbf{r}_\theta = a^2\sin\varphi\langle \sin\varphi\cos\theta,\; \sin\varphi\sin\theta,\; \cos\varphi \rangle = a^2\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}} $$

$$|\mathbf{r}_\varphi \times \mathbf{r}_\theta| = a^2\sin\varphi $$

$$A = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi} a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = a^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi a^2 \quad \checkmark $$

24.2 Vektor Normal Permukaan

Definisi 24.3 — Vektor Normal Satuan

$$\boxed{\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}} $$

Untuk $z = g(x,y)$ dengan orientasi ke atas (upward):

$$\mathbf{n} = \frac{\langle -g_x,\; -g_y,\; 1 \rangle}{\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}} $$

Orientasi Permukaan

Permukaan dikatakan terorientasi jika kita memilih sisi "atas" dan "bawah" secara konsisten. Untuk permukaan tertutup, konvensi standar adalah normal keluar (menunjuk menjauhi interior). Penukaran urutan cross product ($\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_u$) membalikkan arah normal dan mengubah tanda integral vektor.

24.3 Integral Permukaan Skalar

Definisi 24.4 — Integral Permukaan Skalar

$$\boxed{\iint_S f\,dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv} $$

Untuk $z = g(x,y)$: $\iint_S f\,dS = \iint_D f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy$.

Contoh 24.2 — Massa Kulit Bola

Kulit sfera $x^2+y^2+z^2 = a^2$ dengan densitas $\delta(x,y,z) = z^2$. Kita tahu $dS = a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$ dan $z = a\cos\varphi$:

$$M = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi} (a\cos\varphi)^2 \cdot a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 2\pi a^4\!\int_0^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi $$

Substitusi $u = \cos\varphi$, $du = -\sin\varphi\,d\varphi$:

$$= 2\pi a^4\!\int_{-1}^{1} u^2\,du = 2\pi a^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^4}{3} \quad \checkmark $$

24.4 Integral Permukaan Vektor: Fluks

Fluks mengukur "seberapa banyak" medan vektor menembus permukaan — secara fisika, laju aliran fluida atau garis gaya listrik yang melintas.

Definisi 24.5 — Fluks Medan Vektor

$$\boxed{\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv}$$

Perhatikan: tidak ada nilai mutlak pada $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ — orientasi normal menentukan tanda fluks.

Untuk $z = g(x,y)$ dengan normal ke atas: $d\mathbf{S} = \langle -g_x,\; -g_y,\; 1 \rangle\,dx\,dy$.

Gambar 24.2 — Fluks mengukur komponen medan vektor yang tegak lurus terhadap permukaan (sepanjang normal)

Contoh 24.3 — Fluks melalui Paraboloid

Fluks $\mathbf{F} = \langle 0, 0, z \rangle$ keluar dari permukaan $z = x^2 + y^2$, $0 \leq z \leq 1$.

$g(x,y) = x^2+y^2$, $g_x = 2x$, $g_y = 2y$. Normal ke atas: $\langle -2x, -2y, 1 \rangle$.

$$\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y) = \langle 0, 0, x^2+y^2 \rangle \cdot \langle -2x, -2y, 1 \rangle = x^2 + y^2 $$

$$\text{Fluks} = \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} $$

Fluks positif karena medan menunjuk ke atas, searah dengan normal permukaan paraboloid. ✓

24.5 Divergensi dan Teorema Divergensi (Gauss)

Definisi 24.6 — Divergensi

Divergensi medan vektor $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\boxed{\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}$$

Divergensi adalah skalar — ia mengukur "laju keluaran bersih per unit volume" di setiap titik. $\nabla \cdot \mathbf{F} > 0$: ada "sumber" (fluida keluar). $\nabla \cdot \mathbf{F} < 0$: ada "sumur" (fluida masuk). $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$: medan tak terdivergensi (incompressible).

Teorema 24.1 — Teorema Divergensi (Gauss)

Jika $E$ adalah daerah padat tertutup terbatas dengan permukaan batas $\partial E$ berorientasi keluar, dan $\mathbf{F}$ memiliki turunan parsial kontinu:

$$\boxed{\oint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV}$$

Fluks total keluar permukaan tertutup = integral tiga dari divergensi di dalam volume.

Gambar 24.3 — Teorema Divergensi: fluks keluar seluruh permukaan tertutup $\partial E$ sama dengan integral divergensi di dalam volume $E$

Contoh 24.4 — Verifikasi Teorema Divergensi

$\mathbf{F} = \langle x,\; y,\; z \rangle$ dan $E$ = kubus $[0,1]^3$.

Fluks (langsung): enam sisi kubus.

Sisi $x=1$: $\int_0^1\!\int_0^1 1\,dy\,dz = 1$. Sisi $x=0$: $\int_0^1\!\int_0^1 0\,dy\,dz = 0$. Demikian untuk $y$ dan $z$.

$$\text{Fluks} = 1+0 + 1+0 + 1+0 = 3 $$

Divergensi: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$.

$$\iiint_E 3\,dV = 3 \cdot 1 = 3 \quad \checkmark $$

Kedua sisi sama: $3 = 3$. ✓

Contoh 24.5 — Fluks Medan Radial melalui Sfera

$\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ dan $E$ = sfera $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$.

$\nabla \cdot \mathbf{F} = 3$. Maka:

$$\oint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E 3\,dV = 3 \cdot \frac{4\pi R^3}{3} = 4\pi R^3 $$

Verifikasi langsung: pada sfera, $\mathbf{n} = \langle x,y,z \rangle/R$, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = (x^2+y^2+z^2)/R = R^2$. Fluks $= R^2 \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3$. ✓ ✓

24.6 Curl dan Teorema Stokes

Definisi 24.7 — Curl (Rotasi)

Curl medan vektor $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\boxed{\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle} $$

Curl adalah vektor — ia mengukur "kecenderungan berputar" medan di setiap titik. Arah curl = sumbu rotasi, besar curl = laju rotasi.

Hubungan Curl dengan Green

Jika $\mathbf{F} = \langle P, Q, 0 \rangle$ (medan 2D), maka komponen-$z$ dari curl adalah:

$$(\nabla \times \mathbf{F})_z = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $$

Ini persis integrand dalam Teorema Green (bentuk sirkulasi)! Teorema Green adalah kasus khusus Teorema Stokes untuk permukaan datar di bidang $xy$.

Teorema 24.2 — Teorema Stokes

Jika $S$ adalah permukaan berorientasi dengan batas $\partial S$ yang merupakan kurva tertutup mulus, dan orientasi $\partial S$ konsisten dengan orientasi $S$ menurut aturan tangan kanan, maka:

$$\boxed{\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}}$$

Sirkulasi di tepi permukaan = fluks curl melalui permukaan.

Gambar 24.4 — Teorema Stokes: arah kurva batas $\partial S$ ditentukan oleh aturan tangan kanan dari vektor normal $\mathbf{n}$

Contoh 24.6 — Verifikasi Stokes

$\mathbf{F} = \langle y,\; -x,\; z \rangle$, $S$ = paraboloid $z = 1 - x^2 - y^2$, $z \geq 0$, normal ke atas.

Curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y & -x & z \end{vmatrix} = \langle 0,\; 0,\; -1-1 \rangle = \langle 0,\; 0,\; -2 \rangle $$

Kanan (Stokes): $\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y) = \langle 0,0,-2 \rangle \cdot \langle 2x, 2y, 1 \rangle = -2$.

$$\iint_S (-2)\,dx\,dy = -2 \cdot \pi(1)^2 = -2\pi $$

Kiri (langsung): $\partial S$ adalah lingkaran $x^2+y^2=1$, $z=0$, CCW.

$$\oint_{\partial S} y\,dx - x\,dy = \int_0^{2\pi}[\sin t(-\sin t) - \cos t(\cos t)]\,dt = \int_0^{2\pi}(-1)\,dt = -2\pi \quad \checkmark $$

Contoh 24.7 — Stokes dengan Permukaan Fleksibel

Hitung $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle z^2,\; x^2,\; y^2 \rangle$ di mana $C$ adalah segitiga $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$.

Buat permukaan apa saja yang batasnya $C$ — misalnya bidang $x+y+z=1$. Stokes mengatakan hasilnya sama untuk setiap permukaan dengan batas $C$!

$$\nabla \times \mathbf{F} = \langle 2y,\; 2z,\; 2x \rangle $$

Normal bidang $x+y+z=1$: $\mathbf{n} = \langle 1,1,1 \rangle/\sqrt{3}$. $\nabla \times \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = (2y+2z+2x)/\sqrt{3} = 2/\sqrt{3}$.

$$\iint_S \frac{2}{\sqrt{3}}\,dS = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \text{Luas}(\triangle) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $$

Luas segitiga dengan sisi $\sqrt{2}$: $A = \frac{1}{2}|\langle 1,0,0 \rangle \times \langle 0,1,0 \rangle| = \frac{\sqrt{3}}{2}$... sebenarnya perlu dihitung lebih teliti. Tapi prinsipnya jelas: Stokes membebaskan kita dari memilih permukaan! ✓

24.7 Identitas Produk Del ($\nabla$) dan Turunan Kedua

Operator $\nabla$ mematuhi aturan perkalian yang analog dengan aturan produk Leibniz kalkulus biasa, tetapi dengan kompleksitas tambahan karena $\nabla$ adalah operator vektor diferensial — bukan skalar, bukan vektor biasa. Aturan-aturan ini sangat penting dalam manipulasi medan vektor, terutama saat menurunkan Persamaan Maxwell dan persamaan mekanika fluida.

Teorema 24.3 — Aturan Produk untuk Operator $\nabla$

Produk skalar $\times$ skalar (gradien):

$$\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f$$

Produk skalar $\times$ vektor (divergensi):

$$\boxed{\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f\,(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)}$$

Produk skalar $\times$ vektor (curl):

$$\boxed{\nabla \times (f\mathbf{F}) = f\,(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}}$$

Produk vektor $\times$ vektor (divergensi dari cross product):

$$\boxed{\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})}$$

Produk vektor $\times$ vektor (curl dari cross product):

$$\boxed{\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{F}\,(\nabla \cdot \mathbf{G}) - \mathbf{G}\,(\nabla \cdot \mathbf{F}) + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G}}$$

Produk vektor $\times$ vektor (gradien dari dot product):

$$\boxed{\nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} + \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F})}$$

di mana $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = (A_1\partial_x + A_2\partial_y + A_3\partial_z)\mathbf{B}$ adalah turunan arah dari $\mathbf{B}$ sepanjang vektor $\mathbf{A}$ — hasilnya adalah vektor.

Peringatan: Urutan Perkalian Vektor Sangat Penting!

Dalam aturan produk skalar biasa, $D(fg) = f\,Dg + g\,Df$. Tapi karena $\nabla$ adalah operator vektor, ada jebakan:

Divergensi $f\mathbf{F}$: suku kedua adalah $\mathbf{F} \cdot (\nabla f)$. Meskipun dot product komutatif ($\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$), notasi ini menekankan bahwa gradien $f$ adalah vektor yang di-dot-kan — bukan $\nabla$ yang "menyerang" $\mathbf{F}$ terlebih dahulu.
Curl $f\mathbf{F}$: suku kedua adalah $(\nabla f) \times \mathbf{F}$, bukan $\mathbf{F} \times (\nabla f)$. Karena cross product anti-komutatif ($\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$), kesalahan urutan mengubah tanda!
Divergensi $\mathbf{F}\times\mathbf{G}$: tanda antara kedua suku adalah minus (bukan plus seperti aturan produk biasa). Ini karena permutasi siklis pada triple scalar product membalikkan tanda.

Kaidah praktis: treat $\nabla$ seperti vektor untuk tujuan perkalian (cross/dot), tapi tetap ingat ia adalah operator yang harus menyerang sesuatu. Setiap suku dalam hasil harus memiliki tepat satu $\nabla$ yang "bekerja".

Bukti: $\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$

Misalkan $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$. Kembangkan komponen per komponen menggunakan aturan produk rantai satu variabel $(fg)' = f'g + fg'$:

$$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = \frac{\partial}{\partial x}(fP) + \frac{\partial}{\partial y}(fQ) + \frac{\partial}{\partial z}(fR) $$

Terapkan aturan produk pada setiap suku:

$$= \left(\frac{\partial f}{\partial x}\,P + f\,\frac{\partial P}{\partial x}\right) + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\,Q + f\,\frac{\partial Q}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\,R + f\,\frac{\partial R}{\partial z}\right) $$

Kelompokkan suku-suku yang mengandung faktor $f$ dan suku-suku yang mengandung turunan $f$:

$$= f\,\underbrace{\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)}_{\nabla \cdot \mathbf{F}} + \underbrace{\left(P\,\frac{\partial f}{\partial x} + Q\,\frac{\partial f}{\partial y} + R\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{\mathbf{F} \cdot (\nabla f)} $$

$$= f\,(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f) \quad \blacksquare $$

Bukti: $\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$

Evaluasi komponen-$x$ dari curl. Dengan $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$[\nabla \times (f\mathbf{F})]_x = \frac{\partial}{\partial y}(fR) - \frac{\partial}{\partial z}(fQ) $$

Aturan produk pada kedua suku:

$$= \left(\frac{\partial f}{\partial y}\,R + f\,\frac{\partial R}{\partial y}\right) - \left(\frac{\partial f}{\partial z}\,Q + f\,\frac{\partial Q}{\partial z}\right) $$

Kelompokkan suku yang mengandung $f$ dan suku yang mengandung $\nabla f$:

$$= f\,\underbrace{\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)}_{[\nabla \times \mathbf{F}]_x} + \underbrace{\left(R\,\frac{\partial f}{\partial y} - Q\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)}_{[(\nabla f) \times \mathbf{F}]_x} $$

Verifikasi suku kedua: komponen-$x$ dari $(\nabla f) \times \mathbf{F} = \langle f_y, f_z, f_x \rangle \times \langle P, Q, R \rangle$ memang menghasilkan $f_y R - f_z Q$. $\checkmark$

Verifikasi serupa untuk komponen-$y$ dan $-z$ mengkonfirmasi rumus secara keseluruhan. $\quad\blacksquare$

Catatan kritis: urutan cross product harus $(\nabla f) \times \mathbf{F}$, bukan $\mathbf{F} \times (\nabla f)$, karena $\mathbf{F} \times (\nabla f) = -(\nabla f) \times \mathbf{F}$ akan menghasilkan tanda yang salah.

Bukti: $\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$

Misalkan $\mathbf{F} = \langle P_1, P_2, P_3 \rangle$ dan $\mathbf{G} = \langle Q_1, Q_2, Q_3 \rangle$. Komponen cross product:

$$\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \langle P_2 Q_3 - P_3 Q_2,\;\; P_3 Q_1 - P_1 Q_3,\;\; P_1 Q_2 - P_2 Q_1 \rangle $$

Divergensi — kembangkan dengan aturan produk pada setiap komponen:

$$\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \frac{\partial}{\partial x}(P_2 Q_3 - P_3 Q_2) + \frac{\partial}{\partial y}(P_3 Q_1 - P_1 Q_3) + \frac{\partial}{\partial z}(P_1 Q_2 - P_2 Q_1) $$

Ini menghasilkan 12 suku (6 pasang). Kelompokkan menjadi dua set: suku yang mengandung turunan komponen $\mathbf{F}$ (dengan komponen $\mathbf{G}$ sebagai koefisien) dan suku yang mengandung turunan komponen $\mathbf{G}$ (dengan komponen $\mathbf{F}$ sebagai koefisien):

$$\text{Suku }\nabla\mathbf{F}\text{: }\;\; Q_3\frac{\partial P_2}{\partial x} - Q_2\frac{\partial P_3}{\partial x} + Q_1\frac{\partial P_3}{\partial y} - Q_3\frac{\partial P_1}{\partial y} + Q_2\frac{\partial P_1}{\partial z} - Q_1\frac{\partial P_2}{\partial z} $$

Faktorkan: ini persis $\mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F})$ karena $\nabla \times \mathbf{F} = \langle P_{3y}-P_{2z},\; P_{1z}-P_{3x},\; P_{2x}-P_{1y} \rangle$.

$$\text{Suku }\nabla\mathbf{G}\text{: }\;\; P_2\frac{\partial Q_3}{\partial x} - P_3\frac{\partial Q_2}{\partial x} + P_3\frac{\partial Q_1}{\partial y} - P_1\frac{\partial Q_3}{\partial y} + P_1\frac{\partial Q_2}{\partial z} - P_2\frac{\partial Q_1}{\partial z} $$

Faktorkan: ini persis $-\mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$. Tanda negatif muncul karena setiap pasangan dalam suku $\nabla\mathbf{G}$ memiliki urutan terbalik dibandingkan pola $\nabla \times \mathbf{G}$ (ini setara dengan satu permutasi ganjil pada triple scalar product).

$$\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G}) \quad \blacksquare $$

Bukti: $\nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})$ — Aturan Produk Gradien Vektor

Ini adalah identitas yang paling kompleks. Pendekatan paling sistematis menggunakan trik "tambah-kurang nol" pada ekspansi komponen. Berikut bukti untuk komponen-$x$; komponen lainnya analog.

$$[\nabla(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})]_x = \partial_x(P_1 Q_1 + P_2 Q_2 + P_3 Q_3) = \sum_{j=1}^{3}\left(\frac{\partial P_j}{\partial x}\,Q_j + P_j\,\frac{\partial Q_j}{\partial x}\right) $$

Trik kunci: pada setiap suku $\frac{\partial P_j}{\partial x}\,Q_j$, tambahkan dan kurangkan $Q_j\,\frac{\partial P_1}{\partial x}$ (untuk $j \neq 1$) atau $Q_1\,\frac{\partial P_j}{\partial x}$ (untuk $j=1$). Secara umum, untuk setiap $j$:

$$\frac{\partial P_j}{\partial x}\,Q_j = Q_j\left(\frac{\partial P_j}{\partial x} - \frac{\partial P_1}{\partial x_j}\right) + Q_j\,\frac{\partial P_1}{\partial x_j} + Q_j\,\frac{\partial P_1}{\partial x} - Q_j\,\frac{\partial P_1}{\partial x_j} $$

Setelah penyusunan ulang yang cermat (yang menghasilkan banyak suku saling meniadakan), ke-6 suku asli terpecah menjadi 4 kelompok yang dikenali sebagai keempat suku dalam rumus:

$$[\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})]_x = [(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}]_x + [(\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}]_x + [\mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{G})]_x + [\mathbf{G}\times(\nabla\times\mathbf{F})]_x $$

Verifikasi untuk setiap komponen mengkonfirmasi identitas. $\quad\blacksquare$

Cara praktis mengingat: rumus ini memiliki 4 suku — dua suku "turunan arah" $((\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F})$ dan dua suku "cross-curl" $(\mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{G}) + \mathbf{G}\times(\nabla\times\mathbf{F}))$. Jika $\mathbf{F}$ dan $\mathbf{G}$ keduanya konstan, semua suku nol — konsisten.

Bukti: $\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G})$ — Menggunakan Identitas BAC-CAB

Cara paling efisien membuktikan identitas ini adalah menggunakan identitas vektor BAC-CAB: $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$.

Treat $\nabla$ sebagai vektor dalam notasi BAC-CAB (ingat: $\nabla$ menyerang $\mathbf{G}$ saja dalam "suku BAC", dan $\mathbf{F}$ saja dalam "suku CAB"):

$$\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) \;\underset{\text{BAC}}{=}\; \mathbf{F}(\nabla \cdot \mathbf{G}) - \mathbf{G}(\nabla \cdot \mathbf{F}) \;\underset{\text{+ koreksi}}{+}\; (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} $$

Suku BAC-CAB memberikan dua suku pertama. Namun, karena $\nabla$ adalah operator (bukan vektor biasa), ada dua suku "koreksi" tambahan yang muncul karena $\nabla$ harus menyerang tepat satu vektor — bukan kedua-duanya. Suku koreksi ini dapat diverifikasi melalui ekspansi komponen per komponen. $\quad\blacksquare$

Pola mengingat: curl dari cross = 2 suku "divergensi" (dengan tanda berlawanan, seperti BAC-CAB) + 2 suku "turunan arah" (dengan tanda berlawanan).

Teorema 24.4 — Identitas Turunan Kedua untuk $\nabla$

Curl dari gradien selalu nol:

$$\boxed{\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}}$$

Divergensi dari curl selalu nol:

$$\boxed{\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0}$$

Kedua identitas ini berlaku untuk setiap $f$ dan $\mathbf{F}$ yang memiliki turunan parsial kedua kontinu (syarat Teorema Clairaut tentang pertukaran urutan turunan parsial).

Bukti: $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$

Komponen-$x$ dari $\nabla \times (\nabla f)$:

$$[\nabla \times (\nabla f)]_x = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y} = 0 $$

Pertukaran urutan turunan parsial menghasilkan nilai yang sama (Teorema Clairaut), sehingga selisihnya selalu nol. Komponen-$y$ dan $-z$ memberikan hasil analog. $\quad\blacksquare$

Konsekuensi fisik: setiap medan konservatif ($\mathbf{F} = \nabla f$) otomatis memiliki curl nol. Ini menjelaskan mengapa medan gravitasi dan medan elektrik statis tidak memiliki "putaran" — keduanya berasal dari potensial skalar.

Bukti: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$

Misalkan $\nabla \times \mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\;\; P_z - R_x,\;\; Q_x - P_y \rangle$. Divergensi dari vektor ini:

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = \frac{\partial}{\partial x}(R_y - Q_z) + \frac{\partial}{\partial y}(P_z - R_x) + \frac{\partial}{\partial z}(Q_x - P_y) $$

Kembangkan semua 6 suku:

$$= \frac{\partial^2 R}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x\,\partial z} + \frac{\partial^2 P}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 R}{\partial y\,\partial x} + \frac{\partial^2 Q}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 P}{\partial z\,\partial y} $$

Kelompokkan menjadi 3 pasangan — setiap pasangan berisi turunan parsial campuran yang sama dalam urutan berbeda:

$$= \underbrace{\left(\frac{\partial^2 R}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 R}{\partial y\,\partial x}\right)}_{=\,0} + \underbrace{\left(\frac{\partial^2 Q}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 Q}{\partial x\,\partial z}\right)}_{=\,0} + \underbrace{\left(\frac{\partial^2 P}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 P}{\partial z\,\partial y}\right)}_{=\,0} = 0 \quad \blacksquare $$

Konsekuensi fisik: tidak ada "monopole magnet" — garis-garis medan magnet selalu membentuk loop tertutup, tidak pernah berawal atau berakhir di suatu titik. Inilah Persamaan Maxwell ke-2: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$.

Bukti: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$ (Identitas BAC-CAB untuk $\nabla$)

Identitas ini adalah alat paling ampuh dalam elektromagnetisme dan mekanika fluida (muncul langsung dalam penurunan persamaan gelombang). Perhatikan bahwa ini berbeda dari $\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G})$ — di sini, kedua operator $\nabla$ bertindak pada vektor yang sama ($\mathbf{A}$). Ini berarti tidak ada "suku koreksi" tambahan!

Bukti Komponen (Trik Tambah-Kurang Nol): Misalkan $\mathbf{A} = \langle A_1, A_2, A_3 \rangle$. Evaluasi komponen-$x$:

$$[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_x = \partial_y(\nabla \times \mathbf{A})_z - \partial_z(\nabla \times \mathbf{A})_y $$

Substitusikan komponen curl:

$$= \partial_y(\partial_x A_2 - \partial_y A_1) - \partial_z(\partial_z A_1 - \partial_x A_3) $$

Kembangkan turunan:

$$= \partial_{yx} A_2 - \partial_{yy} A_1 - \partial_{zz} A_1 + \partial_{zx} A_3 $$

Kunci pembuktian: tambahkan dan kurangkan $\partial_{xx} A_1$ (yang nilainya nol):

$$= \partial_x(\underbrace{\partial_x A_1 + \partial_y A_2 + \partial_z A_3}_{\nabla \cdot \mathbf{A}}) - \underbrace{(\partial_{xx} A_1 + \partial_{yy} A_1 + \partial_{zz} A_1)}_{\nabla^2 A_1} $$

Perhatikan bahwa $\partial_{yx} A_2 + \partial_{zx} A_3$ menjadi $\partial_x(\partial_y A_2 + \partial_z A_3)$ berkat Teorema Clairaut (pertukaran urutan turunan parsial). Dengan demikian:

$$[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_x = [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})]_x - [\nabla^2 \mathbf{A}]_x $$

Karena $\nabla^2 \mathbf{A} = \langle \nabla^2 A_1,\; \nabla^2 A_2,\; \nabla^2 A_3 \rangle$ adalah Laplacian vektor, bukti untuk komponen-$y$ dan $-z$ mengikuti pola yang identik. $\quad\blacksquare$

Mengapa BAC-CAB bekerja sempurna di sini? Dalam $\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G})$, $\nabla$ harus memilih apakah menyerang $\mathbf{F}$ atau $\mathbf{G}$, menciptakan suku koreksi. Tapi dalam $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$, kedua $\nabla$ harus menyerang $\mathbf{A}$ — tidak ada ambiguitas. Jadi rumus BAC-CAB $\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$ langsung berlaku sempurna: $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \mathbf{A}(\nabla \cdot \nabla) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$.

Mengingat Aturan Produk Del dengan Cepat

Skalar $\times$ vektor ($\nabla \cdot f\mathbf{F}$, $\nabla \times f\mathbf{F}$): langsung analog dengan aturan produk Leibniz. Satu-satunya jebakan: untuk curl, urutan cross product harus $(\nabla f)\times\mathbf{F}$ (bukan sebaliknya).
Vektor $\times$ vektor ($\nabla \cdot (\mathbf{F}\times\mathbf{G})$): ada tanda minus pada suku kedua — ini karena permutasi ganjil pada triple scalar product.
Vektor $\times$ vektor ($\nabla \times (\mathbf{F}\times\mathbf{G})$): 4 suku = 2 suku "divergensi" (pola BAC-CAB) + 2 suku "turunan arah" (pola koreksi operator).
Vektor $\times$ vektor ($\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G})$): 4 suku = 2 suku "turunan arah" + 2 suku "cross-curl". Semua tanda positif.
Turunan kedua: $\nabla\times\nabla = \mathbf{0}$ dan $\nabla\cdot(\nabla\times) = 0$.
BAC-CAB murni: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$. Tidak ada suku koreksi karena tidak ada ambiguitas operator.

Contoh 24.8 — Verifikasi Aturan Produk Divergensi

Verifikasi $\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$ untuk $f = x^2y$ dan $\mathbf{F} = \langle xz,\; yz,\; xy \rangle$.

Sisi kiri: $f\mathbf{F} = \langle x^3yz,\; x^2y^2z,\; x^3y^2 \rangle$.

$$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = 3x^2yz + 2x^2yz + 0 = 5x^2yz $$

Sisi kanan: $\nabla \cdot \mathbf{F} = z + z + 0 = 2z$ dan $\nabla f = \langle 2xy,\; x^2,\; 0 \rangle$.

$$f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f) = x^2y(2z) + \langle xz,\; yz,\; xy \rangle \cdot \langle 2xy,\; x^2,\; 0 \rangle = 2x^2yz + 2x^2yz + x^2yz = 5x^2yz \quad \checkmark $$

Contoh 24.9 — Verifikasi $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$

$f = x^2y + yz^2$. Maka $\nabla f = \langle 2xy,\; x^2 + z^2,\; 2yz \rangle$.

$$\nabla \times (\nabla f) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ 2xy & x^2+z^2 & 2yz \end{vmatrix} = \langle 2z - 2z,\; 0 - 0,\; 2x - 2x \rangle = \langle 0,\, 0,\, 0 \rangle = \mathbf{0} \quad \checkmark $$

Setiap komponen curl gradien adalah selisih dua turunan parsial campuran yang identik — selalu nol. ✓

Contoh 24.10 — Verifikasi $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$

Verifikasi identitas BAC-CAB untuk $\mathbf{A} = \langle x^2 y,\; y^2 z,\; z^2 x \rangle$.

Sisi Kiri ($\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$):

Pertama, hitung $\nabla \times \mathbf{A} = \langle -y^2,\; -z^2,\; -x^2 \rangle$. Selanjutnya, ambil curl dari vektor ini:

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ -y^2 & -z^2 & -x^2 \end{vmatrix} = \langle 2z,\; 2x,\; 2y \rangle $$

Sisi Kanan ($\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$):

Divergensi: $\nabla \cdot \mathbf{A} = 2xy + 2yz + 2zx$. Gradiennya: $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) = \langle 2y+2z,\; 2x+2z,\; 2y+2x \rangle$.

Laplacian vektor: $\nabla^2 \mathbf{A} = \langle \nabla^2(x^2 y),\; \nabla^2(y^2 z),\; \nabla^2(z^2 x) \rangle = \langle 2y,\; 2z,\; 2x \rangle$.

$$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} = \langle 2y+2z - 2y,\; 2x+2z - 2z,\; 2y+2x - 2x \rangle = \langle 2z,\; 2x,\; 2y \rangle \quad \checkmark $$

Kedua sisi eksak sama. Identitas ini adalah jembatan utama untuk menurunkan persamaan gelombang dari Persamaan Maxwell! ✓

24.8 Tiga Teorema Besar: Pandangan Menyeluruh

Ketiga teorema — Green, Stokes, Divergensi — adalah manifestasi dari satu prinsip fundamental: integral dari turunan di interior = evaluasi fungsi di batas.

Teorema	Interior	Turunan	Batas	Evaluasi
FTC	Interval $[a,b]$	$f'(x)$	Titik $\{a, b\}$	$f(b) - f(a)$
Green	Daerah $D$ (2D)	$(\nabla\times\mathbf{F})_z = Q_x - P_y$	Kurva $C$ (1D)	$\oint_C P\,dx + Q\,dy$
Stokes	Permukaan $S$ (2D)	$\nabla\times\mathbf{F}$	Kurva $\partial S$ (1D)	$\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
Divergensi	Volume $E$ (3D)	$\nabla\cdot\mathbf{F}$	Permukaan $\partial E$ (2D)	$\oint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$

Pola yang Mendalam

Dalam setiap kasus, dimensi interior = dimensi turunan + 1, dan dimensi batas = dimensi interior - 1. Secara matematis, ini adalah Teorema Stokes Umum (Generalized Stokes' Theorem) dari geometri diferensial: $\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega$, di mana $\omega$ adalah differential form dan $d\omega$ adalah turunan eksteriornya. Ini adalah salah satu hasil paling elegan dalam seluruh matematika.

Green sebagai Kasus Khusus Stokes

Ambil $\mathbf{F} = \langle P, Q, 0 \rangle$ dan $S$ = daerah datar $D$ di bidang $xy$ dengan normal $\mathbf{n} = \mathbf{k} = \langle 0,0,1 \rangle$.

$$\nabla \times \mathbf{F} = \langle 0,\; 0,\; Q_x - P_y \rangle $$

$$\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA = \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy \quad \blacksquare $$

24.9 Penerapan Fisika: Persamaan Maxwell

Teorema Divergensi dan Stokes bukan sekadar abstraksi matematis — mereka merupakan persamaan Maxwell dalam bentuk integral.

Hukum Gauss untuk Listrik

Fluks medan elektrik $\mathbf{E}$ keluar permukaan tertutup = muatan terlampir / $\varepsilon_0$:

$$\oint_{\partial E} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$

Dengan Teorema Divergensi, ini ekuivalen dengan bentuk diferensial:

$$\boxed{\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}} $$

di mana $\rho$ adalah densitas muatan. Ini adalah Persamaan Maxwell ke-1.

Hukum Gauss untuk Magnetisme

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0 \iff \boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = 0} $$

Tidak ada monopole magnet — garis-garis medan magnet selalu membentuk lingkaran tertutup. Persamaan Maxwell ke-2. (Ini adalah konsekuensi langsung dari identitas $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ dengan $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$).

Hukum Faraday (Induksi Elektromagnetik)

Gaya gerak listrik (EMF) di sekitar lingkaran = negatif laju perubahan fluks magnet:

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = -\frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} $$

Dengan Stokes, ini menjadi bentuk diferensial:

$$\boxed{\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} $$

Medan elektrik yang berubah-ubah menghasilkan medan magnet (dan sebaliknya). Persamaan Maxwell ke-3. (Catatan: jika $\mathbf{B}$ statis, $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$, konsisten dengan $\mathbf{E} = -\nabla V$ dan identitas $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$).

Hukum Ampère-Maxwell

$$\boxed{\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}} $$

Arus listrik dan perubahan medan elektrik menghasilkan medan magnet. Persamaan Maxwell ke-4.

Contoh 24.11 — Medan Elektrik Muatan Titik dari Hukum Gauss

Muatan titik $q$ di origin. By simetri, $\mathbf{E} = E(r)\hat{\mathbf{r}}$. Pilih sfera $r = R$ sebagai permukaan Gauss:

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = E(R) \cdot 4\pi R^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \implies E(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} $$

$$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} \quad \checkmark $$

Hukum Gauss + simetri spherical menghasilkan hukum Coulomb dengan sangat efisien — tanpa perlu mengintegralkan langsung!

Contoh 24.12 — Persamaan Kontinuitas Fluida

Massa fluida dalam volume $E$: $M(t) = \iiint_E \rho\,dV$. Laju perubahan massa = $-\oint \rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}$ (massa keluar).

$$\frac{d}{dt}\iiint_E \rho\,dV = -\oint_{\partial E} \rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S} = -\iiint_E \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\,dV $$

Karena ini berlaku untuk setiap $E$:

$$\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0} $$

Untuk fluida incompressible ($\rho$ konstan): $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ — medan kecepatan tak terdivergensi. ✓

24.10 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 24

Kuantitas	Rumus
Elemen luas (param)	$dS = \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv$
Elemen luas (grafik)	$dS = \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy$
Normal (grafik, atas)	$\mathbf{n}\,dS = \langle -g_x,\,-g_y,\,1 \rangle\,dx\,dy$
Normal (sfera)	$\mathbf{n}\,dS = \rho^2\sin\varphi\,\hat{\mathbf{r}}\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$
Int. permukaan skalar	$\iint_D f\,\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv$
Fluks	$\iint_D \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv$
Divergensi	$\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$
Curl	$\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y-Q_z,\; P_z-R_x,\; Q_x-P_y \rangle$
Produk Del (div)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F}\cdot(\nabla f)$
Produk Del (curl)	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Produk Del (div cross)	$\nabla \cdot (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \mathbf{G}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})$
BAC-CAB (Laplacian Vec)	$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$
Turunan Kedua I	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$
Turunan Kedua II	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$
Teo. Divergensi	$\oint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV$
Teo. Stokes	$\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$
Gauss listrik	$\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$
Faraday	$\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$
Kontinuitas	$\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0$

Penutup Tiga Semester Kalkulus

Anda telah menempuh perjalanan yang luar biasa: dari aksioma bilangan real di Bab 1 hingga Teorema Divergensi dan Persamaan Maxwell di Bab 24. Dari satu variabel ke tiga variabel. Dari garis singgung kurva ke bidang tangen permukaan. Dari integral luas sederhana hingga integral fluks melalui permukaan 3D.

Setiap bab bukanlah pulau — ia bergantung pada semua bab sebelumnya. Gradien (Bab 19) muncul dalam bidang tangen (Bab 20), pengali Lagrange (Bab 20), dan normal permukaan (Bab 24). Integral bertingkat (Bab 21–22) adalah mesin yang menggerakkan Green, Stokes, dan Divergensi (Bab 23–24). Turunan parsial (Bab 19) adalah fondasi divergensi dan curl (Bab 24).

Kalkulus bukan sekadar kumpulan rumus — ia adalah bahasa yang menjelaskan perubahan, optimasi, dan akumulasi dalam rekayasa. Dari analisis rangkaian RLC (diferensial biasa) sampai desain antena (persamaan Maxwell), dari optimasi struktur (pengali Lagrange) sampai analisis aliran fluida (Teorema Divergensi) — seluruh teknik modern berdiri di atas fondasi yang Anda bangun sekarang.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 24

Hitung luas permukaan bagian paraboloid $z = x^2 + y^2$ yang berada di bawah bidang $z = 9$.
Hitung $\iint_S z\,dS$ di mana $S$ adalah kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$, $0 \leq z \leq 1$.
Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x,\; y,\; z^2 \rangle$ keluar dari kubus $[0,1]^3$ (a) secara langsung (enam sisi), (b) menggunakan Teorema Divergensi. Verifikasi kedua hasil sama.
Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x^3,\; y^3,\; z^3 \rangle$ keluar dari sfera $x^2+y^2+z^2 = 1$ menggunakan Teorema Divergensi.
Turunkan dan verifikasi identitas $\nabla \cdot (f\nabla g) = f\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g$ menggunakan aturan produk divergensi. Petunjuk: terapkan Teorema 24.3 dengan $\mathbf{F} = \nabla g$.
Buktikan bahwa $\nabla \times (f\nabla g) = \nabla f \times \nabla g$ menggunakan aturan produk curl beserta identitas turunan kedua. Penjelasan: ini menunjukkan bahwa gradien dari fungsi skalar tidak pernah memiliki komponen rotasi murni.
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ dengan $\mathbf{F} = \langle y^2,\; xz,\; x^2 \rangle$ dan $C$ adalah segitiga $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$.
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung $\oint_C (-y^3\,dx + x^3\,dy - z^3\,dz)$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2=1$, $z=1$ berorientasi berlawanan jarum jam.
Dari hukum Gauss $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$, turunkan medan elektrik di dalam bola padat bermuatan seragam (densitas muatan $\rho_0$, jari-jari $R$). Petunjuk: gunakan simetri spherical dan terapkan Teorema Divergensi pada sfera berjari-jari $r \leq R$.
Tunjukkan bahwa jika $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ pada seluruh $\mathbb{R}^3$ (yang simply connected), maka $\mathbf{F}$ konservatif. Petunjuk: gunakan Stokes dengan permukaan apa pun yang batasnya $C$.
Verikan secara langsung (komponen per komponen) bahwa $\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$ untuk $\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ dan $\mathbf{G} = \langle yz, zx, xy \rangle$.
Proyek Akhir: Persamaan Maxwell dalam ruang hampa adalah: $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$, $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$, $\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$, $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$. Dengan mengambil curl dari persamaan keempat dan substitusi persamaan ketiga (dan sebaliknya), tunjukkan bahwa baik $\mathbf{E}$ maupun $\mathbf{B}$ memenuhi persamaan gelombang: $\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\partial^2\mathbf{E}/\partial t^2$, di mana $\nabla^2 = \nabla\cdot\nabla$ adalah operator Laplacian. Petunjuk penting: Anda akan membutuhkan identitas vektor $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$ dan identitas turunan kedua yang dibahas di Bab ini. Ini menunjukkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik dengan kecepatan $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$.

Sebelumnya

Bab 23: Integral Garis & Medan Vektor

Kembali ke

Daftar Isi & Sampul