Bab 3

Turunan Fungsi

Turunan mengukur laju perubahan sesaat suatu fungsi — konsep yang menjadi jantung kalkulus diferensial. Bab ini membangun definisi turunan dari limit fungsi beda, menurunkan semua aturan diferensiasi yang diperlukan, dan membahas teknik turunan implisit serta turunan orde tinggi.

DEF Definisi DAS Aturan Dasar PQT Produk/Bagi RNT Rantai IMP Implisit ORD Orde Tinggi
Gambar 3.1 — Alur konsep Bab 3: dari definisi limit hingga turunan orde tinggi

3.1 Definisi Turunan

Definisi 3.1 — Turunan Fungsi di Suatu Titik

Turunan fungsi \(f\) di titik \(x = a\), ditulis \(f'(a)\), didefinisikan sebagai limit:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

asalkan limit ini ada. Jika limitnya ada, kita katakan \(f\) terdiferensiasi (differentiable) di \(a\).

Bentuk alternatif yang sering berguna (substitusi \(x = a + h\), sehingga \(h = x - a\)):

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
a x y garis singgung P(a, f(a)) Q(a+h, f(a+h)) garis potong h f(a+h)−f(a)
Gambar 3.2 — Interpretasi geometris turunan: garis potong \(PQ\) mendekati garis singgung saat \(h \to 0\)
Contoh 3.1 —

Turunan dari \(f(x) = x^2\) di \(x = 3\) dari Definisi

Langkah 1: Tulis bentuk limit:

$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$$

Langkah 2: Ekspansi dan sederhanakan:

$$= \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$$

Jadi \(f'(3) = 6\). Garis singgung di \((3, 9)\) memiliki kemiringan \(6\).

Contoh 3.2 —

Turunan dari \(f(x) = \sqrt{x}\) di \(x = 4\) dari Definisi

$$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$$

Rasionalisasi pembilang (kalikan dengan \(\dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}\)):

$$= \lim_{h \to 0} \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h}+2} = \frac{1}{4}$$
$$\boxed{f'(4) = \frac{1}{4}}$$
Contoh 3.3 —

Fungsi yang Tidak Terdiferensiasi: \(f(x) = |x|\) di \(x = 0\)

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$$

Periksa limit sisi:

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$$

Karena limit kanan \(\neq\) limit kiri, limit tidak ada. Jadi \(f(x) = |x|\) tidak terdiferensiasi di \(x = 0\), meskipun kontinu di sana. Ini membentuk "puncak" (corner point) pada grafik.

Contoh 3.4 — Turunan Fungsi Konstanta dari Definisi

Misalkan \(f(x) = c\) untuk semua \(x\).

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(c) = 0}$$

Interpretasi: fungsi konstan tidak berubah, laju perubahannya nol.

Contoh 3.5 —

Turunan \(f(x) = x^n\) dari Definisi (Bukti Rumus Pangkat)

Gunakan ekspansi binomial:

$$(a+h)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}h + \binom{n}{2}a^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^n - a^n}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{na^{n-1}h + \binom{n}{2}a^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0}\left[na^{n-1} + \binom{n}{2}a^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}\right] = na^{n-1}$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}}$$

Bukti ini berlaku untuk \(n \in \mathbb{N}\). Kita akan memperluas ke \(n \in \mathbb{R}\) di bagian selanjutnya.

3.2 Interpretasi Fisik: Kecepatan Sesaat

Jika \(s(t)\) adalah posisi suatu benda pada waktu \(t\), maka:

  • Kecepatan rata-rata pada \([t_0, t_0 + h]\): \(\displaystyle v_{\text{avg}} = \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\)
  • Kecepatan sesaat di \(t_0\): \(\displaystyle v(t_0) = s'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\)
  • Percepatan: \(\displaystyle a(t) = v'(t) = s''(t)\)
Contoh 3.6 — Gerak Jatuh Bebas

Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian. Posisinya: \(s(t) = -4.9t^2 + 50\) (meter, dengan \(t\) dalam sekon, asumsi tanpa hambatan udara).

(a) Kecepatan sesaat:

$$v(t) = s'(t) = -9.8t \quad \text{m/s}$$

(b) Kecepatan saat \(t = 2\) s:

$$v(2) = -9.8(2) = -19.6 \text{ m/s}$$

Tanda negatif menunjukkan arah ke bawah.

(c) Percepatan:

$$a(t) = v'(t) = -9.8 \text{ m/s}^2$$

Konstan — sesuai dengan percepatan gravitasi.

(d) Waktu menyentuh tanah: \(s(t) = 0 \implies -4.9t^2 + 50 = 0 \implies t = \sqrt{50/4.9} \approx 3.19\) s.

(e) Kecepatan saat menyentuh tanah: \(v(3.19) = -9.8(3.19) \approx -31.3\) m/s.

3.3 Hubungan Keberlanjutan dan Terdiferensiasi

Teorema 3.1 — Terdiferensiasi Mengimplikasikan Keberlanjutan

Jika \(f\) terdiferensiasi di \(a\), maka \(f\) kontinu di \(a\).

Bukti: Kita perlu menunjukkan \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\), yaitu \(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) - f(a)] = 0\).

$$f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a)$$
$$\lim_{x \to a} [f(x) - f(a)] = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot \lim_{x \to a}(x - a) = f'(a) \cdot 0 = 0 \quad \blacksquare$$
Kebalikan Tidak Benar!

Kontinu tidak mengimplikasikan terdiferensiasi. Contoh: \(f(x) = |x|\) kontinu di \(\mathbb{R}\) tetapi tidak terdiferensiasi di \(x = 0\). Demikian juga \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) kontinu di \(\mathbb{R}\) tetapi tidak terdiferensiasi di \(x = 0\) (turunannya \(= \infty\), garis singgung vertikal).

3.4 Notasi Turunan

NotasiDibacaKonteks Penggunaan
\(f'(x)\)"ef aksen x"Umum, fungsi bernama
\(\dfrac{dy}{dx}\)"de y de de x"Leibniz, menekankan variabel
\(\dfrac{df}{dx}\)"de ef de de x"Leibniz untuk fungsi
\(\dfrac{d}{dx}[f(x)]\)"turunan terhadap x dari..."Operator aktif
\(\dot{y}\)"y titik"Newton, khusus turunan waktu
\(D_x f\)"D sub x dari f"Operator, jarang dipakai

3.5 Aturan Diferensiasi Dasar

Aturan 1 — Konstanta

\(\dfrac{d}{dx}(c) = 0\)

Aturan 2 — Pangkat (Power Rule)

\(\dfrac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\), berlaku untuk semua \(n \in \mathbb{R}\)

Aturan 3 — Konstanta Kali

\(\dfrac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)\)

Aturan 4 — Penjumlahan/Pengurangan

\(\dfrac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)\)

Contoh 3.7 — Aturan Pangkat untuk Eksponen Rasional dan Negatif

(a) \(\dfrac{d}{dx}(x^{3/2}) = \dfrac{3}{2}\,x^{1/2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\)

(b) \(\dfrac{d}{dx}(x^{-5}) = -5x^{-6} = -\dfrac{5}{x^6}\)

(c) \(\dfrac{d}{dx}(\sqrt[3]{x^4}) = \dfrac{d}{dx}(x^{4/3}) = \dfrac{4}{3}\,x^{1/3} = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{x}\)

(d) \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{d}{dx}(x^{-1/2}) = -\dfrac{1}{2}\,x^{-3/2} = -\dfrac{1}{2x^{3/2}}\)

Contoh 3.8 — Kombinasi Aturan Dasar

\(f(x) = 3x^5 - 4x^3 + 7x^2 - \sqrt{x} + \dfrac{2}{x^3} - 11\)

$$f'(x) = 15x^4 - 12x^2 + 14x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{6}{x^4}$$

Penjelasan langkah: \(3(5x^4) - 4(3x^2) + 7(2x) - \frac{1}{2}x^{-1/2} + 2(-3)x^{-4} - 0\)

Contoh 3.9 — Menentukan Persamaan Garis Singgung

Soal: Tentukan persamaan garis singgung kurva \(y = x^3 - 3x + 1\) di titik \(x = 2\).

Langkah 1: Titik singgung: \(y(2) = 8 - 6 + 1 = 3\), jadi titiknya \((2, 3)\).

Langkah 2: Kemiringan: \(y' = 3x^2 - 3\), maka \(m = y'(2) = 12 - 3 = 9\).

Langkah 3: Persamaan garis: \(y - 3 = 9(x - 2)\)

$$\boxed{y = 9x - 15}$$
Contoh 3.10 — Garis Singgung Horizontal

Soal: Cari semua titik pada \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) yang memiliki garis singgung horizontal.

Garis singgung horizontal \(\iff\) kemiringan \(= 0\):

$$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0$$

Jadi \(x = 1\) dan \(x = 3\). Titik-titiknya:

$$x = 1: \quad y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \implies (1, 5)$$
$$x = 3: \quad y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 \implies (3, 1)$$

3.6 Aturan Perkalian (Product Rule)

Teorema 3.2 — Aturan Perkalian

Jika \(u = f(x)\) dan \(v = g(x)\) keduanya terdiferensiasi, maka:

$$(uv)' = u'v + uv' \qquad \text{atau} \qquad \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
Bukti Singkat Aturan Perkalian
$$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$
$$= \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

Saat \(h \to 0\): suku pertama \(\to f'(x) \cdot g(x)\) (karena \(g\) kontinu), suku kedua \(\to f(x) \cdot g'(x)\). ∎

Contoh 3.11 — Aturan Perkalian Sederhana

\(\dfrac{d}{dx}(x^3 \sin x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x\)

Contoh 3.12 — Product Rule dengan Tiga Faktor

\(\dfrac{d}{dx}(x^2 \cdot e^x \cdot \ln x)\)

Gunakan product rule dua kali (atau generalisasi: \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\)):

$$= 2x \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}$$
$$= xe^x\ln x(2 + x) + xe^x = \boxed{xe^x\left[(2+x)\ln x + 1\right]}$$
Contoh 3.13 — Product Rule: Fungsi Trigonometri

\(\dfrac{d}{dx}(x^2 \cos x \cdot \sin 3x)\)

Biarkan \(u = x^2\), \(v = \cos x\), \(w = \sin 3x\). Maka \(u' = 2x\), \(v' = -\sin x\), \(w' = 3\cos 3x\).

$$= 2x \cos x \sin 3x + x^2(-\sin x)\sin 3x + x^2 \cos x(3\cos 3x)$$
$$= 2x\cos x\sin 3x - x^2\sin x\sin 3x + 3x^2\cos x\cos 3x$$

3.7 Aturan Pembagian (Quotient Rule)

Teorema 3.3 — Aturan Pembagian

Jika \(u = f(x)\) dan \(v = g(x)\) terdiferensiasi dengan \(g(x) \neq 0\):

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad \text{atau} \qquad \frac{d}{dx}\!\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
Mnemonic

"D e B minus B D, D kuadrat di bawah" — D = D(atar) = turunan pembilang, B = B(awah) = penyebut. Urutan D e B penting (jangan terbalik!).

Contoh 3.14 — Quotient Rule Dasar

\(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\right)\)

Di sini \(u = x^2 + 1\), \(u' = 2x\), \(v = x - 3\), \(v' = 1\):

$$= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$$
Contoh 3.15 — Quotient Rule dengan Trigonometri: \(\tan x\)

\(\dfrac{d}{dx}(\tan x) = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\)

$$= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x}$$
Contoh 3.16 — Quotient Rule: Menurunkan \(\sec x\), \(\csc x\), \(\cot x\)

(a) \(\dfrac{d}{dx}(\sec x) = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x\)

$$\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$$

(b) \(\dfrac{d}{dx}(\csc x) = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = \dfrac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\csc x \cot x\)

(c) \(\dfrac{d}{dx}(\cot x) = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right) = \dfrac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x\)

Contoh 3.17 — Quotient Rule Kompleks

\(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x \cdot e^x}{x^2 + 1}\right)\)

Ini memerlukan product rule di dalam quotient rule. \(u = xe^x\), \(u' = e^x + xe^x = e^x(1+x)\), \(v = x^2+1\), \(v' = 2x\):

$$= \frac{e^x(1+x)(x^2+1) - xe^x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x\left[(1+x)(x^2+1) - 2x^2\right]}{(x^2+1)^2}$$
$$= \frac{e^x(x^3 + x^2 + x + 1 - 2x^2)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^3 - x^2 + x + 1)}{(x^2+1)^2}$$

3.8 Aturan Rantai (Chain Rule)

Teorema 3.4 — Aturan Rantai

Jika \(y = f(u)\) dan \(u = g(x)\), dengan \(f\) terdiferensiasi di \(u = g(x)\) dan \(g\) terdiferensiasi di \(x\), maka:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \qquad \text{atau} \qquad (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Intuisi: laju perubahan \(y\) terhadap \(x\) = laju perubahan \(y\) terhadap \(u\) dikalikan laju perubahan \(u\) terhadap \(x\). Ini analog dengan "efek berantai" — setiap "link" dalam rantai dikalikan.

Contoh 3.18 — Chain Rule Dasar

\(\dfrac{d}{dx}((3x + 1)^5)\)

Fungsi luar: \(f(u) = u^5\), fungsi dalam: \(u = 3x + 1\).

$$\frac{d}{dx} = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = \boxed{15(3x+1)^4}$$
Contoh 3.19 — Chain Rule dengan Trigonometri

(a) \(\dfrac{d}{dx}(\sin(5x^2)) = \cos(5x^2) \cdot 10x = 10x\cos(5x^2)\)

(b) \(\dfrac{d}{dx}(\cos^3 x) = \dfrac{d}{dx}((\cos x)^3) = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x\)

(c) \(\dfrac{d}{dx}(\tan(\sqrt{x})) = \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)

Contoh 3.20 — Chain Rule dengan Eksponensial dan Logaritma

(a) \(\dfrac{d}{dx}(e^{x^3 - 2x}) = e^{x^3 - 2x} \cdot (3x^2 - 2)\)

(b) \(\dfrac{d}{dx}(\ln(\sin x)) = \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x\)

(c) \(\dfrac{d}{dx}(a^{g(x)}) = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)\). Contoh: \(\dfrac{d}{dx}(2^{x^2}) = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2\)

Contoh 3.21 — Chain Rule Bertingkat (Tiga Tingkat)

\(\dfrac{d}{dx}\!\left(e^{\sin(x^2 + 1)}\right)\)

Rantai: \(y = e^u\), \(u = \sin v\), \(v = x^2 + 1\).

$$\frac{dy}{dx} = e^{\sin(x^2+1)} \cdot \cos(x^2+1) \cdot 2x = \boxed{2x\,e^{\sin(x^2+1)}\cos(x^2+1)}$$
Contoh 3.22 — Chain + Product Rule Kombinasi

\(\dfrac{d}{dx}(x^2 \cdot e^{3x})\)

$$= 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot e^{3x} \cdot 3 = e^{3x}(2x + 3x^2) = \boxed{xe^{3x}(2 + 3x)}$$
Contoh 3.23 — Chain + Quotient Rule Kombinasi

\(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\sin(2x)}{1 + e^x}\right)\)

$$= \frac{2\cos(2x)(1+e^x) - \sin(2x) \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{2\cos(2x) + 2e^x\cos(2x) - e^x\sin(2x)}{(1+e^x)^2}$$

3.9 Turunan Fungsi Invers

Teorema 3.5 — Turunan Fungsi Invers

Jika \(f\) bijektif dan terdiferensiasi di titik \(x\) dengan \(f'(x) \neq 0\), maka \(f^{-1}\) terdiferensiasi di titik \(y = f(x)\) dan:

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

Dalam notasi Leibniz, ini sangat intuitif:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$$
Contoh 3.24 — Menurunkan \(\dfrac{d}{dx}(\arcsin x)\)

Misalkan \(y = \arcsin x\), maka \(x = \sin y\) dengan \(y \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\).

$$\frac{dx}{dy} = \cos y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Karena \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\), maka \(\cos y \geq 0\). Dari \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\):

$$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1}$$

3.9.1 Tabel Turunan Fungsi Invers Trigonometri

FungsiTurunanDomain
\(\arcsin x\)\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\(|x| < 1\)
\(\arccos x\)\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)\(|x| < 1\)
\(\arctan x\)\(\dfrac{1}{1+x^2}\)\(\mathbb{R}\)
\(\text{arccot}\, x\)\(-\dfrac{1}{1+x^2}\)\(\mathbb{R}\)
\(\text{arcsec}\, x\)\(\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)\(|x| > 1\)
\(\text{arccsc}\, x\)\(-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)\(|x| > 1\)
Contoh 3.25 — Turunan Invers Trigonometri dengan Chain Rule

(a) \(\dfrac{d}{dx}(\arcsin(3x)) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}} \cdot 3 = \dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\)

(b) \(\dfrac{d}{dx}(\arctan(e^x)) = \dfrac{1}{1 + e^{2x}} \cdot e^x = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}\)

(c) \(\dfrac{d}{dx}(\arccos(\sqrt{x})) = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}\)

3.10 Turunan Fungsi Hiperbolik

FungsiDefinisiTurunan
\(\sinh x\)\(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\)\(\cosh x\)
\(\cosh x\)\(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)\(\sinh x\)
\(\tanh x\)\(\dfrac{\sinh x}{\cosh x}\)\(\text{sech}^2 x\)
\(\text{csch}\, x\)\(\dfrac{1}{\sinh x}\)\(-\text{csch}\, x \coth x\)
\(\text{sech}\, x\)\(\dfrac{1}{\cosh x}\)\(-\text{sech}\, x \tanh x\)
\(\coth x\)\(\dfrac{\cosh x}{\sinh x}\)\(-\text{csch}^2 x\)
Perbandingan dengan Trigonometri

Perhatikan pola mirip tetapi tidak ada tanda negatif pada \(\dfrac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\) (bandingkan dengan \(\dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)). Ini karena identitas hiperbolik \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\) memiliki tanda \(+\) berbeda dari \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).

Contoh 3.26 — Turunan Fungsi Invers Hiperbolik

\(\dfrac{d}{dx}(\text{arsinh}\, x) = \dfrac{d}{dx}\!\left(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\right)\)

$$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(\text{arsinh}\, x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}$$

3.11 Turunan Implisit

Ketika suatu hubungan antara \(x\) dan \(y\) dinyatakan secara implisit (misalnya \(x^2 + y^2 = 25\)) alih-alih eksplisit (\(y = \pm\sqrt{25 - x^2}\)), kita dapat menurunkan terhadap \(x\) dengan menganggap \(y\) sebagai fungsi dari \(x\), lalu menerapkan chain rule setiap kali muncul \(\dfrac{d}{dx}(y) = \dfrac{dy}{dx}\).

Contoh 3.27 — Turunan Implisit: Lingkaran

Soal: Find \(\dfrac{dy}{dx}\) untuk \(x^2 + y^2 = 25\).

Turunkan setiap suku terhadap \(x\):

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

Selesaikan untuk \(\dfrac{dy}{dx}\):

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}, \quad y \neq 0$$

Verifikasi: dari bentuk eksplisit \(y = \sqrt{25 - x^2}\), turunkan langsung:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{-x}{y} \quad \checkmark$$
Contoh 3.28 — Turunan Implisit: Kurva Kompleks

Soal: Tentukan \(\dfrac{dy}{dx}\) dan \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) untuk \(x^3 + y^3 = 6xy\).

Langkah 1: Turunan pertama — turunkan setiap suku:

$$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$$

Kumpulkan suku yang mengandung \(\dfrac{dy}{dx}\):

$$3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$$
$$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2 \implies \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}}$$

Langkah 2: Turunan kedua — turunkan \(\dfrac{dy}{dx}\) menggunakan quotient rule. Biarkan \(N = 2y - x^2\) dan \(D = y^2 - 2x\):

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left(2\frac{dy}{dx} - 2x\right)(y^2 - 2x) - (2y - x^2)\left(2y\frac{dy}{dx} - 2\right)}{(y^2 - 2x)^2}$$

Substitusi \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\) untuk menyatakan jawaban hanya dalam \(x\) dan \(y\).

Contoh 3.29 — Turunan Implisit dengan Trigonometri

\(\sin(xy) + \cos(y) = x\)

$$\cos(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) - \sin(y)\frac{dy}{dx} = 1$$
$$y\cos(xy) + x\cos(xy)\frac{dy}{dx} - \sin(y)\frac{dy}{dx} = 1$$
$$\frac{dy}{dx}\left[x\cos(xy) - \sin(y)\right] = 1 - y\cos(xy)$$
$$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) - \sin(y)}}$$
Contoh 3.30 — Turunan Implisit: Eksponensial Campuran

\(e^{x^2 y} + \ln(x + y) = 0\)

$$e^{x^2 y}\!\left(2xy + x^2\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1 + \frac{dy}{dx}}{x+y} = 0$$

Kalikan seluruhnya oleh \((x+y)\):

$$(x+y)e^{x^2 y}\!\left(2xy + x^2\frac{dy}{dx}\right) + 1 + \frac{dy}{dx} = 0$$

Kumpulkan \(\dfrac{dy}{dx}\):

$$\frac{dy}{dx}\left[x^2(x+y)e^{x^2 y} + 1\right] = -1 - 2xy(x+y)e^{x^2 y}$$
$$\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + 2xy(x+y)e^{x^2 y}}{x^2(x+y)e^{x^2 y} + 1}}$$

3.12 Turunan Orde Tinggi

Turunan orde kedua \(f''(x) = (f'(x))'\), turunan orde ketiga \(f'''(x) = (f''(x))'\), dan seterusnya. Secara umum, turunan ke-\(n\): \(f^{(n)}(x) = \dfrac{d^n}{dx^n}[f(x)]\).

Contoh 3.31 — Turunan Orde Tinggi: Polinomial

\(f(x) = 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 7\)

$$f'(x) = 16x^3 - 9x^2 + 4x - 1$$
$$f''(x) = 48x^2 - 18x + 4$$
$$f'''(x) = 96x - 18$$
$$f^{(4)}(x) = 96, \qquad f^{(5)}(x) = 0, \qquad f^{(n)}(x) = 0 \;\forall\, n \geq 5$$

Konsisten dengan fakta bahwa turunan ke-\(n\) dari \(x^m\) adalah \(0\) untuk \(n > m\).

Contoh 3.32 — Turunan Orde Tinggi: Fungsi Trigonometri

\(f(x) = \sin x\)

$$f'(x) = \cos x, \quad f''(x) = -\sin x, \quad f'''(x) = -\cos x, \quad f^{(4)}(x) = \sin x$$

Pola berulang setiap 4 langkah! Secara umum:

$$f^{(n)}(x) = \begin{cases} \sin x, & n = 4k \\ \cos x, & n = 4k+1 \\ -\sin x, & n = 4k+2 \\ -\cos x, & n = 4k+3 \end{cases}$$
Contoh 3.33 — Turunan Orde Tinggi: \(e^{ax}\)
$$\frac{d^n}{dx^n}(e^{ax}) = a^n e^{ax}$$

Dibuktikan dengan induksi: benar untuk \(n = 1\). Jika benar untuk \(n\), maka:

$$\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(e^{ax}) = \frac{d}{dx}(a^n e^{ax}) = a^n \cdot a \cdot e^{ax} = a^{n+1}e^{ax} \quad \blacksquare$$
Contoh 3.34 — Turunan Orde Tinggi: Turunan Implisit Kedua

Soal: Hitung \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) untuk \(x^2 + y^2 = r^2\).

Dari Contoh 3.27: \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}\).

Turunkan lagi terhadap \(x\):

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y \cdot 1 - x \cdot \dfrac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y - x\left(-\dfrac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y + \dfrac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$

Karena \(x^2 + y^2 = r^2\):

$$\boxed{\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{r^2}{y^3}}$$

Ini selalu negatif (untuk \(y > 0\)), menunjukkan kurva cekung ke bawah di setiap titik setengah lingkaran atas — sesuai intuisi geometris.

3.13 Turunan Logaritmik

Teknik ini berguna untuk fungsi yang merupakan perkalian/pembagian banyak faktor, atau fungsi dengan variabel di pangkat dan basis sekaligus \(y = u(x)^{v(x)}\).

Metode — Turunan Logaritmik

Ambil \(\ln\) di kedua ruas, lalu turunkan implisit:

$$\ln y = \ln f(x) \implies \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} \implies \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} = f'(x)$$

Ini terlihat trivial (karena memang seharusnya begitu!), tapi kekuatannya terlihat saat \(f(x)\) rumit:

Contoh 3.35 — Turunan Logaritmik: Banyak Faktor

\(\displaystyle y = \frac{x^3(x^2+1)^{1/2}}{(2x+1)^4 \cdot e^{3x}}\)

Ambil \(\ln\):

$$\ln y = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x^2+1) - 4\ln(2x+1) - 3x$$

Turunkan:

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+1} - \frac{4 \cdot 2}{2x+1} - 3 = \frac{3}{x} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{8}{2x+1} - 3$$
$$\frac{dy}{dx} = y\left(\frac{3}{x} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{8}{2x+1} - 3\right)$$
Contoh 3.36 — Turunan Logaritmik: Bentuk \(u(x)^{v(x)}\)

\(\displaystyle y = x^x\) \quad (\(x > 0\))

$$\ln y = x \ln x$$
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$
$$\boxed{\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)}$$
Contoh 3.37 — Turunan Logaritmik: \((\sin x)^{\cos x}\)

\(y = (\sin x)^{\cos x}\)

$$\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$$
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$
$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\cos x}\left[\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right]$$

3.14 Tabel Turunan Lengkap

Fungsi \(f(x)\)Turunan \(f'(x)\)
\(c\) (konstanta)\(0\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)
\(a^x\)\(a^x \ln a\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(\log_a x\)\(\dfrac{1}{x \ln a}\)
\(\ln x\)\(\dfrac{1}{x}\)
\(\sin x\)\(\cos x\)
\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(\tan x\)\(\sec^2 x\)
\(\cot x\)\(-\csc^2 x\)
\(\sec x\)\(\sec x \tan x\)
\(\csc x\)\(-\csc x \cot x\)
\(\arcsin x\)\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arccos x\)\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan x\)\(\dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\sinh x\)\(\cosh x\)
\(\cosh x\)\(\sinh x\)
\(\tanh x\)\(\text{sech}^2\, x\)
\(\text{arsinh}\, x\)\(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(\text{arcosh}\, x\)\(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(\text{artanh}\, x\)\(\dfrac{1}{1-x^2}\)
Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 3
  1. Hitung \(f'(x)\) dari definisi untuk \(f(x) = \dfrac{1}{x+1}\) di titik \(x = 2\).
  2. Tentukan \(\dfrac{dy}{dx}\) untuk \(y = \dfrac{(x^2+1)\sqrt{x-1}}{(x+3)^3 e^{2x}}\) menggunakan turunan logaritmik.
  3. Tentukan \(\dfrac{dy}{dx}\) secara implisit untuk \(e^{x+y} = xy + 1\), lalu hitung kemiringan garis singgung di titik \((0, 0)\).
  4. Hitung turunan ke-10 dari \(f(x) = e^{2x}\cos x\). Petunjuk: turunkan beberapa kali, temukan pola, lalu generalisasi.
  5. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan posisi \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\). Tentukan: (a) kapan partikel berhenti sesaat, (b) kapan partikel bergerak ke depan/ke belakang, (c) total jarak tempuh pada interval \(t \in [0, 5]\).
  6. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva \(x^3 + y^3 = 3xy\) di titik \(\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\).
  7. Hitung \(\dfrac{d}{dx}\!\left[(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}\right]\).
  8. Jika \(f\) dan \(g\) keduanya terdiferensiasi dan \(h(x) = f(2x) \cdot g(x^2 + 1)\), nyatakan \(h'(x)\) dalam \(f\), \(f'\), \(g\), \(g'\).
Sebelumnya
Bab 2: Limit & Keberlanjutan
Selanjutnya
Bab 4: Penerapan Turunan