Bab 1

Bilangan Real dan Fungsi

Fondasi kalkulus dibangun di atas sistem bilangan real. Bab ini membangun kerangka formal bilangan real sebagai medan terurut lengkap, membahas notasi penjumlahan dan perkalian, serta memperkenalkan konsep fungsi yang akan menjadi objek utama analisis kalkulus di bab-bab selanjutnya.

Gambar 1.1 — Alur konsep Bab 1: dari sistem bilangan real hingga operasi fungsi

1.1 Sistem Bilangan Real

Seluruh kalkulus dibangun di atas sistem bilangan real $\mathbb{R}$. Untuk memahami mengapa bilangan real (bukan hanya bilangan rasional) diperlukan, kita harus memahami konstruksi bertahap sistem bilangan dan sifat-sifat strukturalnya.

1.1.1 Hierarki Sistem Bilangan

Sistem bilangan dibangun secara bertahap, masing-masing memperluas yang sebelumnya:

Gambar 1.2 — Hierarki himpunan bilangan: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Secara formal, hierarki ini dinyatakan sebagai:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

di mana:

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ — bilangan asli (natural numbers)
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ — bilangan bulat (integers)
$\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\right\}$ — bilangan rasional (rational numbers)
$\mathbb{R}$ — bilangan real, yang mencakup $\mathbb{Q}$ dan bilangan irasional

1.1.2 Mengapa Bilangan Rasional Tidak Cukup?

Bilangan rasional memiliki "lubang" yang membuat analisis kalkulus tidak dapat dilakukan di atasnya. Contoh paling klasik:

Teorema — $\sqrt{2}$ Tidak Rasional

Bukti (dengan kontradiksi): Asumsikan $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ dengan $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, dan $p/q$ dalam bentuk paling sederhana (FPB$(p,q)=1$). Maka:

$$2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$$

Ini berarti $p^2$ genap, sehingga $p$ genap. Tulis $p = 2k$. Substitusi:

$$(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$$

Jadi $q^2$ (dan maka $q$) juga genap. Tetapi ini bertentangan dengan asumsi bahwa FPB$(p,q)=1$ (keduanya tidak bisa sekaligus genap). Kontradiksi. ∎

Implikasi untuk Kalkulus

Karena $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, ada titik pada garis bilangan yang "tidak terisi" oleh bilangan rasional. Bahkan, himpunan bilangan irasional jauh lebih "banyak" daripada bilangan rasional — dalam pengertian teori himpunan, $\mathbb{Q}$ berhingga terhitung (countable) sedangkan $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ tidak terhitung (uncountable). Tanpa mengisi lubang-lubang ini, konsep limit (dan maka seluruh kalkulus) runtuh.

1.1.3 Bilangan Real sebagai Medan Terurut Lengkap

Sistem bilangan real $\mathbb{R}$ memenuhi tiga kelompok aksioma berikut:

Aksioma Medan (Field Axioms)

Untuk setiap $a, b, c \in \mathbb{R}$, operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ memenuhi:

Sifat	Penjumlahan	Perkalian
Asosiatif	$(a+b)+c = a+(b+c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Komutatif	$a+b = b+a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Identitas	$a + 0 = a$	$a \cdot 1 = a$
Invers	$\exists\,(-a):\; a+(-a)=0$	$\exists\,a^{-1}\;(a\neq 0):\; a \cdot a^{-1}=1$
Distributif	$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

Aksioma Urutan (Order Axioms)

Relasi $<$ pada $\mathbb{R}$ memenuhi:

Trichotomy: Untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$, tepat satu dari berikut benar: $a < b$, $a = b$, atau $a > b$.
Transitif: Jika $a < b$ dan $b < c$, maka $a < c$.
Penjumlahan konsisten: Jika $a < b$, maka $a + c < b + c$ untuk semua $c \in \mathbb{R}$.
Perkalian konsisten: Jika $a < b$ dan $c > 0$, maka $ac < bc$.

Aksioma Kelengkapan (Completeness Axiom)

Inilah aksioma yang membedakan $\mathbb{R}$ dari $\mathbb{Q}$. Ada beberapa perumusan ekuivalen; yang paling fundamental:

Aksioma Kelengkapan (Least Upper Bound Property)

Setiap himpunan bagian tak kosong $S \subset \mathbb{R}$ yang terbatas atas (bounded above) memiliki supremum (batas atas terkecil) di $\mathbb{R}$.

Aksioma ini gagal pada $\mathbb{Q}$. Sebagai contoh:

Contoh 1.1 — Kegagalan Kelengkapan pada ℚ

Pertimbangkan himpunan $S = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$. Himpunan ini terbatas atas (misalnya oleh $2$), tetapi tidak memiliki supremum di $\mathbb{Q}$. Batas atas terkecil "seharusnya" $\sqrt{2}$, namun $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Setiap batas atas rasional $r > \sqrt{2}$ selalu bisa digantikan oleh rasional yang lebih kecil (masih $> \sqrt{2}$), sehingga tidak ada batas atas terkecil di $\mathbb{Q}$.

1.2 Supremum dan Infimum

Konsep supremum dan infimum adalah alat fundamental dalam analisis real yang secara langsung digunakan dalam pembuktian teorema-teorema kalkulus.

Definisi — Batas Atas, Batas Bawah, Supremum, Infimum

Misalkan $S \subset \mathbb{R}$ adalah himpunan tak kosong.

Batas atas (upper bound): $M \in \mathbb{R}$ adalah batas atas $S$ jika $x \leq M$ untuk semua $x \in S$.
Batas bawah (lower bound): $m \in \mathbb{R}$ adalah batas bawah $S$ jika $x \geq m$ untuk semua $x \in S$.
Supremum (least upper bound): $\sup S$ adalah batas atas terkecil, yaitu: (i) $\sup S$ adalah batas atas $S$, dan (ii) jika $M$ adalah batas atas $S$, maka $\sup S \leq M$.
Infimum (greatest lower bound): $\inf S$ adalah batas bawah terbesar, yaitu: (i) $\inf S$ adalah batas bawah $S$, dan (ii) jika $m$ adalah batas bawah $S$, maka $\inf S \geq m$.

Karakterisasi Epsilon ($\varepsilon$) untuk Supremum

Pernyataan "$u = \sup S$" ekuivalen dengan: (i) $u$ adalah batas atas $S$, dan (ii) untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $x \in S$ sehingga $u - \varepsilon < x \leq u$. Karakterisasi ini sangat berguna dalam pembuktian — ia mengatakan bahwa kita bisa mendekati supremum se-sedekat yang diinginkan dari dalam $S$.

Contoh 1.2 — Menghitung Supremum dan Infimum

(a) $S_1 = \left\{\dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots\right\}$

$$\sup S_1 = 1, \qquad \inf S_1 = 0$$

Catatan: $\inf S_1 = 0 \notin S_1$ — infimum tidak harus menjadi anggota himpunan.

(b) $S_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \leq 3\} = (0, 3]$

$$\sup S_2 = 3 \in S_2, \qquad \inf S_2 = 0 \notin S_2$$

(c) $S_3 = \{x^2 + 1 \mid x \in \mathbb{R},\; -2 \leq x \leq 3\}$

Fungsi $f(x) = x^2 + 1$ pada $[-2, 3]$ bernilai minimum di $x = 0$ dan maksimum di $x = 3$:

$$\inf S_3 = 0^2 + 1 = 1 \in S_3, \qquad \sup S_3 = 3^2 + 1 = 10 \in S_3$$

Teorema — Completeness untuk Infimum

Setiap himpunan tak kosong $S \subset \mathbb{R}$ yang terbatas bawah memiliki $\inf S$ di $\mathbb{R}$.

Bukti: Misalkan $S$ terbatas bawah. Definisikan $-S = \{-x \mid x \in S\}$. Maka $-S$ terbatas atas. Oleh aksioma kelengkapan, $\sup(-S)$ ada. Dapat ditunjukkan bahwa $\inf S = -\sup(-S)$. ∎

1.3 Interval pada Bilangan Real

Interval adalah subtipe himpunan bilangan real yang paling sering muncul dalam kalkulus. Berikut klasifikasi lengkapnya:

Notasi	Nama	Definisi Himpunan	Berisi Ujung?
$[a, b]$	Interval tertutup	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$	Ya — kedua ujung
$(a, b)$	Interval terbuka	$\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$	Tidak — kedua ujung
$[a, b)$	Setengah terbuka	$\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$	Kiri saja
$(a, b]$	Setengah terbuka	$\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$	Kanan saja
$[a, \infty)$	Interval tak hingga	$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$	Kiri saja
$(-\infty, b)$	Interval tak hingga	$\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}$	Kanan saja
$(-\infty, \infty)$	Seluruh garis bilangan	$\mathbb{R}$	Tidak

Catatan Penting

Simbol $\infty$ dan $-\infty$ bukan bilangan real — mereka hanya notasi kenyamanan untuk menyatakan "tanpa batas". Oleh karena itu, kita tidak pernah menulis $[a, \infty]$ atau $\{x \mid x \leq \infty\}$.

1.4 Nilai Mutlak

Definisi — Nilai Mutlak

Nilai mutlak (absolute value) dari $x \in \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{jika } x < 0 \end{cases}$$

Interpretasi geometris: $|x|$ adalah jarak dari titik $x$ ke titik asal $0$ pada garis bilangan. Secara lebih umum, $|a - b|$ adalah jarak antara $a$ dan $b$.

1.4.1 Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Untuk setiap $a, b \in \mathbb{R}$ dan $c \geq 0$:

No.	Sifat	Pernyataan
1	Non-negatif	$\|a\| \geq 0$, dan $\|a\| = 0 \iff a = 0$
2	Simetri	$\|{-a}\| = \|a\|$
3	Perkalian	$\|ab\| = \|a\| \cdot \|b\|$
4	Pembagian	$\left\|\dfrac{a}{b}\right\| = \dfrac{\|a\|}{\|b\|}$, $b \neq 0$
5	Ketaksamaan segitiga	$\|a + b\| \leq \|a\| + \|b\|$
6	Variasi segitiga	$\big\|\|a\| - \|b\|\big\| \leq \|a - b\|$
7	Perkalian skalar	$\|ca\| = c\,\|a\|$ untuk $c \geq 0$

Bukti Ketaksamaan Segitiga: $|a + b| \leq |a| + |b|$

Dari sifat ordered field, kita tahu $-|a| \leq a \leq |a|$ dan $-|b| \leq b \leq |b|$. Jumlahkan:

$$-(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b|$$

Ini persis berarti $|a + b| \leq |a| + |b|$ berdasarkan definisi nilai mutlak. ∎

1.4.2 Representasi Interval dari $|x - a| < r$

Pernyataan $|x - a| < r$ (dengan $r > 0$) ekuivalen dengan $a - r < x < a + r$, yaitu interval $(a - r,\, a + r)$. Ini disebut lingkungan (neighborhood) titik $a$ dengan radius $r$.

Gambar 1.3 — Representasi geometris $|x - a| < r$ sebagai lingkungan terbuka $(a-r, a+r)$

1.5 Notasi Penjumlahan ($\Sigma$) dan Perkalian ($\Pi$)

1.5.1 Notasi Sigma

Definisi — Notasi Penjumlahan Sigma

Untuk suatu barisan $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

di mana $k$ disebut indeks penjumlahan, $1$ adalah batas bawah, dan $n$ adalah batas atas.

1.5.2 Sifat-Sifat Notasi Sigma

Sifat	Pernyataan
Linearitas (konstanta)	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$
Linearitas (penjumlahan)	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$
Perpindahan indeks	$\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{j=p}^{q} a_{j-m+p}$, di mana $q - p = n - m$
Pemisahan interval	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$

1.5.3 Rumus Penjumlahan Penting

Nama	Rumus
Penjumlahan konstanta	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c$
Penjumlahan aritmetika	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
Jumlah kuadrat	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Jumlah kubik	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
Deret geometri	$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} ar^k = a\,\frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}$, $r \neq 1$
Deret geometri tak hingga	$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$, $\|r\| < 1$

Contoh 1.3 — Menghitung Penjumlahan Sigma

(a) Hitung $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} (3k^2 - 2k + 1)$:

$$\sum_{k=1}^{100} (3k^2 - 2k + 1) = 3\sum_{k=1}^{100}k^2 - 2\sum_{k=1}^{100}k + \sum_{k=1}^{100}1$$

$$= 3 \cdot \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} - 2 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2} + 100$$

$$= 3 \cdot 338350 - 10100 + 100 = 1015050 - 10100 + 100 = \boxed{1005050}$$

(b) Hitung $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ (dari binomial theorem).

Ini mengikuti langsung dari $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} \cdot 1^k = 2^n$.

1.5.4 Notasi Pi (Perkalian)

Definisi — Notasi Perkalian Pi

Untuk suatu barisan $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

$$\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdots a_n$$

Contoh 1.4 — Notasi Pi

(a) Faktorial: $\displaystyle n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$

(b) $\displaystyle\prod_{k=1}^{4} (2k+1) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$

(c) Perkalian deret geometri: $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} ar^k = a^n \cdot r^{\sum_{k=0}^{n-1}k} = a^n \cdot r^{n(n-1)/2}$

1.6 Konsep Fungsi

Definisi — Fungsi

Sebuah fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, ditulis $f \colon A \to B$, adalah aturan yang memasangkan setiap elemen $x \in A$ dengan tepat satu elemen $f(x) \in B$.

$A$ disebut domain (daerah asal) — ditulis $\text{Dom}(f)$ atau $D_f$
$B$ disebut kodomain (daerah kawan)
$\text{Ran}(f) = \{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B$ disebut range atau image

Gambar 1.4 — Diagram panah fungsi $f \colon A \to B$: setiap elemen $A$ memiliki tepat satu pasangan di $B$; elemen $3 \in B$ bukan bagian dari range

1.6.1 Domain Alami Fungsi

Domain alami (natural domain) suatu fungsi yang didefinisikan oleh rumus adalah himpunan semua bilangan real yang membuat rumus tersebut terdefinisi:

Pembagi tidak nol: Untuk $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$, domainnya $\mathbb{R} \setminus \{3\}$
Akar kuadrat non-negatif: Untuk $f(x) = \sqrt{x-2}$, domainnya $[2, \infty)$
Logaritma argumen positif: Untuk $f(x) = \ln(x+1)$, domainnya $(-1, \infty)$
Kombinasi: Untuk $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2 - 4}$, domainnya $[-1, \infty) \setminus \{-2, 2\} = [-1, 2) \cup (2, \infty)$

1.7 Jenis-Jenis Fungsi Dasar

1.7.1 Fungsi Polinomial

Definisi — Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial berderajat $n$ memiliki bentuk:

$$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n \neq 0$$

Domain: $\mathbb{R}$. Contoh khusus: konstanta ($n=0$), linear ($n=1$), kuadrat ($n=2$), kubik ($n=3$).

1.7.2 Fungsi Rasional

Definisi — Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial:

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0$$

Domain: $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. Contoh: $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$, domainnya $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

1.7.3 Fungsi Pangkat (Power Function)

$$f(x) = x^a, \qquad a \in \mathbb{R}$$

Domain bergantung pada $a$:

Jenis Eksponen $a$	Contoh	Domain
$a \in \mathbb{N}$	$x^3$	$\mathbb{R}$
$a = \dfrac{1}{n}$, $n$ ganjil	$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$	$\mathbb{R}$
$a = \dfrac{1}{n}$, $n$ genap	$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$[0, \infty)$
$a \in \mathbb{Z}^{-}$	$x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$a$ irasional	$x^{\sqrt{2}}$	$(0, \infty)$

1.7.4 Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Definisi — Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Fungsi eksponensial (basis $a > 0$, $a \neq 1$): $\quad f(x) = a^x, \qquad \text{Domain: } \mathbb{R}$

Fungsi logaritma (basis $a > 0$, $a \neq 1$): $\quad f(x) = \log_a x, \qquad \text{Domain: } (0, \infty)$

Kedua fungsi ini saling invers: $y = a^x \iff x = \log_a y$. Hubungan fundamental:

$$a^{\log_a x} = x \quad (x > 0), \qquad \log_a(a^x) = x \quad (\forall\, x \in \mathbb{R})$$

Sifat-Sifat Eksponensial

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Sifat-Sifat Logaritma

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a(x^n) = n\,\log_a x$$

Perubahan Basis

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = \frac{\ln x}{\ln a}$$

Basis khusus: $e \approx 2.71828\ldots$ (bilangan Euler) menghasilkan $\exp(x) = e^x$ dan $\ln(x) = \log_e x$.

1.7.5 Fungsi Trigonometri

Enam fungsi trigonometri dasar, didefinisikan untuk sudut $x$ (dalam radian):

Gambar 1.5 — Definisi geometris $\sin x$, $\cos x$, dan $\tan x$ pada lingkaran satuan

Fungsi	Definisi	Domain	Range	Periode
$\sin x$	$\dfrac{y}{r}$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$
$\cos x$	$\dfrac{x}{r}$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$
$\tan x$	$\dfrac{\sin x}{\cos x}$	$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\csc x$	$\dfrac{1}{\sin x}$	$\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$	$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$	$2\pi$
$\sec x$	$\dfrac{1}{\cos x}$	$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$	$(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$	$2\pi$
$\cot x$	$\dfrac{\cos x}{\sin x}$	$\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$	$\mathbb{R}$	$\pi$

Identitas Trigonometri Fundamental

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x$$

Identitas Penjumlahan Sudut

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\,\tan\beta}$$

Rumus Sudut Ganda

$$\sin(2x) = 2\sin x\cos x, \qquad \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$$

1.7.6 Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik didefinisikan secara analitik (bukan geometris) dan muncul secara alami dalam teknik:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Identitas analog (perhatikan tanda $+$ yang berbeda dari trigonometri):

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, \qquad 1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2\, x$$

Fungsi invers hiperbolik (didefinisikan untuk $x$ yang sesuai):

$$\text{arsinh}\, x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right), \qquad \text{arcosh}\, x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right),\; x \geq 1$$

1.8 Operasi Fungsi

1.8.1 Komposisi Fungsi

Definisi — Komposisi Fungsi

Jika $f \colon A \to B$ dan $g \colon B \to C$, maka komposisi $g \circ f \colon A \to C$ didefinisikan:

$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

Syarat: Range $f$ harus merupakan subset dari domain $g$, yaitu $\text{Ran}(f) \subseteq \text{Dom}(g)$.

Contoh 1.5 — Komposisi Fungsi

Jika $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = \sqrt{x - 1}$, maka:

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$$

Domain $g \circ f$: kita butuh $f(x) \geq 1$, yaitu $x^2 + 1 \geq 1 \implies x^2 \geq 0$, yang selalu benar. Jadi $\text{Dom}(g \circ f) = \mathbb{R}$.

Sebaliknya:

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 + 1 = (x-1) + 1 = x$$

Domain $f \circ g$: kita butuh $x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$, jadi $\text{Dom}(f \circ g) = [1, \infty)$.

Perhatikan

$g \circ f \neq f \circ g$ — komposisi fungsi tidak komutatif. Juga, meskipun $(f \circ g)(x) = x$, ini bukan fungsi identitas pada $\mathbb{R}$ karena domainnya hanya $[1, \infty)$.

1.8.2 Fungsi Invers

Definisi — Fungsi Invers

Fungsi $f \colon A \to B$ memiliki invers $f^{-1} \colon B \to A$ jika dan hanya jika $f$ bijektif (satu-satu dan onto). Dalam hal ini:

$$f^{-1}(f(x)) = x \;\; \forall\, x \in A, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \;\; \forall\, y \in B$$

Teorema — Uji Garis Horizontal

Sebuah fungsi $f$ memiliki invers jika dan hanya jika setiap garis horizontal memotong grafik $y = f(x)$ paling banyak satu kali. Ini ekuivalen dengan $f$ yang monoton (strictly increasing atau strictly decreasing) pada intervalnya.

Prosedur Menentukan Fungsi Invers

Langkah 1: Tulis $y = f(x)$.

Langkah 2: Selesaikan persamaan tersebut untuk $x$ dalam bentuk $y$.

Langkah 3: Tukar simbol $x$ dan $y$ (konvensi), hasilnya $y = f^{-1}(x)$.

Langkah 4: Tentukan domain $f^{-1}$ = range $f$, dan range $f^{-1}$ = domain $f$.

Contoh 1.6 — Menentukan Invers Fungsi

Soal: Tentukan $f^{-1}$ untuk $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$.

Langkah 1: $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$

Langkah 2: Kalikan silang dan selesaikan untuk $x$:

$$y(x - 1) = 2x + 3 \implies yx - y = 2x + 3 \implies yx - 2x = y + 3$$

$$x(y - 2) = y + 3 \implies x = \frac{y + 3}{y - 2}$$

Langkah 3: Tukar $x$ dan $y$:

$$\boxed{f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}, \qquad x \neq 2}$$

Verifikasi:

$$f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\!\left(\frac{2x+3}{x-1}\right) = \frac{\frac{2x+3}{x-1} + 3}{\frac{2x+3}{x-1} - 2} = \frac{\frac{2x+3+3x-3}{x-1}}{\frac{2x+3-2x+2}{x-1}} = \frac{5x}{5} = x \;\checkmark$$

1.8.3 Hubungan Grafik $f$ dan $f^{-1}$

Grafik $y = f^{-1}(x)$ adalah pencerminan grafik $y = f(x)$ terhadap garis $y = x$. Secara aljabar, jika $(a, b)$ terletak pada grafik $f$, maka $(b, a)$ terletak pada grafik $f^{-1}$.

Gambar 1.6 — Grafik $f(x) = e^x$ dan $f^{-1}(x) = \ln x$ saling bercermin terhadap garis $y = x$

1.9 Fungsi Khusus dalam Teknik

1.9.1 Fungsi Tangen Hiperbolik Invers

Dalam teknik kendali dan neural network, sering muncul:

$$\text{artanh}\, x = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right), \qquad |x| < 1$$

1.9.2 Fungsi Puluhan (Heaviside Step Function)

Definisi — Fungsi Puluhan Heaviside

Fungsi puluhan (unit step) didefinisikan:

$$u(t) = H(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases}$$

Fungsi ini sangat penting dalam analisis sinyal dan sistem kontrol untuk memodelkan input yang "menyala" pada suatu waktu.

1.9.3 Fungsi Signum

$$\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$

Hubungan: $|x| = x \cdot \text{sgn}(x)$ dan $\text{sgn}(x) = \dfrac{x}{|x|}$ untuk $x \neq 0$.

1.9.4 Fungsi Gelombang Persegi

Dalam teknik elektro, fungsi periodik khusus sering didefinisikan menggunakan fungsi puluhan:

$$\text{sq}(t) = \text{sgn}(\sin t) = \begin{cases} 1, & \sin t > 0 \\ -1, & \sin t < 0 \end{cases}$$

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 1

Tentukan $\sup S$ dan $\inf S$ untuk $S = \left\{\dfrac{n}{n+1} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}\right\}$. Bukti menggunakan karakterisasi $\varepsilon$ bahwa $\sup S = 1$.
Hitung $\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\left(k^2 - 3k + 2\right)$ menggunakan rumus penjumlahan standar.
Tentukan domain alami dari $f(x) = \dfrac{\sqrt{\ln(x-1)}}{x^2 - 9}$.
Jika $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^3$, hitung $(f \circ g)(x)$, $(g \circ f)(x)$, dan tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$.
Buktikan bahwa $\sqrt{3}$ tidak rasional menggunakan metode kontradiksi (serupa dengan bukti $\sqrt{2}$).
Buktikan sifat $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$ menggunakan ketaksamaan segitiga.
Tentukan invers dari $f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh x$. Tunjukkan bahwa $f^{-1} = \text{artanh}$.

Kembali

Halaman Utama

Selanjutnya

Bab 2: Limit & Keberlanjutan