Bab 22

Integral Tiga

Integral ganda menjumlahkan fungsi di atas daerah dua dimensi. Integral tiga $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ melangkah lebih jauh: menjumlahkan fungsi di atas daerah tiga dimensi (volume padat). Jika $f$ adalah densitas volumetrik, hasilnya adalah massa benda padat. Jika $f = 1$, hasilnya adalah volume. Secara komputasional, integral tiga hanyalah tiga integral bertingkat — tapi tantangan utamanya adalah memilih sistem koordinat yang tepat. Bab ini memperkenalkan dua sistem koordinat baru: koordinat silinder (untuk masalah dengan simetri aksial) dan koordinat bola (untuk masalah dengan simetri spherical). Kunci keberhasilan adalah mengenali kapan masing-masing sistem digunakan dan mengingat faktor Jacobian yang menyertai setiap transformasi.

Gambar 22.1 — Alur Bab 22: dari definisi integral tiga hingga aplikasi fisika dan integral tak wajar

22.1 Dari 2D ke 3D: Motivasi Integral Tiga

Dalam Bab 21, integral ganda $\iint_D f\,dA$ menjumlahkan nilai $f$ di atas daerah datar $D$. Sekarang kita ingin menjumlahkan nilai fungsi $f(x,y,z)$ di atas volume padat $E \subseteq \mathbb{R}^3$. Elemen integrasi berubah dari $dA$ (luas elemen 2D) menjadi $dV$ (volume elemen 3D).

Gambar 22.2 — Integral tiga menjumlahkan $f(x_i,y_j,z_k)\,\Delta V_{ijk}$ atas semua elemen volume kecil dalam $E$

22.2 Definisi Integral Tiga

Definisi 22.1 — Integral Tiga

Biarkan $E \subseteq \mathbb{R}^3$ daerah tertutup terbatas. Partisi $P$ membagi $E$ menjadi $n$ sub-volume $E_1, \ldots, E_n$ dengan volume $\Delta V_1, \ldots, \Delta V_n$. Pilih titik sampel $(x_i^*, y_i^*, z_i^*) \in E_i$.

$$\boxed{\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*, y_i^*, z_i^*)\,\Delta V_i} $$

Jika $f(x,y,z) = 1$, maka $\iiint_E dV = \text{Volume}(E)$.

Jika $f(x,y,z) = \rho(x,y,z)$ (densitas volumetrik), maka $\iiint_E \rho\,dV = \text{Massa}(E)$.

22.3 Integral Tiga atas Kotak (Fubini 3D)

Teorema 22.1 — Teorema Fubini untuk Integral Tiga

Jika $f$ kontinu pada kotak $B = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$, maka:

$$\boxed{\iiint_B f\,dV = \int_a^b\!\int_c^d\!\int_e^f f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx} $$

Ada $3! = 6$ urutan integrasi yang possible, semuanya memberikan hasil yang sama.

Contoh 22.1 — Integral Tiga atas Kotak

$\iiint_B xyz\,dV$ dengan $B = [0,2] \times [0,1] \times [0,3]$:

$$\int_0^2\!\int_0^1\!\int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx = \int_0^2\!\int_0^1 xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^3\,dy\,dx = \int_0^2\!\int_0^1 \frac{9}{2}xy\,dy\,dx $$

$$= \frac{9}{2}\int_0^2 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1\,dx = \frac{9}{4}\int_0^2 x\,dx = \frac{9}{4}\cdot 2 = \frac{9}{2} \quad \checkmark $$

Catatan: karena $f = xyz$ = produk fungsi satu variabel, hasilnya = $\left(\int_0^2 x\,dx\right)\!\left(\int_0^1 y\,dy\right)\!\left(\int_0^3 z\,dz\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$. ✓

22.4 Integral Tiga atas Daerah Umum

Sebagian besar masalah nyata melibatkan daerah yang bukan kotak. Analog dengan Tipe I/II untuk integral ganda, di sini kita punya konsep "proyeksi dan batas atas-bawah."

Definisi 22.2 — Daerah Tipe Z (paling umum)

$E$ berupa daerah di antara dua permukaan $z = g_1(x,y)$ dan $z = g_2(x,y)$ di atas proyeksi $D$ pada bidang $xy$:

$$E = \{(x,y,z) : (x,y) \in D,\; g_1(x,y) \leq z \leq g_2(x,y)\} $$

$$\boxed{\iiint_E f\,dV = \iint_D\!\left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right]dA} $$

Integral dalam (terhadap $z$) menghasilkan fungsi $(x,y)$, lalu diintegralkan ganda atas $D$ (bisa Tipe I atau Tipe II).

Enam Tipe Daerah

Sama seperti 2D punya Tipe I dan Tipe II, 3D punya enam tipe tergantung sumbu mana yang diintegrasi terlebih dahulu:

Tipe Z: $z$ pertama, proyeksi ke bidang $xy$: $\int\!\int\!\int f\,dz\,dy\,dx$
Tipe Y: $y$ pertama, proyeksi ke bidang $xz$: $\int\!\int\!\int f\,dy\,dx\,dz$
Tipe X: $x$ pertama, proyeksi ke bidang $yz$: $\int\!\int\!\int f\,dx\,dy\,dz$
Dan tiga lagi dengan urutan kedua/ketiga yang berbeda (total 6 permutasi dari $dx, dy, dz$).

Contoh 22.2 — Volume Tetrahedron

Volume tetrahedron dibatasi oleh bidang $x + y + z = 1$ dan ketiga bidang koordinat.

Batas: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1 - x$, $0 \leq z \leq 1 - x - y$.

$$V = \int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx $$

$$= \int_0^1\left[(1-x)y - \frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x}\,dx = \int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \quad \checkmark $$

Ini sesuai dengan rumus volume tetrahedron $V = \frac{1}{3}\cdot\text{luas alas}\cdot\text{tinggi} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{6}$. ✓

Contoh 22.3 — Integral dengan Fungsi di Dalam

$\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi $z = 0$, $z = x + y$, dan $x^2 + y^2 = 1$ (silinder).

Proyeksi ke $xy$: lingkaran $x^2 + y^2 \leq 1$. Batas $z$: $0 \leq z \leq x + y$. Gunakan polar: $x + y = r(\cos\theta + \sin\theta)$.

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1\!\int_0^{r(\cos\theta+\sin\theta)} z\,r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^1 \frac{r^2(\cos\theta+\sin\theta)^2}{2}\,dr\,d\theta $$

$$= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)^2\,d\theta\cdot\int_0^1 r^2\,dr = \frac{1}{6}\int_0^{2\pi}(1 + \sin 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{6}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{3} \quad \checkmark $$

22.5 Pertukaran Urutan Integrasi dalam 3D

Prinsipnya sama dengan 2D: gambar daerah, identifikasi ulang batas dalam urutan baru, tulis ulang integral. Tapi di 3D, ada 6 kemungkinan urutan, dan menggambar volume 3D di atas kertas lebih sulit.

Strategi Praktis

Tentukan variabel mana yang batasnya konstan (paling mudah diintegrasikan terakhir).
Tentukan variabel mana yang batasnya paling sederhana (diintegrasikan lebih dulu).
Gambar proyeksi daerah ke bidang yang sesuai.
Jika integrand mengandung $e^{x^2}$, $\sin(x^2)$, dll., pastikan variabel tersebut bukan yang diintegrasi terakhir (atau pertukaran urutan mungkin membantu).

Contoh 22.4 — Pertukaran Urutan 3D

Tukar ke urutan $dx\,dy\,dz$: $\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{x+y} f\,dz\,dy\,dx$.

Analisis daerah asli: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1-x$, $0 \leq z \leq x+y$. Ini adalah prisma di atas segitiga $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \leq 1$ di bidang $xy$, dengan atap $z = x+y$.

Urutan baru $dz$ terluar: $z$ berkisar dari $0$ (bidang $xy$) sampai $1$ (nilai maks $x+y$ pada segitiga). Untuk $z$ tetap, proyeksi ke bidang $xy$: segitiga $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \geq z$, $x+y \leq 1$. Ini adalah segitiga cincin: $z \leq x+y \leq 1$.

$$\boxed{\int_0^1\!\int_z^1\!\int_{z-y}^{1-y} f\,dx\,dy\,dz} $$

Verifikasi: di $z = 0$, batas menjadi $\int_0^1\!\int_0^{1-y}\!\int_y^{1-y}f\,dx\,dy\,dz$ yang mencakup segitiga penuh. Di $z = 1$, batas menjadi $\int_1^1\ldots = 0$. Konsisten. ✓

22.6 Koordinat Silinder

Koordinat silinder menggabungkan koordinat polar di bidang $xy$ dengan koordinat $z$ kartesian. Ini ideal untuk masalah dengan simetri terhadap sumbu-$z$ (silinder, kerucut, bola yang dipotong sejajar sumbu).

Definisi 22.3 — Koordinat Silinder

$$\boxed{x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z} $$

dengan $r \geq 0$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $-\infty < z < \infty$.

Jacobian:

$$\boxed{dV = r\,dr\,d\theta\,dz} $$

Faktor $r$ sama seperti pada koordinat polar 2D — ia muncul dari elemen luas $r\,dr\,d\theta$ di bidang $xy$, dikalikan $dz$ untuk elemen volume.

Gambar 22.3 — Elemen volume dalam koordinat silinder: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$

Teorema 22.2 — Integral Tiga dalam Koordinat Silinder

$$\boxed{\iiint_E f\,dV = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\!\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,\, r\sin\theta,\, z)\;r\,dz\,dr\,d\theta} $$

Urutan $dz\,dr\,d\theta$ adalah yang paling umum, tapi urutan lain juga mungkin.

Contoh 22.5 — Volume Silinder

Volume silinder $x^2 + y^2 \leq a^2$, $0 \leq z \leq h$:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a\!\int_0^h r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a hr\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{ha^2}{2}\,d\theta = \pi a^2 h \quad \checkmark $$

Tidak mengejutkan — ini verifikasi bahwa rumus koordinat silinder menghasilkan rumus volume silinder yang sudah dikenal. ✓

Contoh 22.6 — Massa Silinder dengan Densitas Variabel

Silinder $x^2 + y^2 \leq 4$, $0 \leq z \leq 3$ dengan $\rho(x,y,z) = z\sqrt{x^2+y^2} = zr$.

$$M = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_0^3 (zr)\,r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_0^3 zr^2\,dz\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r^2\cdot\frac{9}{2}\,dr\,d\theta = \frac{9}{2}\int_0^{2\pi}\frac{8}{3}\,d\theta = \frac{9}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot 2\pi = 24\pi \quad \checkmark $$

22.7 Koordinat Bola

Koordinat bola menggunakan tiga parameter: $\rho$ (jarak dari origin), $\varphi$ (sudut dari sumbu-$z$ positif, disebut sudut azimut atau polar), dan $\theta$ (sudut dari sumbu-$x$ positif di bidang $xy$, sama dengan koordinat polar).

Definisi 22.4 — Koordinat Bola

$$\boxed{x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z = \rho\cos\varphi} $$

dengan $\rho \geq 0$, $0 \leq \varphi \leq \pi$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$.

Jacobian:

$$\boxed{dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Peringatan: Dua Konvensi $\varphi$

Ada dua konvensi umum untuk sudut $\varphi$:

Konvensi matematika (yang kita pakai): $\varphi$ = sudut dari sumbu-$z positif ($\varphi = 0$ di kutub utara, $\varphi = \pi/2$ di ekuator, $\varphi = \pi$ di kutub selatan).

Konvensi fisika: $\varphi$ = sudut dari bidang $xy$ (sama seperti latitude). Dalam konvensi ini, rumus Jacobian sama tapi batas $\varphi$ berbeda. Periksa konvensi buku yang Anda gunakan. Dalam catatan ini, kita konsisten menggunakan konvensi matematika.

Gambar 22.4 — Koordinat bola: titik $P$ ditentukan oleh $(\rho, \varphi, \theta)$ dengan Jacobian $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Permukaan Konstan dalam Koordinat Bola

$\rho = \text{konstan}$: sfera berjari-jari $\rho$
$\varphi = \text{konstan}$: kerucut (setengah sudut puncak = $\varphi$ dari sumbu-$z$). $\varphi = 0$ = kutub utara, $\varphi = \pi/2$ = bidang $xy$, $\varphi = \pi$ = kutub selatan.
$\theta = \text{konstan}$: setengah bidang yang memuat sumbu-$z$ (seperti irisan jeruk)

Teorema 22.3 — Integral Tiga dalam Koordinat Bola

$$\boxed{\iiint_E f\,dV = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\!\int_{\rho_1(\varphi,\theta)}^{\rho_2(\varphi,\theta)} f(\rho,\varphi,\theta)\;\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Contoh 22.7 — Volume Sfera

Volume sfera $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\frac{R^3}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \frac{R^3}{3}\int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^{\pi}\,d\theta = \frac{R^3}{3}\int_0^{2\pi}2\,d\theta = \frac{R^3}{3}\cdot 4\pi = \frac{4}{3}\pi R^3 \quad \checkmark $$

Rumus klasik volume sfera muncul secara alami dari integral tiga dalam koordinat bola. ✓

Contoh 22.8 — Massa Bola dengan Densitas Radial

Bola $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ dengan $\rho = k\rho^2$ (densitas sebanding kuadrat jarak dari pusat). Catatan: gunakan simbol $\delta$ untuk densitas agar tidak bentrok dengan $\rho$ koordinat.

Biarkan $\delta = k\rho^2$ (dengan $\rho$ koordinat bola = jarak dari origin):

$$M = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^a (k\rho^2)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = k\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^a \rho^4\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

$$= k\cdot\frac{a^5}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{4\pi k a^5}{5} \quad \checkmark $$

Contoh 22.9 — Volume antara Dua Sfera (Bola Cincin)

Volume di antara sfera $\rho = a$ dan $\rho = b$ ($0 < a < b$):

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_a^b \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{b^3-a^3}{3}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}(b^3 - a^3) \quad \checkmark $$

Ini = volume sfera besar dikurangi volume sfera kecil — sesuai harapan. ✓

22.8 Jacobian untuk Koordinat Silinder dan Bola

Bagian 21.8 membahas Jacobian sebagai faktor skala luasan dalam perubahan variabel 2D. Untuk integral tiga, konsep yang sama berlaku tetapi matriks Jacobian berukuran $3 \times 3$, dan determinannya memberikan faktor skala volume.

Definisi 22.6 — Matriks Jacobian (3D)

Untuk transformasi $T: (u,v,w) \mapsto (x,y,z)$:

$$\boxed{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = J = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\[6pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}} $$

Faktor skala volume: $dV = |\det J|\,du\,dv\,dw$.

Jacobian Koordinat Silinder

Derivasi: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$

Transformasi: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$.

$$J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Kembangkan sepanjang baris ketiga (yang hanya memiliki satu elemen tak-nol, yaitu $1$ di posisi $(3,3)$):

$$\det J = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = 1 \cdot r = r $$

Jadi $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$. Hasilnya sama dengan Jacobian 2D polar dikalikan $1$ (dari $\partial z/\partial z$) — masuk akal karena koordinat silinder hanya menambahkan $z$ tanpa mengubah geometri di bidang $xy$. $\quad\blacksquare$

Jacobian Koordinat Bola

Derivasi: $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Transformasi: $x = \rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = \rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = \rho\cos\varphi$.

$$J = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix} $$

Perhitungan determinan $3 \times 3$ — kembangkan sepanjang baris ketiga (paling sederhana karena elemen terakhir nol):

$$\det J = \cos\varphi \cdot \det\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \end{pmatrix} - (-\rho\sin\varphi) \cdot \det\begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \end{pmatrix} + 0 $$

Minor pertama:

$$\cos\varphi \cdot \rho^2\cos\varphi\sin\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho^2\sin\varphi\cos^2\varphi $$

Minor kedua:

$$\rho\sin\varphi \cdot \rho\sin^2\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \rho^2\sin^3\varphi $$

Jumlahkan:

$$\det J = \rho^2\sin\varphi\cos^2\varphi + \rho^2\sin^3\varphi = \rho^2\sin\varphi(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = \boxed{\rho^2\sin\varphi} $$

Jadi $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$. Faktor $\rho^2$ muncul dari dua sumber: satu dari $\rho$ di setiap minor. Faktor $\sin\varphi$ muncul dari struktur geometri koordinat bola. $\quad\blacksquare$

Pola Mnemonik untuk Jacobian

Ketiga sistem koordinat standar memiliki pola yang bisa diingat:

Kartesian: $dV = 1 \cdot dx\,dy\,dz$ — tidak ada faktor skala.
Silinder: $dV = r \cdot dr\,d\theta\,dz$ — satu faktor $r$ dari polar di bidang $xy$.
Bola: $dV = \rho^2\sin\varphi \cdot d\rho\,d\varphi\,d\theta$ — $\rho^2$ karena dua dari tiga koordinat memasukkan faktor $\rho$ linear; $\sin\varphi$ dari geometri sudut azimut.

Untuk sistem koordinat non-standar (misalnya elipsoidal $x = a\rho\sin\varphi\cos\theta$, dll.), Anda harus menghitung Jacobian dari awal — tidak ada jalan pintas.

Contoh 22.18 — Jacobian untuk Koordinat Elipsoidal

Koordinat elipsoidal termodifikasi: $x = a\rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = b\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = c\rho\cos\varphi$, dengan $a,b,c$ konstan positif.

Matriks Jacobian — setiap kolom sama dengan koordinat silinder/bola tapi dikalikan konstanta:

$$J = \begin{pmatrix} a\sin\varphi\cos\theta & a\rho\cos\varphi\cos\theta & -a\rho\sin\varphi\sin\theta \\ b\sin\varphi\sin\theta & b\rho\cos\varphi\sin\theta & b\rho\sin\varphi\cos\theta \\ c\cos\varphi & -c\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix} $$

Faktorkan $a$, $b$, $c$ dari baris pertama, kedua, ketiga:

$$\det J = abc \cdot \det\begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix} = abc \cdot \rho^2\sin\varphi $$

$$\boxed{dV = abc\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Untuk $a=b=c=R$: $dV = R^3 \cdot \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$. Ini masuk akal: jika kita menulis $\rho' = R\rho$, maka $d\rho' = R\,d\rho$ dan jari-jari fisik maksimum adalah $\rho'_{\max} = R$, menghasilkan volume $\frac{4}{3}\pi(R)^3$ seperti yang diharapkan. ✓

Teorema 22.4 — Perubahan Variabel Umum untuk Integral Tiga

Jika $T: (u,v,w) \mapsto (x,y,z)$ adalah transformasi satu-ke-satu dan $C^1$ dari $E^*$ ke $E$, dengan $\det J \neq 0$ di interior $E^*$:

$$\boxed{\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_{E^*} f(\mathbf{x}(u,v,w))\;\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw} $$

22.9 Strategi Memilih Sistem Koordinat

Pilihan sistem koordinat yang tepat bisa mengubah integral yang mustahil menjadi integral yang mudah. Berikut panduan praktis:

Sistem	Jacobian	Gunakan ketika...	Contoh bentuk
Kartesian	$dV = dx\,dy\,dz$	Batas-batas berupa bidang sejajar sumbu; tidak ada simetri khusus	Kotak, prisma, tetrahedron
Silinder	$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$	Simetri terhadap sumbu-$z$; batas mengandung $x^2+y^2$	Silinder, kerucut sejajar $z$, paraboloid $z = x^2+y^2$
Bola	$dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$	Simetri bola; batas mengandung $x^2+y^2+z^2$	Sfera, bola, kerucut dari origin

Kasus Sulit: Silinder vs. Bola

Beberapa masalah bisa dikerjakan dalam kedua sistem. Contoh: paraboloid $z = x^2 + y^2$ yang dipotong bidang $z = 4$. Dalam silinder: $0 \leq r \leq 2$, $r^2 \leq z \leq 4$. Dalam bola: batas $\rho$ bergantung pada $\varphi$, lebih rumit. Gunakan silinder ketika satu variabel (biasanya $z$) muncul terpisah dari $x^2+y^2$. Gunakan bola ketika ketiga variabel muncul simetris dalam $x^2+y^2+z^2$.

Contoh 22.19 — Memilih Sistem: Kerucut dalam Sfera

Volume di atas kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan di dalam sfera $x^2+y^2+z^2 = 1$.

Kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dalam bola: $\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \implies \tan\varphi = 1 \implies \varphi = \pi/4$.

Ini jelas masalah bola: $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi/4$, $0 \leq \rho \leq 1$.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\!\int_0^1 \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{1}{3}\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \frac{1}{3}\int_0^{2\pi}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)d\theta = \frac{2\pi}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}(2 - \sqrt{2}) \quad \checkmark $$

Dalam koordinat silinder, batas atas $\rho$-bola menjadi $z = \sqrt{1-r^2}$ dan batas bawah $z = r$, menghasilkan $\int_0^{2\pi}\!\int_0^{1/\sqrt{2}}\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta$ — bisa dihitung tapi lebih rumit. Koordinat bola lebih alami. ✓

22.10 Aplikasi: Volume Benda 3D

Contoh 22.20 — Volume di Bawah Paraboloid

Volume di bawah $z = 6 - x^2 - y^2$ dan di atas $z = 0$.

Batas silinder: $x^2+y^2 = 6$, yaitu $r = \sqrt{6}$. Koordinat silinder:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{6}}\!\int_0^{6-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{6}} r(6-r^2)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\left[3r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{6}}\,d\theta = \int_0^{2\pi}(18 - 9)\,d\theta = 9\cdot 2\pi = 18\pi \quad \checkmark $$

Contoh 22.21 — Volume Irisan Bola

Volume bagian sfera $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ yang berada di atas bidang $z = h$ ($0 \leq h \leq R$).

Dalam koordinat bola: $z = h \implies \rho\cos\varphi = h \implies \cos\varphi = h/\rho$. Tapi ini bergantung pada $\rho$ — batas $\varphi$ tidak konstan. Lebih baik gunakan silinder:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{R^2-h^2}}\!\int_h^{\sqrt{R^2-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta $$

$$= 2\pi\int_0^{\sqrt{R^2-h^2}} r\left(\sqrt{R^2-r^2} - h\right)dr $$

Substitusi $u = R^2 - r^2$, $du = -2r\,dr$ untuk suku pertama:

$$= 2\pi\left[\frac{(R^2-r^2)^{3/2}}{3}\cdot(-1) - \frac{hr^2}{2}\right]_0^{\sqrt{R^2-h^2}} = 2\pi\left[\frac{R^3}{3} - \frac{h^3}{3} - \frac{h(R^2-h^2)}{2}\right] $$

$$= \frac{\pi}{3}(2R^3 - 3R^2h + h^3) = \frac{\pi(R-h)^2(2R+h)}{3} \quad \checkmark $$

Untuk $h = 0$: $V = \frac{2\pi R^3}{3}$ (hemisper). Untuk $h = R$: $V = 0$. Konsisten. ✓

22.11 Aplikasi: Massa dan Pusat Massa Benda Padat

Definisi 22.5 — Kuantitas Fisika Benda Padat

Densitas volumetrik $\delta(x,y,z)$ (massa per volume). Massa total:

$$\boxed{M = \iiint_E \delta(x,y,z)\,dV} $$

Momen:

$$M_{yz} = \iiint_E x\,\delta\,dV, \qquad M_{xz} = \iiint_E y\,\delta\,dV, \qquad M_{xy} = \iiint_E z\,\delta\,dV $$

Pusat massa:

$$\boxed{\bar{x} = \frac{M_{yz}}{M}, \qquad \bar{y} = \frac{M_{xz}}{M}, \qquad \bar{z} = \frac{M_{xy}}{M}} $$

Momen inersia:

$$I_x = \iiint_E (y^2+z^2)\,\delta\,dV, \qquad I_y = \iiint_E (x^2+z^2)\,\delta\,dV, \qquad I_z = \iiint_E (x^2+y^2)\,\delta\,dV $$

$$I_0 = \iiint_E (x^2+y^2+z^2)\,\delta\,dV = I_x + I_y + I_z \quad \text{(hanya jika simetris!)}

Peringatan: $I_0 \neq I_x + I_y + I_z$ secara Umum

Relasi $I_0 = I_x + I_y + I_z$ hanya berlaku jika $I_0$ didefinisikan sebagai $\iiint(x^2+y^2+z^2)\delta\,dV$ (moment of inertia about the origin as a point, not a standard physical quantity). Dalam mekanika, yang lebih berguna adalah momen inersia terhadap sumbu, yang sudah didefinisikan sebagai $I_x$, $I_y$, $I_z$ di atas. Parallel axis theorem menghubungkan momen inersia terhadap sumbu sejajar.

Contoh 22.22 — Pusat Massa Bola Setengah

Hemisper atas $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$, $z \geq 0$ dengan densitas konstan $\delta$.

Dari simetri: $\bar{x} = \bar{y} = 0$. Tinggal hitung $\bar{z}$.

$$M = \delta \cdot \frac{2\pi a^3}{3}, \qquad M_{xy} = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^a (\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \delta\cdot\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = \delta\cdot\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta = \frac{\delta\pi a^4}{4} $$

$$\bar{z} = \frac{\delta\pi a^4/4}{\delta\cdot 2\pi a^3/3} = \frac{3a}{8} \quad \checkmark $$

Pusat massanya berada di $z = 3a/8$ dari bidang ekuator — lebih dekat ke bidang daripada ke kutub, karena lebih banyak massa di dekat ekuator. ✓

Contoh 22.23 — Momen Inersia Silinder Padat

Silinder padat $x^2+y^2 \leq R^2$, $0 \leq z \leq h$, densitas konstan $\delta$. $I_z$ (terhadap sumbu-$z$):

$$I_z = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h r^2 \cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^R hr^3\,dr\,d\theta = \delta h\cdot\frac{R^4}{4}\cdot 2\pi = \frac{\delta\pi h R^4}{2} $$

Karena $M = \delta\pi R^2 h$:

$$\boxed{I_z = \frac{1}{2}MR^2} \quad \checkmark $$

Rumus momen inersia silinder terhadap sumbunya yang terkenal. ✓

Contoh 22.24 — Momen Inersia Bola Padat

Bola padat $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$, densitas konstan $\delta$. $I_z$:

$$I_z = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R (\rho\sin\varphi)^2 \cdot \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \rho^4\sin^3\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Gunakan $\sin^3\varphi = \sin\varphi(1-\cos^2\varphi)$ dan substitusi $u = \cos\varphi$:

$$\int_0^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi = \int_{-1}^{1}(1-u^2)\,du = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$

$$I_z = \delta\cdot\frac{R^5}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{8\pi\delta R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2 \quad \checkmark $$

22.12 Integral Tiga Tak Wajar

Contoh 22.25 — Integral Gaussian 3D

$\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-(x^2+y^2+z^2)}\,dV$. Koordinat bola, $R \to \infty$:

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-\rho^2}\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Integrasi per bagian untuk $\int_0^{\infty}\rho^2 e^{-\rho^2}\,d\rho$: biarkan $u = \rho$, $dv = \rho e^{-\rho^2}\,d\rho$:

$$\int_0^{\infty}\rho^2 e^{-\rho^2}\,d\rho = \left[-\frac{\rho}{2}e^{-\rho^2}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{2}\int_0^{\infty}e^{-\rho^2}\,d\rho = 0 + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} $$

$$= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \pi^{3/2} $$

Verifikasi: $\pi^{3/2} = (\sqrt{\pi})^3 = \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right)^3$. Konsisten. ✓

Contoh 22.26 — Potensial Gravitasi Bola

Potensial gravitasi di titik $(0,0,a)$ akibat bola seragam jari-jari $R$ dengan massa $M$:

$$\Phi(a) = G\delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \frac{\rho^2\sin\varphi}{\sqrt{\rho^2 + a^2 - 2a\rho\cos\varphi}}\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Integrasikan terhadap $\varphi$ terlebih dahulu (substitusi $u = \rho^2+a^2-2a\rho\cos\varphi$):

$$\int_0^{\pi}\frac{\sin\varphi\,d\varphi}{\sqrt{\rho^2+a^2-2a\rho\cos\varphi}} = \frac{1}{a\rho}\left[\sqrt{\rho^2+a^2-2a\rho\cos\varphi}\,\right]_0^{\pi} = \frac{|\rho+a| - |\rho-a|}{a\rho} $$

Untuk $a > R$ (titik di luar sfera): $|\rho+a| = \rho+a$, $|\rho-a| = a-\rho$ (karena $\rho \leq R < a$), sehingga:

$$= \frac{2\rho}{a\rho} = \frac{2}{a} $$

$$\Phi = G\delta\cdot 2\pi\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{R^3}{3} = \frac{GM}{a} \quad \checkmark $$

Ini adalah teorema shell Newton: bola seragam bertindak seperti partikel titik di pusatnya untuk titik di luar sfera. Hasil ikonik yang dibuktikan melalui integral tiga!

22.13 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 22

Kuantitas	Rumus
Fubini 3D (kotak)	$\int_a^b\!\int_c^d\!\int_e^f f\,dz\,dy\,dx$
Daerah Tipe Z	$\iint_D\!\int_{g_1}^{g_2} f\,dz\,dA$
Koordinat silinder	$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$
Jacobian silinder	$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
Koordinat bola	$x=\rho\sin\varphi\cos\theta$, $y=\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z=\rho\cos\varphi$
Jacobian bola	$dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$
Massa benda padat	$M = \iiint_E \delta\,dV$
Pusat massa	$\bar{x} = M_{yz}/M$, $\bar{y} = M_{xz}/M$, $\bar{z} = M_{xy}/M$
$I_z$ (sumbu-$z$)	$\iiint_E (x^2+y^2)\,\delta\,dV$
$I_z$ silinder padat	$\frac{1}{2}MR^2$
$I_z$ bola padat	$\frac{2}{5}MR^2$
$\bar{z}$ hemisper	$3a/8$

Jembatan ke Bab 23

Bab 21–22 mempelajari integral atas daerah datar (2D) dan padat (3D) — selalu berupa integral "di dalam" suatu daerah. Bab 23 mengubah perspektif: alih-alih mengintegralkan di dalam daerah, kita mengintegralkan sepanjang kurva (integral garis). Ini memunculkan dua jenis: integral garis skalar ($\int f\,ds$, untuk massa kawat) dan integral garis vektor ($\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, untuk kerja gaya). Yang terakhir adalah pintu gerbang menuju Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Divergensi — tiga "teorema besar" yang menghubungkan integral di perbatasan dengan integral di interior.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 22

Hitung $\iiint_E xyz\,dV$ dengan $E$ dibatasi $x=0$, $y=0$, $z=0$, dan $x+y+z=1$.
Hitung $\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi oleh silinder $x^2+y^2 = 4$ dan bidang $z=0$, $z=y+3$.
Tentukan volume daerah $E$ dibatasi paraboloid $z = x^2+y^2$ dan silinder $x^2+y^2 = 2y$. Petunjuk: selesaikan $x^2+y^2=2y$ dalam polar.
Hitung $\iiint_E (x^2+y^2)\,dV$ dengan $E$ = bola $x^2+y^2+z^2 \leq 4$. Gunakan koordinat bola.
Hitung $\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan sfera $x^2+y^2+z^2 = 2z$. Petunjuk: tulis sfera sebagai $\rho = 2\cos\varphi$ dalam koordinat bola.
Bola padat $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ memiliki densitas $\delta(x,y,z) = 1 + z^2$. Hitung massanya.
Hitung $I_x$ (momen inersia terhadap sumbu-$x$) untuk silinder padat $x^2+y^2 \leq R^2$, $0 \leq z \leq h$ dengan densitas konstan. Jawaban akhir harus dalam bentuk $MR^2$ dan $Mh^2$.
Tunjukkan bahwa volume ellipsoid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1$ adalah $\frac{4}{3}\pi abc$. Petunjuk: substitusi $u=x/a$, $v=y/b$, $w=z/c$, lalu hitung Jacobian.
Hitung $\iiint_E e^{-x^2-y^2-z^2}\,dV$ dengan $E$ = kuadran pertama oktan $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ dari sfera satuan.
Tantangan: Sebuah benda padat $E$ dibatasi oleh sfera $x^2+y^2+z^2 = 2az$ (sfera berjari-jari $a$ berpusat di $(0,0,a)$) dan kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$, dengan $z \geq 0$. Tentukan volume $E$ dan massa jika densitas $\delta = k\rho$ (sebanding jarak dari origin). Petunjuk: ubah sfera ke bentuk $\rho = 2a\cos\varphi$.

Sebelumnya

Bab 21: Integral Ganda

Selanjutnya

Bab 23: Integral Garis & Medan Vektor