Deret Taylor dan Maclaurin
Bab ini mencapai puncak kalkulus single-variable: representasi fungsi sebagai deret pangkat. Dimulai dari pertanyaan fundamental mengapa aproksimasi linear gagal jauh dari titik ekspansi, kita membangun polinomial Taylor yang menyamai fungsi "sebaik mungkin" dengan menambahkan suku-suku koreksi berorde tinggi. Deret Taylor tak hingga muncul sebagai limit natural ketika orde polinomial dinaikkan, menghasilkan ekspansi yang menjadi alat utama untuk linearisasi, aproksimasi sudut kecil, evaluasi limit sulit, dan solusi deret untuk persamaan diferensial.
13.1 Motivasi: Mengapa Kita Butuh Lebih dari Garis Singgung?
Di Bab 3, kita mendefinisikan turunan sebagai kemiringan garis singgung dan memperkenalkan aproksimasi linear (orde 1):
Aproksimasi ini akurat ketika $x$ sangat dekat dengan $a$, karena galatnya berorde $O\!\left((x-a)^2\right)$. Namun, semakin jauh $x$ dari $a$, semakin buruk hasilnya — garis singgung "terbang menjauh" dari kurva.
Pertanyaan alami muncul: bagaimana jika kita menambahkan suku koreksi berpangkat lebih tinggi? Jawabannya adalah polinomial Taylor — sebuah polinomial yang "meniru" fungsi tidak hanya pada nilai dan kemiringan, tetapi juga pada kelengkungan, laju perubahan kelengkungan, dan seterusnya.
13.2 Polinomial Taylor
13.2.1 Ide Konstruktif: Menyamakan Turunan Berturut-turut
Kita ingin membangun sebuah polinomial $T_n(x)$ sehingga semua turunannya sampai orde $n$ menyamai turunan $f$ di titik $a$:
Misalkan $T_n(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n$. Dengan menurunkan berulang kali dan mensubstitusi $x = a$, kita peroleh:
- $T_n(a) = c_0 \implies c_0 = f(a)$
- $T_n'(a) = c_1 \implies c_1 = f'(a)$
- $T_n''(a) = 2c_2 \implies c_2 = \dfrac{f''(a)}{2!}$
- $T_n'''(a) = 6c_3 \implies c_3 = \dfrac{f'''(a)}{3!}$
- Secara umum: $c_k = \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$
Jika $f$ terdiferensiasi $n$ kali di $a$, maka polinomial Taylor orde-$n$ untuk $f$ di $a$ adalah:
Faktorial $k!$ muncul secara alami dari aturan pangkat: saat kita menurunkan $(x-a)^k$ sebanyak $k$ kali, koefisiennya menjadi $k(k-1)(k-2)\cdots 1 = k!$. Jadi $k!$ di penyebut menormalkan koefisien agar $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ persis.
Substitusi $x = a$: semua suku $(x-a)^k$ untuk $k \geq 1$ lenyap, sehingga $T_n(a) = f(a)$. Polinomial Taylor selalu melewati titik $(a, f(a))$ pada grafik fungsi.
$f(x) = e^x$, $a = 0$. Karena $f^{(k)}(x) = e^x$ untuk semua $k$, maka $f^{(k)}(0) = 1$:
| $k$ | $f^{(k)}(0)$ | $f^{(k)}(0)/k!$ | Suku dalam $T_5$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $e^0 = 1$ | $1/0! = 1$ | $1$ |
| $1$ | $e^0 = 1$ | $1/1! = 1$ | $x$ |
| $2$ | $e^0 = 1$ | $1/2! = 1/2$ | $\dfrac{x^2}{2}$ |
| $3$ | $e^0 = 1$ | $1/3! = 1/6$ | $\dfrac{x^3}{6}$ |
| $4$ | $e^0 = 1$ | $1/4! = 1/24$ | $\dfrac{x^4}{24}$ |
| $5$ | $e^0 = 1$ | $1/5! = 1/120$ | $\dfrac{x^5}{120}$ |
Evaluasi di $x = 1$: $T_5(1) = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 = 2.7167$, dibandingkan $e^1 \approx 2.7183$. Galat hanya $\approx 0.0016$.
$f(x) = \ln x$, $a = 1$. Hitung $T_4(x)$:
Turunan-turunan: $f'(x) = x^{-1}$, $f''(x) = -x^{-2}$, $f'''(x) = 2x^{-3}$, $f^{(4)}(x) = -6x^{-4}$.
| $k$ | $f^{(k)}(x)$ | $f^{(k)}(1)$ | $f^{(k)}(1)/k!$ | Suku |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $\ln x$ | $\ln 1 = 0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $x^{-1}$ | $1$ | $1$ | $(x-1)$ |
| $2$ | $-x^{-2}$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\dfrac{(x-1)^2}{2}$ |
| $3$ | $2x^{-3}$ | $2$ | $\frac{1}{3}$ | $\dfrac{(x-1)^3}{3}$ |
| $4$ | $-6x^{-4}$ | $-6$ | $-\frac{1}{4}$ | $-\dfrac{(x-1)^4}{4}$ |
Perhatikan: karena $f(1) = 0$, suku konstanta lenyap dan polinomial dimulai dari orde 1. Polinomial ini berguna untuk mengaproksimasi $\ln x$ di sekitar $x = 1$.
Turunan $\sin x$ bersiklus: $\sin x,\; \cos x,\; -\sin x,\; -\cos x,\; \sin x,\; \ldots$
Evaluasi di $x = 0$: $0,\; 1,\; 0,\; -1,\; 0,\; 1,\; 0,\; \ldots$
Karena setiap turunan genap bernilai nol di $x = 0$, hanya suku ganjil yang selamat:
Sifat ini penting: $\sin x$ adalah fungsi ganjil, sehingga deret Maclaurin-nya hanya mengandung suku-suku ganjil. Demikian pula $\cos x$ (fungsi genap) hanya mengandung suku genap.
13.3 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Deret Taylor dari $f$ di $a$ adalah deret pangkat tak hingga dengan koefisien Taylor:
Deret Maclaurin adalah kasus khusus deret Taylor dengan pusat $a = 0$:
Bahkan jika deret Taylor konvergen di suatu titik $x$, tidak selalu jumlahnya sama dengan $f(x)$. Fungsi klasik yang mendemonstrasikan fenomena ini adalah:
Fungsi ini terdiferensiasi tak terhingga kali di $x = 0$ dengan $f^{(n)}(0) = 0$ untuk semua $n$, sehingga deret Maclaurin-nya adalah $0 + 0x + 0x^2 + \cdots \equiv 0$. Deret ini konvergen (ke nol) untuk semua $x$, tetapi tidak sama dengan $f(x)$ untuk $x \neq 0$. Fungsi semacam ini dikatakan bukan analitik di $x = 0$.
Jika $\sum c_n(x-a)^n = \sum d_n(x-a)^n$ untuk semua $x$ dalam suatu interval terbuka yang mengandung $a$, maka $c_n = d_n$ untuk semua $n$. Konsekuensinya: jika deret Taylor suatu fungsi konvergen ke fungsi tersebut, maka deret itu satu-satunya representasi deret pangkat fungsi di titik tersebut.
Secara teknis, deret Taylor membutuhkan uji konvergensi deret (Bab 11–12) sebagai prasyarat. Namun secara konseptual, deret Taylor adalah perpanjangan alami dari turunan dan aproksimasi linear — ia menjawab pertanyaan "bagaimana jika kita menambahkan suku koreksi tak hingga?" yang muncul secara organik saat memperbaiki aproksimasi linear.
13.4 Tabel Deret Maclaurin Standar
Tabel berikut wajib dihafalkan oleh setiap mahasiswa teknik — ini adalah "furniture dasar" yang muncul di hampir setiap topik lanjutan.
| Fungsi $f(x)$ | Deret Maclaurin | Interval Konvergensi |
|---|---|---|
| $e^x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sin x$ | $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\cos x$ | $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\ln(1+x)$ | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ | $(-1, 1]$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}\,x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}\,x^2 + \cdots$ | $(-1, 1)$ (endpoint tergantung $\alpha$) |
| $\arctan x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ | $[-1, 1]$ |
| $\arcsin x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2\,(2n+1)}\,x^{2n+1} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots$ | $[-1, 1]$ |
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $(-1, 1)$ |
| $\sinh x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\cosh x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
Bandingkan baris $\sin x$ dengan $\sinh x$, dan $\cos x$ dengan $\cosh x$. Satu-satunya perbedaan adalah hilangnya faktor $(-1)^k$. Ini mencerminkan hubungan $\sinh x = -i\sin(ix)$ dan $\cosh x = \cos(ix)$. Menghafal satu pasangan secara otomatis memberikan pasangan lainnya.
Deret Maclaurin ($a = 0$) tidak bisa menangkap fungsi yang tidak analitik di $x = 0$. Contoh: $f(x) = \ln x$ tidak terdefinisi di $x = 0$, sehingga deret Maclaurin-nya tidak ada — kita harus gunakan pusat lain (misalnya $a = 1$, seperti di Contoh 13.2). Demikian pula $f(x) = 1/x$ tidak terdefinisi di $x = 0$.
13.5 Manipulasi Deret: Substitusi, Diferensiasi, dan Integrasi
Sebagian besar deret dalam Tabel 13.4 tidak perlu diturunkan dari definisi — mereka bisa diperoleh dari deret yang sudah dikenal melalui tiga operasi dasar.
13.5.1 Substitusi Variabel
Jika $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\,x^n$ untuk $|x| < R$, maka untuk sembarang ekspresi $u(x)$ dengan $|u(x)| < R$:
Dari $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ (konvergen untuk semua $x$), dapatkan:
- $\displaystyle e^{3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}\,x^n$ (substitusi $x \mapsto 3x$)
- $\displaystyle e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^n$ (substitusi $x \mapsto -x$)
- $\displaystyle e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}$ (substitusi $x \mapsto -x^2$, konvergen untuk semua $x$ karena $R = \infty$)
- Dari $\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($R = 1$): $\dfrac{1}{1+x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ (karena $|x^2| < 1 \iff |x| < 1$)
13.5.2 Diferensiasi Term-per-Term
Jika $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ dengan jari-jari konvergensi $R > 0$, maka untuk $|x - a| < R$:
Derivatif memiliki jari-jari konvergensi yang sama $R$.
Dari $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($R = 1$):
Jadi $\dfrac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots$ untuk $|x| < 1$. ✓
Dari $\displaystyle \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}$:
Ini memberikan verifikasi independen dari deret Maclaurin $\cos x$. ✓
13.5.3 Integrasi Term-per-Term
Jika $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ dengan jari-jari konvergensi $R > 0$, maka untuk $|x - a| < R$:
Dari $\displaystyle \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n$ untuk $|t| < 1$:
Sisi kiri: $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt = -\ln(1-t)\Big|_0^x = -\ln(1-x)$. Sehingga:
Substitusi $x \mapsto -x$: $\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ ✓
Dari Contoh 13.4, kita punya $\dfrac{1}{1+x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ untuk $|x| < 1$:
Ini menghasilkan $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ untuk $|x| < 1$. (Pada $x = \pm 1$, deret ini juga konvergen oleh uji Leibniz.) ✓
Hitung $\displaystyle\int_0^{0.5} e^{-x^2}\,dx$ (fungsi error, tidak memiliki antiturunan elementer):
Dari $e^{-x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}$ (konvergen untuk semua $x$):
Menghitung suku per suku:
| $n$ | Suku | Nilai Desimal | Jumlah Parsial |
|---|---|---|---|
| $0$ | $\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{1}{2}$ | $+0.500000$ | $0.500000$ |
| $1$ | $-\dfrac{1}{1\cdot 3}\cdot\dfrac{1}{8}$ | $-0.041667$ | $0.458333$ |
| $2$ | $\dfrac{1}{2\cdot 5}\cdot\dfrac{1}{32}$ | $+0.003125$ | $0.461458$ |
| $3$ | $-\dfrac{1}{6\cdot 7}\cdot\dfrac{1}{128}$ | $-0.000186$ | $0.461273$ |
| $4$ | $\dfrac{1}{24\cdot 9}\cdot\dfrac{1}{512}$ | $+0.000009$ | $\mathbf{0.461282}$ |
Hanya 5 suku sudah memberikan akurasi hampir 6 digit signifikan. Nilai sebenarnya (dari tabel fungsi error): $\text{erf}(0.5)/2 \approx 0.461281$. Galat: $\approx 10^{-6}$. Ini mendemonstrasikan kekuatan deret Taylor untuk menghitung integral yang tidak bisa diselesaikan secara analitik.
13.5.4 Perkalian Deret (Cauchy Product)
Jika $\displaystyle\sum a_n x^n$ dan $\displaystyle\sum b_n x^n$ keduanya konvergen untuk $|x| < R$, maka:
Dari $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$ dan $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots$:
13.6 Deret Taylor untuk Fungsi Komposit
Substitusi dalam deret pangkat (Bagian 13.5.1) sangat powerful untuk fungsi komposit. Prinsipnya: jika kita mengetahui deret $f(u) = \sum c_n u^n$ dan $u = g(x)$, maka cukup substitusikan — asalkan $|g(x)|$ berada dalam jari-jari konvergensi deret $f$.
Kita tahu $e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$ (konvergen untuk semua $u$). Substitusikan $u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$:
Mengumpulkan suku sampai orde 4:
- Orde 0: $1$
- Orde 1: $x$
- Orde 2: $\dfrac{1}{2}\,x^2$
- Orde 3: $-\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{6}\,x^3 = 0$
- Orde 4: $-\dfrac{x^4}{6} + \dfrac{x^4}{24} = -\dfrac{x^4}{8}$
Deret untuk $\ln(1 + x^2)$
Dari $\ln(1+u) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,u^n$ untuk $|u| < 1$, substitusi $u = x^2$:
Dari $(1+u)^\alpha = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}\,u^n$, ambil $\alpha = \tfrac{1}{2}$, $u = x$:
Aplikasi: $\sqrt{1.04} = \sqrt{1 + 0.04} \approx 1 + 0.02 - 0.0002 = 1.0198$ (nilai sebenarnya: $1.01980\ldots$). ✓
13.7 Aplikasi Deret Taylor
13.7.1 Evaluasi Limit Sulit
Deret Taylor sering menjadi cara paling efisien untuk mengevaluasi limit bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, terutama ketika Aturan L'Hôpital memerlukan diferensiasi berulang yang melelahkan.
Hitung $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$:
Dengan Aturan L'Hôpital, limit ini memerlukan tiga kali diferensiasi. Dengan deret Taylor, jawabannya langsung terbaca dari koefisien $x^3$.
Hitung $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$:
13.7.2 Aproksimasi Sudut Kecil
Dalam mekanika dan fisika, getaran sudut kecil sangat sering muncul. Dari deret Maclaurin:
Aproksimasi orde pertama (sudut sangat kecil):
Galat masing-masing adalah $O(\theta^3)$, $O(\theta^2)$, dan $O(\theta^3)$.
Hitung $\sin(5^\circ)$ menggunakan aproksimasi sudut kecil ($\theta = 5\pi/180 \approx 0.08727$ rad):
| Aproksimasi | Nilai | Galat Absolut | Galat Relatif |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta \approx \theta$ (orde 1) | $0.08727$ | $1.1 \times 10^{-4}$ | $0.13\%$ |
| $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ (orde 3) | $0.08716$ | $3.2 \times 10^{-8}$ | $3.7 \times 10^{-5}\%$ |
| Nilai sebenarnya | $0.08716$ | — | — |
Menambahkan hanya satu suku koreksi mengurangi galat dari $10^{-4}$ menjadi $10^{-8}$ — peningkatan akurasi empat orde magnitudo.
13.7.3 Ekspansi Binomial dalam Teknik
Ekspansi $(1+x)^\alpha$ sangat sering digunakan untuk menyederhanakan ekspresi fisika ketika suatu kuantitas kecil dibandingkan yang lain.
(a) Energi kinetik relativistik. $E = mc^2\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right)$. Untuk $v \ll c$, letakkan $\beta = v/c \ll 1$:
Suku pertama adalah energi kinetik klasik $\frac{1}{2}mv^2$; suku kedua adalah koreksi relativistik orde pertama.
(b) Panjang tali yang direntangkan. Sebuah tali panjangnya $L$ direntangkan sehingga bertambah $\Delta L \ll L$. Jika tegangan mengikuti hukum Hooker dengan konstanta $k$, maka energi potensial:
Jika kita menulis $\varepsilon = \Delta L / L$ (regangan), maka untuk $\varepsilon \ll 1$ aproksimasi linear dalam $\varepsilon^2$ sudah cukup.
13.7.4 Orde Tinggi vs. Orde Rendah: Pertimbangan Praktis
| Aspek | Orde Tinggi (Banyak Suku) | Orde Rendah (Sedikit Suku) |
|---|---|---|
| Akurasi | Tinggi, galat kecil | Rendah, galat besar |
| Kompleksitas | Rumus panjang dan rumit | Rumus pendek dan sederhana |
| Kecepatan evaluasi | Perlu banyak operasi | Cepat, efisien |
| Domain validitas | $R$ mungkin terbatas, tapi akurat dalam interval yang lebih luas | Hanya akurat sangat dekat $a$ |
| Analisis galat | Rumus sisa eksak tersedia (Bab 14) | Perlu estimasi tambahan |
| Penggunaan tipikal | Komputasi numerik presisi tinggi | Analisis kualitatif, simplifikasi model |
13.8 Catatan Teknis: Fungsi Analitik
Fungsi $f$ dikatakan analitik di titik $a$ jika deret Taylor-nya di $a$ konvergen ke $f(x)$ di suatu interval terbuka yang mengandung $a$. Fungsi dikatakan analitik pada suatu himpunan jika analitik di setiap titik himpunan tersebut.
Fungsi-fungsi elementer yang kita kenal — polinomial, eksponensial, logaritma, trigonometri, hiperbolik, dan sebarang kombinasi komposit, penjumlahan, perkalian, serta pembagian (kecuali di titik singularitas) — semuanya analitik pada domain mereka. Inilah mengapa deret Taylor begitu powerful di kalkulus terapan.
Fungsi $f(x) = e^{-1/x^2}$ (untuk $x \neq 0$, dengan $f(0) = 0$) memiliki deret Maclaurin yang identik nol, sehingga tidak merepresentasikan fungsi tersebut di manapun selain $x = 0$. Fungsi ini halus tak terhingga ($C^\infty$) tetapi bukan analitik di titik asal. Geometris, fungsi ini "datar terlalu cepat" di $x = 0$ — semua turunannya nol di sana, sehingga deret Taylor tidak bisa "melihat" perilaku fungsi untuk $x \neq 0$.
- Hitung $T_4(x)$ untuk $f(x) = e^{-x}$ di sekitar $a = 0$. Evaluasikan $T_4(0.5)$ dan $T_4(2)$, bandingkan dengan nilai sebenarnya $e^{-0.5}$ dan $e^{-2}$. Komentari perbedaan akurasi.
- Hitung $T_7(x)$ untuk $f(x) = \cos x$ di sekitar $a = 0$. Evaluasikan $T_7(0.5)$ dan $T_7(\pi/4)$, bandingkan dengan nilai sebenarnya.
- Turunkan deret Maclaurin untuk $\cos x$ dengan menurunkan deret Maclaurin $\sin x$ term-per-term. Verifikasi bahwa hasilnya cocok dengan Tabel 13.4.
- Turunkan deret Maclaurin untuk $\arctan x$ dengan mengintegralkan deret untuk $\dfrac{1}{1+x^2}$ term-per-term. Tentukan juga nilai $\arctan(0.5)$ dengan akurasi 4 desimal menggunakan deret tersebut.
- Gunakan ekspansi binomial untuk mengaproksimasi $\sqrt[3]{28}$. Petunjuk: tulis $\sqrt[3]{28} = \sqrt[3]{27 + 1} = 3\sqrt[3]{1 + 1/27}$, lalu gunakan $(1+x)^{1/3}$ dengan $x = 1/27$.
- Gunakan deret Taylor untuk mengevaluasi $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3}$. Berapa banyak suku yang diperlukan dari masing-masing deret?
- Hitung $\cos(1^\circ)$ dan $\cos(10^\circ)$ menggunakan deret Maclaurin. Berapa suku yang diperlukan untuk masing-masing agar galat relatif kurang dari $10^{-6}$?
- Dalam pemodelan getaran, pendulum sederhana memiliki persamaan $\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$. Dengan aproksimasi sudut kecil $\sin\theta \approx \theta$, persamaan menjadi linear: $\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$. Gunakan suku koreksi $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ untuk mendapatkan persamaan nonlinear orde tiga, dan diskusikan bagaimana ini mempengaruhi periode osilasi untuk amplitudo $\theta_0 = 30^\circ$.
- Hitung $\displaystyle\int_0^{1} \frac{\sin x}{x}\,dx$ menggunakan deret Taylor hingga galat kurang dari $10^{-4}$. (Catatan: $\dfrac{\sin x}{x}$ tidak memiliki antiturunan elementer, tetapi deret Taylor-nya mudah diintegralkan.)
- Tunjukkan bahwa $\dfrac{1}{(1-x)^3} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^n$ untuk $|x| < 1$ dengan menurunkan deret geometri dua kali.