Bab 19

Turunan Parsial

Semua kalkulus sebelumnya mempelajari fungsi dengan satu variabel independen: $y = f(x)$. Bab ini melangkah ke dimensi yang lebih tinggi — fungsi yang bergantung pada dua atau tiga variabel: $z = f(x,y)$ atau $u = f(x,y,z)$. Turunan parsial adalah alat pertama untuk menganalisis fungsi-fungsi ini: alih-alih menurunkan terhadap semua variabel sekaligus, kita menurunkan terhadap satu variabel saja sementara yang lain dianggap konstan. Dari turunan parsial orde pertama dan kedua, kita membangun differensial total (aproksimasi linear lokal), aturan rantai multivariabel, dan yang paling penting: vektor gradien $\nabla f$ yang mengarah ke arah kenaikan paling cepat. Bab ini adalah jantung Kalkulus III — hampir semua bab berikutnya membangun di atasnya.

Gambar 19.1 — Alur Bab 19: dari definisi fungsi multivariabel hingga vektor gradien

19.1 Fungsi Multivariabel: Domain, Range, dan Grafik

Definisi 19.1 — Fungsi Dua Variabel

Fungsi $f$ dari $\mathbb{R}^2$ ke $\mathbb{R}$ menetapkan setiap titik $(x, y)$ dalam domainnya ke sebuah bilangan real $f(x,y)$:

$$f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \qquad (x, y) \mapsto f(x, y) $$

Domain $D$ adalah himpunan semua $(x,y)$ dimana $f(x,y)$ terdefinisi. Range adalah himpunan semua nilai keluaran. Grafik $f$ adalah permukaan di $\mathbb{R}^3$:

$$\text{Grafik } f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = f(x, y),\; (x,y) \in D\} $$

Gambar 19.2 — Grafik fungsi $z = f(x,y)$ sebagai permukaan di $\mathbb{R}^3$. Titik $P$ pada permukaan memiliki proyeksi $(x_0, y_0)$ di domain.

Contoh 19.1 — Domain dan Range

(a) $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$. Domain: $x^2 + y^2 \leq 1$ (lingkaran tertutup berjari-jari 1). Range: $[0, 1]$. Grafik: hemisper atas.

(b) $f(x,y) = \dfrac{1}{x - y}$. Domain: $\{(x,y) : x \neq y\}$ (seluruh $\mathbb{R}^2$ kecuali garis $y = x$). Range: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

(c) $f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$. Domain: $\{(x,y) : x^2 + y^2 > 0\} = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. Range: $(-\infty, \infty)$. ✓

19.2 Kurva Level dan Permukaan Level

Grafik 3D sulit digambar di atas kertas. Kurva level (untuk $f(x,y)$) dan permukaan level (untuk $f(x,y,z)$) adalah alat 2D yang sangat efektif untuk memvisualisasikan fungsi multivariabel.

Definisi 19.2 — Kurva Level dan Permukaan Level

Kurva level dari $f(x,y)$ untuk nilai $c$:

$$\{(x,y) : f(x,y) = c\} $$

Permukaan level dari $f(x,y,z)$ untuk nilai $c$:

$$\{(x,y,z) : f(x,y,z) = c\} $$

Gambar 19.3 — Peta kontur (contour map) untuk $f(x,y) = x^2 + y^2$. Setiap kurva level adalah lingkaran $x^2+y^2=c$. Kontur lebih rapat di dekat pusat karena gradien lebih besar di sana.

Contoh 19.2 — Kurva Level Berbagai Fungsi

(a) $f(x,y) = x^2 - y^2$: kurva level $x^2 - y^2 = c$ adalah hiperbola (untuk $c \neq 0$) atau sepasang garis (untuk $c = 0$).

(b) $f(x,y) = xy$: kurva level $xy = c$ adalah hiperbola dengan asimtot sumbu koordinat.

(c) $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$: permukaan level adalah sfera berjari-jari $\sqrt{c}$ (untuk $c > 0$).

(d) $f(x,y,z) = 2x + 3y - z$: permukaan level $2x + 3y - z = c$ adalah bidang-bidang sejajar (semua memiliki vektor normal $\langle 2, 3, -1 \rangle$). ✓

19.3 Turunan Parsial Orde Pertama

Definisi 19.3 — Turunan Parsial

Turunan parsial $f$ terhadap $x$ di $(a, b)$:

$$\boxed{f_x(a,b) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(a,b)} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h}} $$

Turunan parsial $f$ terhadap $y$ di $(a, b)$:

$$\boxed{f_y(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(a,b)} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h}} $$

Notasi alternatif: $f_x = \partial_x f = D_1 f$, $f_y = \partial_y f = D_2 f$. Untuk $f(x,y,z)$: $f_x$, $f_y$, $f_z$ (atau $D_1 f$, $D_2 f$, $D_3 f$).

Intuisi Geometris

$f_x(a,b)$ adalah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan permukaan $z = f(x,y)$ dengan bidang vertikal $y = b$. Secara visual: irisan permukaan dengan bidang $y = b$ menghasilkan kurva $z = f(x, b)$ (fungsi satu variabel dalam $x$), dan $f_x(a,b)$ hanyalah turunan biasa dari kurva ini di $x = a$. Demikian pula, $f_y(a,b)$ adalah kemiringan irisan dengan bidang $x = a$.

_x bidang $y = b$ b $f_x(a,b)$ = kemiringan irisan permukaan dengan bidang $y = b$ di titik $P$

Gambar 19.4 — Interpretasi geometris $f_x$: irisan permukaan dengan bidang $y = b$ menghasilkan kurva (merah), dan $f_x$ adalah kemiringan garis singgung kurva ini.

Contoh 19.3 — Menghitung Turunan Parsial

$f(x,y) = x^3 y^2 + e^{xy} - \ln(x^2 + y^2)$:

$f_x$ (turunkan terhadap $x$, $y$ dianggap konstan):

$$f_x = 3x^2 y^2 + y\,e^{xy} - \frac{2x}{x^2 + y^2} $$

$f_y$ (turunkan terhadap $y$, $x$ dianggap konstan):

$$f_y = 2x^3 y + x\,e^{xy} - \frac{2y}{x^2 + y^2} $$

✓

Contoh 19.4 — Turunan Parsial Fungsi Tiga Variabel

$f(x,y,z) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$:

$$f_x = \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2} - x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2} = \frac{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} $$

Perhatikan pola simetris: $f_y = \dfrac{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$, $f_z = \dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$. ✓

19.4 Turunan Parsial Orde Tinggi

Definisi 19.4 — Turunan Parsial Orde Dua

Dari $f_x$ dan $f_y$, kita bisa menurunkan lagi:

$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $$

$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \qquad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} $$

$f_{xy}$ dan $f_{yx}$ disebut turunan parsial campuran (mixed partials).

Teorema 19.1 — Teorema Clairaut (Schwarz)

Jika $f_{xy}$ dan $f_{yx}$ berkelanjutan pada suatu lingkungan terbuka yang mengandung $(a,b)$, maka:

$$\boxed{f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)} $$

Dalam praktik: hampir semua fungsi yang kita temui memiliki turunan parsial campuran kontinu, sehingga urutan diferensiasi tidak penting.

Contoh 19.5 — Verifikasi Teorema Clairaut

$f(x,y) = x\sin y + y\,e^x$:

$$f_x = \sin y + y\,e^x, \qquad f_y = x\cos y + e^x $$

$$f_{xy} = \cos y + e^x, \qquad f_{yx} = \cos y + e^x \quad \checkmark $$

Kedua turunan parsial campuran sama, sesuai teorema Clairaut. ✓

Notasi untuk Orde Tinggi

$f_{xxy}$ berarti: turunkan dua kali terhadap $x$, lalu sekali terhadap $y$ (baca kiri ke kanan). Jumlah subskrip = orde turunan. Jumlah kemunculan setiap variabel = orde turunan terhadap variabel tersebut. Contoh: $f_{xxyyz}$ adalah turunan orde 5 (tiga kali $x$, dua kali $y$, nol kali $z$).

19.5 Diferensial Total dan Aproksimasi Linear

Dalam kalkulus satu variabel, diferensial $dy = f'(x)\,dx$ memberikan aproksimasi perubahan $f$ akibat perubahan kecil $dx$. Untuk fungsi dua variabel, konsep ini diperluas menjadi diferensial total.

Definisi 19.5 — Diferensial Total

Jika $z = f(x,y)$ memiliki turunan parsial kontinu, maka diferensial total adalah:

$$\boxed{dz = df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy = f_x\,dx + f_y\,dy} $$

Untuk $w = f(x,y,z)$:

$$dw = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz $$

Teorema 19.2 — Aproksimasi Linear

Untuk $\Delta x$ dan $\Delta y$ kecil:

$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,\, y_0+\Delta y) - f(x_0,\, y_0) \approx f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y = dz $$

Error aproksimasi: $|\Delta z - dz| \to 0$ lebih cepat dari $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ saat $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$.

Contoh 19.6 — Aproksimasi Menggunakan Diferensial Total

Hitung aproksimasi $(1.04)^{2.98}$:

Biarkan $f(x,y) = x^y$, $(x_0, y_0) = (1, 3)$, $\Delta x = 0.04$, $\Delta y = -0.02$:

$$f_x = yx^{y-1},\quad f_y = x^y \ln x \implies f_x(1,3) = 3,\quad f_y(1,3) = 0 $$

$$\Delta f \approx 3(0.04) + 0(-0.02) = 0.12 \implies (1.04)^{2.98} \approx 1 + 0.12 = 1.12 $$

Nilai sebenarnya: $(1.04)^{2.98} \approx 1.1217$. Error sangat kecil! ✓

Contoh 19.7 — Propagasi Galat

Resistansi $R = \dfrac{V}{I}$ diukur dengan $V = 220 \pm 1$ Volt dan $I = 5 \pm 0.05$ Ampere. Galat maksimum $R$:

$$dR = \frac{\partial R}{\partial V}\,dV + \frac{\partial R}{\partial I}\,dI = \frac{1}{I}\,dV - \frac{V}{I^2}\,dI $$

$$|dR| \leq \frac{1}{5}(1) + \frac{220}{25}(0.05) = 0.2 + 0.44 = 0.64\;\Omega $$

Jadi $R = 44 \pm 0.64\;\Omega$ (atau $R = 44.0 \pm 1.5\%$). ✓

19.6 Aturan Rantai Multivariabel

Aturan rantai untuk fungsi multivariabel lebih kompleks karena ada banyak "jalur" dari variabel independen ke variabel dependen. Diagram pohon (tree diagram) adalah alat yang sangat efektif untuk mengorganisir semua jalur ini.

Kasus 1: $z = f(x,y)$, $x = g(t)$, $y = h(t)$

Teorema 19.3 — Aturan Rantai: Satu Parameter

$$\boxed{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = f_x\,g'(t) + f_y\,h'(t)} $$

Gambar 19.5 — Diagram pohon: setiap jalur dari $z$ ke $t$ menyumbang satu suku (produk turunan sepanjang jalur)

Kasus 2: $z = f(x,y)$, $x = g(s,t)$, $y = h(s,t)$

Teorema 19.4 — Aturan Rantai: Dua Parameter

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = f_x\,x_s + f_y\,y_s} $$

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} = f_x\,x_t + f_y\,y_t} $$

Kasus 3: $w = f(x,y,z)$, $x = g(t)$, $y = h(t)$, $z = k(t)$

$$\frac{dw}{dt} = f_x\,g'(t) + f_y\,h'(t) + f_z\,k'(t) $$

Kapan Menggunakan $\partial$ vs. $d$?

Gunakan $\dfrac{\partial z}{\partial s}$ ketika $z$ bergantung pada lebih dari satu variabel (dan kita menurunkan terhadap salah satunya). Gunakan $\dfrac{dz}{dt}$ ketika pada akhirnya $z$ bergantung pada satu variabel saja $t$ (bahkan jika melalui perantara). Pada Gambar 19.5, $z$ secara langsung bergantung pada $x$ dan $y$ (jadi $\partial z/\partial x$), tetapi secara akhir bergantung hanya pada $t$ (jadi $dz/dt$).

Contoh 19.8 — Aturan Rantai: Satu Parameter

$z = x^2 y$, $x = \cos t$, $y = \sin t$. Hitung $dz/dt$:

$$\frac{dz}{dt} = (2xy)(-\sin t) + (x^2)(\cos t) = -2\cos t \sin t \cdot \sin t + \cos^2 t \cdot \cos t $$

$$= -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t = \cos t(\cos^2 t - 2\sin^2 t) $$

Verifikasi langsung: $z = \cos^2 t \cdot \sin t$. Turunkan: $dz/dt = -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t$. ✓ Sama. ✓

Contoh 19.9 — Aturan Rantai: Dua Parameter

$z = e^{xy}$, $x = s + t$, $y = s - t$. Hitung $\partial z/\partial s$ dan $\partial z/\partial t$:

$$\frac{\partial z}{\partial s} = (ye^{xy})(1) + (xe^{xy})(1) = (x+y)e^{xy} = 2s\,e^{s^2-t^2} $$

$$\frac{\partial z}{\partial t} = (ye^{xy})(1) + (xe^{xy})(-1) = (y-x)e^{xy} = -2t\,e^{s^2-t^2} $$

Verifikasi: $z = e^{s^2 - t^2}$, maka $\partial z/\partial s = 2s\,e^{s^2-t^2}$ ✓ dan $\partial z/\partial t = -2t\,e^{s^2-t^2}$ ✓. ✓

19.7 Turunan Parsial Implisit

Jika $F(x,y,z) = 0$ mendefinisikan $z$ secara implisit sebagai fungsi dari $x$ dan $y$, kita bisa menemukan $\partial z/\partial x$ dan $\partial z/\partial y$ tanpa menyelesaikan untuk $z$.

Teorema 19.5 — Turunan Parsial Implisit

Jika $F(x,y,z) = 0$ mendefinisikan $z = f(x,y)$ secara implisit, dan $F_z \neq 0$, maka:

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}} $$

Derivasi via aturan rantai

$F(x, y, z(x,y)) = 0$ untuk semua $(x,y)$. Turunkan terhadap $x$:

$$F_x \cdot 1 + F_y \cdot 0 + F_z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \quad \blacksquare $$

Contoh 19.10 — Turunan Parsial Implisit

$x^2 + y^2 + z^2 = 4z$. Tulis $F = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$:

$$F_x = 2x,\quad F_y = 2y,\quad F_z = 2z - 4 $$

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2-z} $$

Ini adalah sfera $(x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4)$ yang diperlakukan sebagai dua fungsi $z = f(x,y)$ (hemisper atas dan bawah). ✓

19.8 Turunan Arah

Turunan parsial $f_x$ dan $f_y$ mengukur laju perubahan $f$ sepanjang dua arah khusus (sumbu-$x$ dan sumbu-$y$). Turunan arah menggeneralisasi konsep ini ke arah sembarang.

Definisi 19.6 — Turunan Arah

Jika $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$ adalah vektor satuan ($a^2+b^2=1$), maka turunan arah $f$ di $(x_0,y_0)$ sepanjang $\mathbf{u}$ adalah:

$$\boxed{D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + ha,\; y_0 + hb) - f(x_0,\; y_0)}{h}} $$

Untuk $\mathbf{u} = \langle a, b, c \rangle \in \mathbb{R}^3$ (vektor satuan):

$$D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0,z_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + ha,\; y_0 + hb,\; z_0 + hc) - f(x_0,y_0,z_0)}{h} $$

Mengapa Vektor Arah Harus Satuan?

Definisi di atas menggunakan langkah $h$ (bukan $h|\mathbf{u}|$), sehingga jika $\mathbf{u}$ bukan vektor satuan, turunan arah akan bergantung pada panjang $\mathbf{u}$ — bukan hanya arahnya. Dengan mensyaratkan $|\mathbf{u}| = 1$, $D_{\mathbf{u}}f$ benar-benar mengukur "laju perubahan per satuan jarak" dalam arah $\mathbf{u}$. Selalu normalisasi vektor arah sebelum menghitung turunan arah.

19.9 Vektor Gradien

Vektor gradien adalah salah satu konsep paling penting dalam seluruh kalkulus multivariabel. Ia mengumpulkan semua informasi turunan parsial orde pertama ke dalam satu objek vektor.

Definisi 19.7 — Gradien

Gradien dari $f(x,y)$:

$$\boxed{\nabla f = \text{grad } f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle = \left\langle f_x,\; f_y \right\rangle} $$

Gradien dari $f(x,y,z)$:

$$\boxed{\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle = \left\langle f_x,\; f_y,\; f_z \right\rangle} $$

Simbol $\nabla$ (nabla, dibaca "del") adalah operator diferensial vektor: $\nabla = \left\langle \dfrac{\partial}{\partial x},\, \dfrac{\partial}{\partial y},\, \dfrac{\partial}{\partial z} \right\rangle$.

Teorema 19.6 — Turunan Arah via Gradien

Jika $\mathbf{u}$ adalah vektor satuan, maka:

$$\boxed{D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}} $$

Ini berarti: setiap turunan arah dapat dihitung dari gradien melalui satu dot product.

Derivasi

Dari definisi turunan arah dan diferensial total (atau aturan rantai dengan $x = x_0+ha$, $y = y_0+hb$):

$$D_{\mathbf{u}}f = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ha, y_0+hb) - f(x_0,y_0)}{h} = f_x \cdot a + f_y \cdot b = \langle f_x, f_y \rangle \cdot \langle a, b \rangle = \nabla f \cdot \mathbf{u} \quad \blacksquare $$

Teorema 19.7 — Sifat-Sifat Geometris Gradien

Arah kenaikan maksimum: $\nabla f$ menunjuk ke arah di mana $f$ naik paling cepat. Laju kenaikan maksimum adalah $|\nabla f|$.
Arah penurunan maksimum: $-\nabla f$ menunjuk ke arah di mana $f$ turun paling cepat.
Tegak lurus terhadap kurva level: $\nabla f$ tegak lurus terhadap kurva level $f(x,y) = c$ (atau permukaan level $f(x,y,z) = c$) di setiap titik.
Nol di titik kritis: $\nabla f = \mathbf{0}$ di titik di mana semua turunan parsial orde pertama nol.

Mengapa $\nabla f \perp$ kurva level?

Kurva level $f(x,y) = c$ dapat diparametrisasi sebagai $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ dengan $f(x(t),y(t)) = c$ untuk semua $t$. Turunkan: $\nabla f \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$. Karena $\mathbf{r}'(t)$ adalah vektor tangen kurva level, dan dot product-nya dengan $\nabla f$ selalu nol, maka $\nabla f$ tegak lurus terhadap kurva level. $\quad\blacksquare$

Gambar 19.6 — Gradien $\nabla f$ tegak lurus terhadap kurva level di setiap titik, menunjuk ke arah kenaikan $f$ paling cepat.

Contoh 19.11 — Gradien dan Turunan Arah

$f(x,y) = x^2 y - y^3$. Di titik $(2, 1)$:

$$\nabla f = \langle 2xy,\; x^2 - 3y^2 \rangle, \qquad \nabla f(2,1) = \langle 4,\; 1 \rangle $$

(a) Laju kenaikan maksimum: $|\nabla f| = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$, arah $\langle 4,1 \rangle/\sqrt{17}$.

(b) Turunan arah sepanjang $\mathbf{u} = \langle 1/\sqrt{2},\, 1/\sqrt{2} \rangle$:

$$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} $$

(c) Arah di mana $f$ tidak berubah: tegak lurus terhadap $\nabla f$, yaitu $\langle -1, 4 \rangle/\sqrt{17}$ (atau sebaliknya). Ini adalah arah sepanjang kurva level. ✓

Contoh 19.12 — Gradien untuk Fungsi Tiga Variabel

$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ (fungsi jarak kuadrat dari origin):

$$\nabla f = \langle 2x,\; 2y,\; 2z \rangle = 2\langle x, y, z \rangle = 2\mathbf{r} $$

Gradien selalu searah dengan vektor posisi — menunjuk menjauhi origin (arah jarak bertambah). Permukaan level adalah sfera, dan gradien memang tegak lurus terhadap sfera (searah jari-jari). $|\nabla f| = 2r$ semakin besar seiring jarak dari origin bertambah. ✓

19.10 Hubungan Diferensial Total dengan Gradien

Teorema 19.8 — Diferensial Total dalam Notasi Gradien

$$df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}, \qquad \text{di mana } d\mathbf{r} = \langle dx,\, dy \rangle \text{ (atau } \langle dx, dy, dz \rangle \text{)} $$

Ini menunjukkan bahwa diferensial total adalah proyeksi gradien pada perpindahan $d\mathbf{r}$. Secara geometris: perubahan $f$ akibat perpindahan kecil $d\mathbf{r}$ adalah komponen gradien sepanjang arah perpindahan tersebut.

Contoh 19.13 — Diferensial Total via Gradien

$f(x,y) = x^2 y + y^2$, $\nabla f = \langle 2xy,\; x^2 + 2y \rangle$. Di $(1, 2)$: $\nabla f = \langle 4, 5 \rangle$.

Untuk $d\mathbf{r} = \langle 0.1, -0.02 \rangle$:

$$df = \langle 4, 5 \rangle \cdot \langle 0.1, -0.02 \rangle = 0.4 - 0.1 = 0.3 $$

Perubahan nyata: $f(1.1, 1.98) - f(1,2) = (1.21 \times 1.98 + 3.9204) - (2 + 4) = 6.3162 - 6 = 0.3162$. Aproksimasi cukup baik. ✓

19.11 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 19

Kuantitas	Rumus
Turunan parsial $f_x$	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$
Clairaut	$f_{xy} = f_{yx}$ (jika kontinu)
Diferensial total	$dz = f_x\,dx + f_y\,dy$
Rantai (1 param)	$\dfrac{dz}{dt} = f_x\,\dfrac{dx}{dt} + f_y\,\dfrac{dy}{dt}$
Rantai (2 param)	$\dfrac{\partial z}{\partial s} = f_x\,\dfrac{\partial x}{\partial s} + f_y\,\dfrac{\partial y}{\partial s}$
Implisit	$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}$, $\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}$
Turunan arah	$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ ($\|\mathbf{u}\|=1$)
Gradien (2 var)	$\nabla f = \langle f_x,\; f_y \rangle$
Gradien (3 var)	$\nabla f = \langle f_x,\; f_y,\; f_z \rangle$
Diferensial via gradien	$df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}$

Gradien di Seluruh Kalkulus III

Gradien $\nabla f$ muncul di setiap bab berikutnya: bidang tangen dan garis normal (Bab 20) menggunakan $\nabla f$ sebagai vektor normal; metode pengali Lagrange (Bab 20) menetapkan $\nabla f = \lambda\nabla g$; integral garis konservatif (Bab 23) memerlukan $\nabla f$ sebagai potensial; dan Teorema Divergensi serta Stokes (Bab 24) melibatkan operator $\nabla$ dalam bentuk divergensi ($\nabla\cdot\mathbf{F}$) dan curl ($\nabla\times\mathbf{F}$). Kuasai gradien sekarang — ia akan selalu kembali.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 19

Tentukan domain dan gambar peta kontur (sketsa beberapa kurva level) untuk: (a) $f(x,y) = \sqrt{x^2 - y^2}$, (b) $f(x,y) = \dfrac{1}{x^2 + y^2 + 1}$, (c) $f(x,y) = \arctan(y/x)$.
Hitung semua turunan parsial orde pertama dan kedua dari $f(x,y) = x^3 y^2 - 3xy + e^{x-y}$. Verifikasi $f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx}$.
Gunakan diferensial total untuk mengaproksimasi $\sqrt{(3.02)^2 + (3.97)^2}$. Bandingkan dengan nilai sebenarnya.
$w = x^2 y + y^2 z$, dengan $x = s\cos t$, $y = s\sin t$, $z = st$. Hitung $\partial w/\partial s$ dan $\partial w/\partial t$ menggunakan aturan rantai. Kemudian verifikasi dengan substitusi langsung.
Permukaan $x^2 y + y^2 z + z^2 x = 3$ mendefinisikan $z$ secara implisit sebagai fungsi dari $x$ dan $y$ di sekitar $(1,1,1)$. Hitung $\partial z/\partial x$ dan $\partial z/\partial y$ di titik ini.
Untuk $f(x,y) = x^2 + xy + y^2$ di $(1, -1)$: (a) hitung $\nabla f$, (b) tentukan arah kenaikan maksimum dan lajunya, (c) hitung turunan arah sepanjang $\mathbf{u} = \langle 3/5,\, 4/5 \rangle$, (d) tentukan arah di mana turunan arah = 0.
Tunjukkan bahwa turunan arah maksimum adalah $|\nabla f|$ dan terjadi sepanjang arah $\nabla f/|\nabla f|$. Petunjuk: gunakan $D_{\mathbf{u}}f = |\nabla f|\cos\theta$ di mana $\theta$ adalah sudut antara $\mathbf{u}$ dan $\nabla f$.
Jika $f(x,y) = g(r)$ dengan $r = \sqrt{x^2+y^2}$, tunjukkan bahwa $f_x^2 + f_y^2 = [g'(r)]^2$. (Ini berarti gradien fungsi radial hanya bergantung pada $g'$.)
Dalam termodinamika, persamaan gas ideal $PV = nRT$ menghubungkan empat variabel. Jika $T$ dinyatakan sebagai fungsi implisit dari $P$ dan $V$, hitung $\partial T/\partial P$ dan $\partial T/\partial V$. Verifikasi bahwa $\dfrac{\partial P}{\partial V}\cdot\dfrac{\partial V}{\partial T}\cdot\dfrac{\partial T}{\partial P} = -1$ (relasi siklus termodinamika).
Tunjukkan bahwa gradien $\nabla f$ di titik $(x_0, y_0)$ tegak lurus terhadap kurva level yang melalui titik tersebut, dengan menggunakan definisi turunan arah: pilih $\mathbf{u}$ searah dengan kurva level dan tunjukkan $D_{\mathbf{u}}f = 0$.

Jembatan ke Bab 20

Bab ini memberi kita turunan parsial dan gradien. Bab 20 menggunakannya untuk tiga tujuan: (1) menentukan bidang tangen dan garis normal di permukaan $z = f(x,y)$ — ini adalah analog 3D dari garis singgung; (2) mengklasifikasikan titik kritis (maksimum, minimum, titik pelana) menggunakan matriks Hessian; dan (3) memecahkan masalah optimasi berkendala melalui metode pengali Lagrange, di mana kondisi optimal dinyatakan sebagai kesetaraan dua gradien: $\nabla f = \lambda\nabla g$.

Sebelumnya

Bab 18: Fungsi Vektor & Kurva Ruang

Selanjutnya

Bab 20: Aplikasi Turunan Parsial