Bab 16

Koordinat Polar

Bab 15 menunjukkan bahwa representasi kartesian $y = f(x)$ tidak selalu memadai. Koordinat polar menawarkan alternatif yang bahkan lebih radikal: mengganti sepasang sumbu tegak lurus dengan satu jarak radial $r$ dan satu sudut $\theta$. Untuk kurva yang memiliki simetri rotasi atau radial — lingkaran berpusat di origin, spiral, kelopak bunga, kardioid — sistem polar bukan hanya lebih nyaman, tetapi sering kali satu-satunya cara yang mengungkapkan struktur kurva secara alami. Bab ini membangun geometri dan kalkulus lengkap dalam koordinat polar: konversi, penggambaran grafik, turunan, luas, panjang busur, dan luas permukaan benda putar.

Gambar 16.1 — Alur Bab 16: dari sistem koordinat polar hingga aplikasi integral

16.1 Sistem Koordinat Polar

Dalam koordinat kartesian, titik diidentifikasi oleh jarak ke dua sumbu tegak lurus $(x, y)$. Dalam koordinat polar, titik diidentifikasi oleh jarak ke origin dan sudut dari sumbu-$x$ positif.

Definisi 16.1 — Koordinat Polar

Titik $P$ dalam bidang memiliki koordinat polar $(r, \theta)$ di mana:

$r \geq 0$ adalah jarak radial dari origin (kutub) ke $P$
$\theta$ adalah sudut polar, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu-$x$ positif (kutub sumbu)

Secara konvensional: $r \geq 0$ dan $\theta$ dalam radian (meskipun derajat juga digunakan dalam beberapa konteks).

Gambar 16.2 — Sistem koordinat polar: titik $P$ ditentukan oleh jarak $r$ dari origin dan sudut $\theta$ dari sumbu-$x$. Garis putus-putus menunjukkan kurva $r$ = konstan (lingkaran) dan $\theta$ = konstan (garis radial).

16.2 Konversi Kartesian–Polar

Teorema 16.1 — Rumus Konversi

Polar ke Kartesian (selalu valid):

$$\boxed{x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta} $$

Kartesian ke Polar:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \theta = \begin{cases} \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) & \text{jika } x > 0 \\[6pt] \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi & \text{jika } x < 0 \\[6pt] \dfrac{\pi}{2} & \text{jika } x = 0,\; y > 0 \\[4pt] -\dfrac{\pi}{2} & \text{jika } x = 0,\; y < 0 \end{cases} $$

Perangkap: $\theta = \arctan(y/x)$ Tidak Selalu Benar

Fungsi $\arctan$ mengembalikan nilai dalam $(-\pi/2, \pi/2)$, sehingga gagal untuk titik di kuadran II dan III. Contoh: titik $(-1, -1)$ memiliki $\arctan(-1/-1) = \arctan(1) = \pi/4$, padahal sudut yang benar adalah $-3\pi/4$ atau $5\pi/4$. Banyak bahasa pemrograman menyediakan fungsi atan2(y, x) yang menangani semua kuadran secara benar.

Contoh 16.1 — Konversi Titik

Kartesian $(x, y)$	$r = \sqrt{x^2+y^2}$	$\theta$	Polar $(r, \theta)$
$(3, 4)$	$5$	$\arctan(4/3) \approx 0.927$ rad	$(5,\, 0.927)$
$(-1, 0)$	$1$	$\pi$	$(1,\, \pi)$
$(0, -2)$	$2$	$-\pi/2$	$(2,\, -\pi/2)$
$(-\sqrt{3}, -1)$	$2$	$\arctan(-1/-\sqrt{3}) + \pi = 7\pi/6$	$(2,\, 7\pi/6)$

Contoh 16.2 — Konversi Persamaan: Lingkaran

Lingkaran $x^2 + y^2 = a^2$. Substitusi $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$:

$$r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = a^2 \implies r^2 = a^2 \implies \boxed{r = a} $$

Lingkaran berpusat di origin menjadi konstanta sederhana dalam koordinat polar. Ini adalah contoh paling kuat dari keunggulan sistem polar. ✓

Contoh 16.3 — Konversi Persamaan: Garis Vertikal

Garis $x = a$. Substitusi: $r\cos\theta = a$, sehingga $r = \dfrac{a}{\cos\theta} = a\sec\theta$. Garis vertikal dalam kartesian menjadi kurva dalam polar — bukan garis. Ini menunjukkan bahwa "garis lurus" dalam kartesian tidak selalu sederhana dalam polar. ✓

16.3 Non-Unikitas Koordinat Polar

Berbeda dengan koordinat kartesian (satu titik = satu pasang $(x,y)$), koordinat polar tidak unik:

$$(r, \theta) \equiv (r,\, \theta + 2k\pi) \quad \text{untuk sembarang } k \in \mathbb{Z} $$

Dan jika kita mengizinkan $r < 0$:

$$(r, \theta) \equiv (-r,\, \theta + \pi) $$

Contoh 16.4 — Banyak Nama untuk Titik yang Sama

Titik kartesian $(1, 0)$ memiliki representasi polar:

$(1,\, 0)$, $(1,\, 2\pi)$, $(1,\, 4\pi)$, $\ldots$ (tambah $2k\pi$)
$(-1,\, \pi)$, $(-1,\, 3\pi)$, $(-1,\, -\pi)$, $\ldots$ (negatifkan $r$, tambah $\pi$)

Semua representasi ini menunjuk ke titik fisik yang sama. ✓

Konvensi dalam Bab Ini

Kecuali dinyatakan lain, kita menggunakan $r \geq 0$ dan $\theta \in [0, 2\pi)$. Namun, saat menggambar kurva polar, sering kali lebih mudah mengizinkan $r < 0$ dan $\theta$ di luar $[0, 2\pi)$ — kurva yang dihasilkan sama, tetapi parametrisasinya lebih sederhana.

16.4 Grafik Kurva Polar: Katalog Utama

Kurva polar diungkapkan sebagai $r = f(\theta)$. Berikut adalah katalog kurva polar yang paling sering muncul.

16.4.1 Lingkaran

Persamaan Polar	Pusat Kartesian	Jari-jari
$r = a$	$(0, 0)$	$a$
$r = 2a\cos\theta$	$(a, 0)$	$a$
$r = 2a\sin\theta$	$(0, a)$	$a$

Gambar 16.3 — Tiga jenis lingkaran dalam koordinat polar

16.4.2 Kardioid

Definisi 16.2 — Kardioid

Kurva dengan persamaan $r = a(1 + \cos\theta)$ atau variannya disebut kardioid (dari bahasa Yunani kardia = jantung). Bentuk umum:

$$r = a(1 \pm \cos\theta), \qquad r = a(1 \pm \sin\theta) $$

Gambar 16.4 — Tiga orientasi kardioid. Titik merah menandai cusp (titik runcing di $r = 0$)

16.4.3 Limaçon

Limaçon (bahasa Prancis untuk "siput") memiliki bentuk umum:

$$r = a + b\cos\theta \quad \text{atau} \quad r = a + b\sin\theta $$

Rasio $a/b$	Nama	Ciri Khas
$a/b > 1$	Limaçon tanpa loop (dimpled)	Tidak menyilang origin, ada "cekungan"
$a/b = 1$	Kardioid	Cusp di origin
$1 > a/b > 1/2$	Limaçon dengan loop	Memiliki loop dalam yang melintasi origin
$a/b = 1/2$	Limaçon trakektus	Loop dalam menyentuh cusp luar
$a/b < 1/2$	Limaçon dengan loop dominan	Loop dalam lebih besar dari bagian luar

Gambar 16.5 — Morfologi limaçon: bentuk berubah secara kualitatif saat rasio $a/b$ melewati nilai kritis 1 dan 1/2

16.4.4 Ros (Bunga Mawar)

Definisi 16.3 — Kurva Ros

Kurva dengan persamaan $r = a\cos(n\theta)$ atau $r = a\sin(n\theta)$ disebut ros ber-$n$ kelopak.

Persamaan	Jumlah Kelopak	Catatan
$r = a\cos(n\theta)$, $n$ ganjil	$n$	Setiap kelopak dilalui dua kali saat $\theta$ dari $0$ ke $\pi$
$r = a\cos(n\theta)$, $n$ genap	$2n$	Perlu $\theta$ dari $0$ ke $2\pi$ untuk melihat semua kelopak
$r = a\sin(n\theta)$, $n$ ganjil	$n$	Rotasi $\pi/(2n)$ dari versi cos
$r = a\sin(n\theta)$, $n$ genap	$2n$	Rotasi $\pi/(2n)$ dari versi cos

Gambar 16.6 — Kurva ros: $n$ genap menghasilkan $2n$ kelopak, $n$ ganjil menghasilkan $n$ kelopak. Versi $\sin$ adalah rotasi dari versi $\cos$.

16.4.5 Lemniskat

Definisi 16.4 — Lemniskat Bernoulli

$$r^2 = a^2\cos(2\theta) \quad \text{atau} \quad r^2 = a^2\sin(2\theta) $$

Kurva ini hanya terdefinisi untuk $\theta$ dimana $\cos(2\theta) \geq 0$ (atau $\sin(2\theta) \geq 0$), menghasilkan dua loop simetris yang menyerupai angka "8" horizontal atau diagonal.

16.4.6 Spiral

Nama	Persamaan	Ciri Khas
Spiral Archimedes	$r = a\theta$	Jarak antara lengan konstan
Spiral logaritmik	$r = ae^{b\theta}$	Sudut antara lengan dan radial konstan; muncul di kulit nautilus dan galaksi spiral
Spiral hiperbolik	$r = a/\theta$	Approach asimtotik ke garis $y = a$

16.5 Simetri dalam Koordinat Polar

Sebelum menggambar kurva polar, selalu periksa simetri untuk mengurangi kerja.

Jenis Simetri	Kondisi pada $r = f(\theta)$	Arti Geometris
Simetri terhadap sumbu-$x$ (kutub sumbu)	$f(-\theta) = f(\theta)$ atau $f(\pi - \theta) = -f(\theta)$	Cermin horizontal
Simetri terhadap sumbu-$y$	$f(\pi - \theta) = f(\theta)$ atau $f(-\theta) = -f(\theta)$	Cermin vertikal
Simetri terhadap origin	$f(\theta + \pi) = -f(\theta)$ atau $f(\theta + \pi) = f(\theta)$	Rotasi $180^\circ$

Kondisi "atau" untuk Simetri

Kondisi kedua di setiap baris memanfaatkan non-unikitas koordinat polar: jika $f(\pi - \theta) = -f(\theta)$, maka titik $(f(\pi-\theta), \pi-\theta) = (-f(\theta), \pi-\theta) = (f(\theta), \pi - \theta + \pi) = (f(\theta), 2\pi - \theta) = (f(\theta), -\theta)$, yang merupakan cermin dari $(f(\theta), \theta)$ terhadap sumbu-$x$.

Contoh 16.5 — Simetri Kardioid

$r = 1 + \cos\theta$. Periksa: $f(-\theta) = 1 + \cos(-\theta) = 1 + \cos\theta = f(\theta)$. ✓ Simetri terhadap sumbu-$x$.

$f(\pi - \theta) = 1 + \cos(\pi - \theta) = 1 - \cos\theta \neq f(\theta)$. ✗ Tidak simetri terhadap sumbu-$y$.

Jadi kita hanya perlu menggambar untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan mencerminkan. ✓

16.6 Turunan dalam Koordinat Polar

Untuk menghitung kemiringan garis singgung kurva polar $r = f(\theta)$, kita ubah ke parametrik terlebih dahulu.

Teorema 16.2 — Turunan Kurva Polar

Untuk kurva polar $r = f(\theta)$, pandang sebagai kurva parametrik $x = r\cos\theta = f(\theta)\cos\theta$, $y = r\sin\theta = f(\theta)\sin\theta$ dengan parameter $\theta$. Maka:

$$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{f'(\theta)\sin\theta + f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta - f(\theta)\sin\theta} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}} $$

di mana $r' = \dfrac{dr}{d\theta} = f'(\theta)$.

Derivasi dari aturan perkalian

$x = r\cos\theta \implies \dfrac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta$ (aturan perkalian).

$y = r\sin\theta \implies \dfrac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta$.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta} \quad \blacksquare $$

Contoh 16.6 — Garis Singgung Lingkaran Polar

$r = 2\cos\theta$. Maka $r' = -2\sin\theta$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(-2\sin\theta)\sin\theta + 2\cos\theta\cos\theta}{(-2\sin\theta)\cos\theta - 2\cos\theta\sin\theta} = \frac{-2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta}{-4\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\cos 2\theta}{-2\sin 2\theta} = -\cot 2\theta $$

Di $\theta = \pi/4$ (titik $(1, 1)$): $\dfrac{dy}{dx} = -\cot(\pi/2) = 0$. Garis singgung horizontal — benar karena di titik teratas lingkaran $r = 2\cos\theta$ (yang berpusat di $(1,0)$ dengan jari-jari $1$). ✓

Contoh 16.7 — Garis Singgung Kardioid di Cusp

$r = 1 + \cos\theta$, $r' = -\sin\theta$. Di $\theta = \pi$ (cusp, $r = 0$):

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin\pi)\sin\pi + 0\cdot\cos\pi}{(-\sin\pi)\cos\pi - 0\cdot\sin\pi} = \frac{0 + 0}{0 - 0} = \frac{0}{0} $$

Bentuk tak tentu! Kita perlu analisis limit atau L'Hôpital. Bagi pembilang dan penyebut dengan $\sin\theta$ (dekat $\theta = \pi$, tulis $\theta = \pi + h$, $h \to 0$):

$$\frac{dy}{dx} \to \frac{0 + 0}{0 - 0} \quad \text{perlu limit lebih hati-hati} $$

Gunakan ekspansi di sekitar $\theta = \pi$: $r \approx \frac{h^2}{2}$, $r' \approx h$. Maka pembilang $\approx h \cdot (-h) + \frac{h^2}{2} \cdot (-1) = -\frac{3h^2}{2}$, penyebut $\approx h \cdot (-1) - \frac{h^2}{2} \cdot (-h) \approx -h$. Rasio: $\dfrac{-3h^2/2}{-h} = \dfrac{3h}{2} \to 0$. Jadi garis singgung horizontal di cusp. ✓

Tangen Horizontal dan Vertikal dalam Polar

Tangen horizontal: $\dfrac{dy}{d\theta} = 0$, yaitu $r'\sin\theta + r\cos\theta = 0$.
Tangen vertikal: $\dfrac{dx}{d\theta} = 0$, yaitu $r'\cos\theta - r\sin\theta = 0$.
Perhatikan: $r = 0$ (kurva melewati origin) selalu menghasilkan $\frac{dy}{dx} = \frac{0}{0}$ — kemiringan harus ditentukan melalui limit.

16.7 Luas Daerah dalam Koordinat Polar

Ini adalah salah satu aplikasi paling penting dari koordinat polar. Ide dasar: luas elemen kecil berbentuk "sektor" dengan sudut $d\theta$ dan jari-jari $r$.

Gambar 16.7 — Elemen luas dalam koordinat polar: sektor dengan jari-jari $r$ dan sudut $d\theta$ memiliki luas $dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta$

Mengapa $dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta$?

Luas sektor lingkaran penuh dengan jari-jari $r$ dan sudut $\alpha$ adalah $A = \frac{1}{2}r^2\alpha$ (rumus sektor). Untuk sudut tak hingga kecil $d\theta$: $dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta$. Rumus ini tetap valid bahkan jika $r$ bukan konstanta — pada sudut $d\theta$ yang cukup kecil, perubahan $r$ dapat diabaikan sehingga sektor mendekati sektor lingkaran.

Teorema 16.3 — Luas Daerah dalam Koordinat Polar

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $r = f(\theta)$ dan garis radial $\theta = \alpha$, $\theta = \beta$ (dengan $f(\theta) \geq 0$) adalah:

$$\boxed{A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta [f(\theta)]^2\,d\theta = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta} $$

Contoh 16.8 — Luas Lingkaran

$r = a$, $\theta \in [0, 2\pi]$:

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot 2\pi = \pi a^2 \quad \checkmark $$

Contoh 16.9 — Luas Satu Kelopak Ros

$r = \cos(2\theta)$. Kelopak pertama terletak di $\theta \in [-\pi/4, \pi/4]$ (dimana $\cos(2\theta) \geq 0$ dan kelopak mengarah ke kanan). Manfaatkan simetri:

$$A_{\text{satu kelopak}} = \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \int_0^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta $$

Gunakan $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$ dengan $u = 2\theta$:

$$= \int_0^{\pi/4}\frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(4\theta)}{8}\right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{8} $$

Luas total (4 kelopak): $4 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\pi}{2}$. ✓

Contoh 16.10 — Luas Daerah antara Dua Kurva Polar

Hitung luas daerah yang berada di dalam $r = 3\cos\theta$ dan di luar $r = 1 + \cos\theta$.

Pertama, cari titik potong: $3\cos\theta = 1 + \cos\theta \implies 2\cos\theta = 1 \implies \theta = \pm\pi/3$.

$$A = \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl[(3\cos\theta)^2 - (1+\cos\theta)^2\bigr]\,d\theta $$

$$= \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl[9\cos^2\theta - 1 - 2\cos\theta - \cos^2\theta\bigr]\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl[8\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1\bigr]\,d\theta $$

Gunakan $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$:

$$= \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left[4(1+\cos 2\theta) - 2\cos\theta - 1\right]d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left[3 + 4\cos 2\theta - 2\cos\theta\right]d\theta $$

$$= \frac{1}{2}\left[3\theta + 2\sin 2\theta - 2\sin\theta\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \frac{1}{2}\left[\pi + 2\sin\frac{2\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{3} - \left(-\pi - 2\sin\frac{2\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3}\right)\right] $$

$$= \frac{1}{2}\left[2\pi + 4\sin\frac{2\pi}{3} - 4\sin\frac{\pi}{3}\right] = \frac{1}{2}\left[2\pi + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \pi $$

Luas daerah antara kedua kurva adalah tepat $\pi$. ✓

Peringatan: Menentukan Batas Integrasi

Untuk luas antara dua kurva polar, selalu gambar sketsa terlebih dahulu untuk menentukan kurva mana yang "di luar" (lebih besar $r$-nya) pada interval yang bersangkutan. Urutan "dalam - luar" bisa berubah di titik potong. Jika salah menentukan mana yang lebih besar, hasil integral bisa negatif — ambil nilai mutlak atau perbaiki urutan.

16.8 Panjang Busur Kurva Polar

Teorema 16.4 — Panjang Busur Kurva Polar

Panjang busur kurva $r = f(\theta)$ dari $\theta = \alpha$ hingga $\theta = \beta$:

$$\boxed{L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{\!2}}\;d\theta} $$

Derivasi dari rumus panjang busur parametrik

Dengan $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ sebagai kurva parametrik dalam $\theta$:

$$\frac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta, \qquad \frac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta $$

$$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{\!2} + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{\!2} = (r')^2\cos^2\theta - 2rr'\sin\theta\cos\theta + r^2\sin^2\theta + (r')^2\sin^2\theta + 2rr'\sin\theta\cos\theta + r^2\cos^2\theta $$

$$= (r')^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = r^2 + (r')^2 \quad \blacksquare $$

Contoh 16.11 — Panjang Busur Lingkaran

$r = a$, $r' = 0$:

$$L = \int_0^{2\pi}\sqrt{a^2 + 0}\,d\theta = a \cdot 2\pi = 2\pi a \quad \checkmark $$

Contoh 16.12 — Panjang Busur Kardioid

$r = a(1 + \cos\theta)$, $r' = -a\sin\theta$. Panjang seluruh kardioid ($\theta$ dari $0$ ke $2\pi$):

$$r^2 + (r')^2 = a^2(1+\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) = 2a^2(1 + \cos\theta) $$

$$L = \int_0^{2\pi}a\sqrt{2(1+\cos\theta)}\,d\theta = a\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,d\theta = 2a\int_0^{2\pi}\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta $$

Karena $\cos(\theta/2) \geq 0$ untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan $\cos(\theta/2) \leq 0$ untuk $\theta \in [\pi, 2\pi]$:

$$L = 2a\left[\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta - \int_\pi^{2\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta\right] = 2a\left[\left.2\sin\frac{\theta}{2}\right|_0^\pi - \left.2\sin\frac{\theta}{2}\right|_\pi^{2\pi}\right] $$

$$= 2a[2 - 0 - (0 - 2)] = 2a \cdot 4 = 8a $$

Panjang kardioid $r = a(1+\cos\theta)$ adalah tepat $8a$ — sama dengan panjang satu arch sikloid (Bab 15)! Koincidensi ini bukan kebetulan: kardioid adalah evolut sikloid. ✓

16.9 Luas Permukaan Benda Putar dari Kurva Polar

Kurva polar $r = f(\theta)$ dapat diputar terhadap sumbu-$x$ atau sumbu-$y$ untuk membentuk permukaan benda putar. Rumusnya diperoleh dengan mensubstitusikan rumus panjang busur polar ke dalam rumus luas permukaan standar.

Teorema 16.5 — Luas Permukaan Benda Putar (Kurva Polar)

Rotasi terhadap sumbu-$x$ (sumbu kutub):

$$S_x = 2\pi\int_\alpha^\beta |y|\,\sqrt{r^2 + (r')^2}\;d\theta = 2\pi\int_\alpha^\beta |r\sin\theta|\,\sqrt{r^2 + (r')^2}\;d\theta $$

Rotasi terhadap sumbu-$y$:

$$S_y = 2\pi\int_\alpha^\beta |x|\,\sqrt{r^2 + (r')^2}\;d\theta = 2\pi\int_\alpha^\beta |r\cos\theta|\,\sqrt{r^2 + (r')^2}\;d\theta $$

Contoh 16.13 — Permukaan Sfera dari Setengah Lingkaran Polar

Rotasikan $r = a$ (hanya setengah atas, $\theta \in [0, \pi]$) terhadap sumbu-$x$:

$$S = 2\pi\int_0^\pi a\sin\theta \cdot a\,d\theta = 2\pi a^2\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta = 2\pi a^2\left[-\cos\theta\right]_0^\pi = 2\pi a^2(2) = 4\pi a^2 $$

Ini adalah luas permukaan sfera berjari-jari $a$ — hasil yang sudah dikenal. ✓

Contoh 16.14 — Permukaan Putar Kardioid

Rotasikan kardioid $r = a(1+\cos\theta)$ terhadap sumbu-$x$. Karena $y = r\sin\theta = a(1+\cos\theta)\sin\theta \geq 0$ untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan simetri:

$$S = 2 \cdot 2\pi\int_0^\pi a(1+\cos\theta)\sin\theta \cdot a\sqrt{2(1+\cos\theta)}\,d\theta $$

$$= 4\sqrt{2}\,\pi a^2\int_0^\pi (1+\cos\theta)^{3/2}\sin\theta\,d\theta $$

Substitusi $u = 1+\cos\theta$, $du = -\sin\theta\,d\theta$. Batas: $\theta=0 \to u=2$, $\theta=\pi \to u=0$:

$$S = 4\sqrt{2}\,\pi a^2\int_0^2 u^{3/2}\,du = 4\sqrt{2}\,\pi a^2\left[\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_0^2 = 4\sqrt{2}\,\pi a^2 \cdot \frac{2}{5} \cdot 2^{5/2} $$

$$= 4\sqrt{2}\,\pi a^2 \cdot \frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{128\pi a^2}{15} $$

Luas permukaan benda putar kardioid terhadap sumbu-$x$ adalah $\dfrac{128\pi a^2}{15}$. ✓

16.10 Panduan Menggambar Kurva Polar

Metode 16.2 — Langkah Menggambar Kurva Polar $r = f(\theta)$

Periksa simetri (Bagian 16.5) untuk mengurangi rentang $\theta$ yang perlu dianalisis.
Cari titik-titik khusus:
- $r = 0$: kurva melewati origin. Selesaikan $f(\theta) = 0$.
- $r$ maksimum/minimum: selesaikan $f'(\theta) = 0$.
Buat tabel nilai: hitung $r$ untuk $\theta = 0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, \ldots$ pada interval yang relevan.
Periksa perilaku asimtotik: saat $r \to \infty$ atau $\theta \to$ nilai kritis.
Gambar titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus, perhatikan arah penelusuran (nilai $\theta$ yang meningkat).

Contoh 16.15 — Menggambar $r = 1 + 2\sin\theta$ (Limaçon dengan Loop)

Simetri: $f(\pi - \theta) = 1 + 2\sin(\pi - \theta) = 1 + 2\sin\theta = f(\theta)$. ✓ Simetri terhadap sumbu-$y$.

$r = 0$: $1 + 2\sin\theta = 0 \implies \sin\theta = -1/2 \implies \theta = 7\pi/6,\, 11\pi/6$.

$r$ maks: $r' = 2\cos\theta = 0 \implies \theta = \pi/2$. Di sini $r = 3$ (maksimum).

$r$ min: Di $\theta = 3\pi/2$, $r = 1 - 2 = -1$. Karena $r < 0$, titik ini "terbalik": $(r, \theta) = (-1, 3\pi/2) = (1, \pi/2)$, yang sama dengan titik maksimum! Ini menunjukkan loop melintasi origin.

$\theta$	$r = 1+2\sin\theta$	Kuadran	Catatan
$0$	$1$	sumbu+$x$	Titik awal
$\pi/6$	$2$	I	—
$\pi/2$	$3$	sumbu+$y$	$r$ maks
$5\pi/6$	$2$	II	—
$\pi$	$1$	sumbu-$x$	—
$7\pi/6$	$0$	III	Melalui origin
$3\pi/2$	$-1$	sumbu-$y$	Loop dalam
$11\pi/6$	$0$	IV	Kembali ke origin
$2\pi$	$1$	sumbu+$x$	Kembali ke titik awal

Kurva memiliki loop dalam (untuk $\theta \in [7\pi/6, 11\pi/6]$ dimana $r < 0$, atau ekuivalen, loop "terbalik" melewati origin) dan bagian luar yang lebih besar. ✓

16.11 Ringkasan: Rumus Kalkulus Koordinat Polar

Kuantitas	Rumus
Konversi ke kartesian	$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$
Konversi dari kartesian	$r = \sqrt{x^2+y^2}$, $\theta = \text{atan2}(y,x)$
Kemiringan garis singgung	$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$
Luas daerah	$A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$
Luas antara dua kurva	$A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta \bigl[r_{\text{luar}}^2 - r_{\text{dalam}}^2\bigr]\,d\theta$
Panjang busur	$L = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\theta$
Luas permukaan (rotasi sumbu-$x$)	$S = 2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta \|r\sin\theta\|\,\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\theta$
Luas permukaan (rotasi sumbu-$y$)	$S = 2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta \|r\cos\theta\|\,\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\theta$

Kapan Polar vs. Parametrik vs. Kartesian?

Polar paling kuat untuk: kurva dengan simetri radial (lingkaran berpusat di origin, spiral, ros, kardioid, lemniskat), luas sektor, dan masalah yang melibatkan sudut dan jarak dari titik tetap. Parametrik (Bab 15) lebih baik untuk: lintasan partikel, kurva yang melibatkan waktu, kurva tertutup kompleks. Kartesian tetap paling sederhana untuk: fungsi biasa $y = f(x)$, grafik data, dan analisis di dekat titik tetap. Dalam praktik, banyak masalah memerlukan konversi antar sistem — pilih sistem yang menyederhanakan rumus, lalu konversi kembali jika perlu.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 16

Konversikan persamaan-persamaan berikut ke bentuk polar: (a) $x^2 + y^2 = 4x$, (b) $x^2 - y^2 = 1$, (c) $y = x^2$. Untuk (a), kenapa hasilnya sangat sederhana?
Konversikan persamaan-persamaan polar berikut ke bentuk kartesian dan identifikasi kurvanya: (a) $r = 4\sin\theta$, (b) $r = \dfrac{2}{\cos\theta}$, (c) $r = \dfrac{1}{1+\cos\theta}$.
Gambar kurva $r = 2 - 4\cos\theta$. Tentukan: (a) jenis limaçon, (b) semua nilai $\theta$ dimana $r = 0$, (c) simetri, (d) nilai $r$ maks dan min.
Hitung $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $r = 1 + \sin\theta$ di $\theta = \pi/6$. Berapa kemiringan garis singgung? Tentukan juga semua titik dengan garis singgung horizontal.
Hitung luas satu kelopak kurva ros $r = 4\sin(3\theta)$. Berapa luas total seluruh kurva?
Hitung luas daerah yang berada di dalam $r = 2 + 2\cos\theta$ (kardioid) dan di luar $r = 3$. Petunjuk: tentukan titik potong terlebih dahulu.
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh satu loop kurva $r = \sin(2\theta)$. Berapa total luas keempat loop?
Hitung panjang busur kurva $r = e^{a\theta}$ (spiral logaritmik) dari $\theta = 0$ hingga $\theta = 2\pi$. Tunjukkan bahwa panjang busur sebanding dengan perubahan $r$ (yaitu $L = \frac{\sqrt{a^2+1}}{a}(r_2 - r_1)$).
Hitung luas permukaan yang dihasilkan saat memutar kurva $r = 1 + \cos\theta$ terhadap sumbu-$y$. Peringatan: perhatikan tanda $x = r\cos\theta$ pada interval yang berbeda.
Tunjukkan bahwa luas yang dibatasi oleh satu loop lemniskat $r^2 = a^2\cos(2\theta)$ adalah $a^2$. Kemudian hitung panjang busur loop tersebut (integral ini tidak elementer — nyatakan saja dalam bentuk integral dan jelaskan mengapa).

Penutup Kalkulus II

Dengan berakhirnya Bab 16, kita menyelesaikan Kalkulus II (Semester 2). Perjalanan dari barisan (Bab 9) hingga koordinat polar (Bab 16) telah membangun alat-alat analisis yang sangat kuat: deret tak hingga untuk representasi fungsi, deret Taylor untuk aproksimasi, dan sistem koordinat alternatif untuk geometri. Semester 3 akan membawa kita ke dimensi yang lebih tinggi — ruang tiga dimensi, turunan parsial, integral ganda dan tiga, serta puncaknya: teorema besar kalkulus vektor (Green, Stokes, Divergensi) yang menyatukan semua yang telah dipelajari.

Sebelumnya

Bab 15: Persamaan Parametrik

Selanjutnya

Bab 17: Vektor & Ruang 3D