Aplikasi Turunan Parsial
Bab 19 memberi kita tiga alat: turunan parsial, diferensial total, dan vektor gradien $\nabla f$. Bab ini menggunakan ketiganya untuk memecahkan masalah-masalah nyata. Pertama, kita gunakan gradien untuk menentukan bidang tangen dan garis normal pada permukaan — ini adalah generalisasi langsung dari garis singgung pada kurva. Kedua, kita kembangkan teori optimasi multivariabel: mencari titik kritis, mengklasifikasikannya (maks, min, pelana) melalui matriks Hessian, dan menemukan ekstrem mutlak pada himpunan tertutup terbatas. Ketiga, kita pelajari metode pengali Lagrange — teknik elegan untuk optimasi berkendala yang menetapkan kesetaraan dua gradien: $\nabla f = \lambda\nabla g$. Metode ini sangat penting dalam teknik: dari meminimalkan biaya hingga menemukan tegangan kritis struktur.
20.1 Bidang Tangen pada Permukaan $z = f(x,y)$
Dalam kalkulus satu variabel, garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(a, f(a))$ memiliki persamaan $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. Untuk permukaan $z = f(x,y)$, generalisasi langsungnya adalah bidang tangen.
Persamaan bidang tangen permukaan $z = f(x,y)$ di titik $(x_0, y_0, z_0)$ dengan $z_0 = f(x_0, y_0)$:
Dalam bentuk standar: $f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0) - (z - z_0) = 0$.
Irisan permukaan dengan bidang $y = y_0$ menghasilkan kurva $z = f(x, y_0)$ dengan garis singgung $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0)$ pada bidang $y = y_0$. Irisan dengan $x = x_0$ menghasilkan garis singgung $z - z_0 = f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$ pada bidang $x = x_0$. Bidang tangen adalah satu-satunya bidang yang memuat kedua garis singgung ini, sehingga persamaannya adalah gabungan linier dari keduanya. $\quad\blacksquare$
$f(x,y) = x^2 + y^2$ di titik $(1, 2, 5)$:
Perhatikan: bidang tangen paraboloid selalu datar (koefisien $x$ dan $y$ konstan), sedangkan permukaan melengkung. ✓
20.2 Garis Normal pada Permukaan
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang tangen dan melalui titik singgung. Vektor arahnya adalah vektor normal bidang tangen.
Vektor normal bidang tangen: $\mathbf{n} = \langle f_x(x_0,y_0),\; f_y(x_0,y_0),\; -1 \rangle$.
Persamaan garis normal di $(x_0, y_0, z_0)$:
Dalam bentuk parametrik: $\mathbf{r}(t) = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + t\,\langle f_x, f_y, -1 \rangle$.
Untuk permukaan eksplisit $z = f(x,y)$, vektor normal bisa ditulis $\mathbf{n} = \langle -f_x, -f_y, 1 \rangle$ (atau negatifnya). Perhatikan bahwa ini bukan gradien $f$ (yang berada di $\mathbb{R}^2$), melainkan berkaitan dengan gradien fungsi level $F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$ — lihat bagian berikutnya.
Lanjutan Contoh 20.1: $z = x^2 + y^2$ di $(1, 2, 5)$, vektor normal $\mathbf{n} = \langle 2, 4, -1 \rangle$:
Atau parametrik: $x = 1 + 2t$, $y = 2 + 4t$, $z = 5 - t$. Garis ini tegak lurus terhadap bidang tangen $z = 2x + 4y - 5$. ✓
20.3 Permukaan Implisit $F(x,y,z) = 0$
Banyak permukaan ditulis secara implisit: sfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, ellipsoid, silinder, dll. Untuk permukaan ini, kita tidak bisa langsung menulis $z = f(x,y)$.
Jika permukaan didefinisikan oleh $F(x,y,z) = 0$ dan $\nabla F \neq \mathbf{0}$ di $(x_0, y_0, z_0)$, maka:
Vektor normal:
Bidang tangen:
Garis normal:
Permukaan $F(x,y,z) = 0$ adalah permukaan level dari fungsi tiga variabel $F$. Dari Teorema 19.7 (Bab 19), kita tahu bahwa $\nabla F$ tegak lurus terhadap permukaan level di setiap titik. Oleh karena itu $\nabla F$ adalah vektor normal bidang tangen. $\quad\blacksquare$
Sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ di titik $(1, 2, 3)$. Biarkan $F = x^2 + y^2 + z^2 - 14$:
Perhatikan: vektor normal $\langle 2, 4, 6 \rangle$ searah dengan vektor posisi $\langle 1, 2, 3 \rangle$ — sesuai harapan untuk sfera (normal di setiap titik searah dengan jari-jari). ✓
Untuk $z = f(x,y)$, tulis $F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$. Maka $\nabla F = \langle f_x, f_y, -1 \rangle$, dan persamaan bidang tangen menjadi:
Ini persis sama dengan rumus Definisi 20.1. Rumus implisit lebih umum dan mencakup kasus eksplisit. ✓
20.4 Aproksimasi Linear
Bidang tangen bukan hanya objek geometris — ia memberikan aproksimasi linear terbaik fungsi di sekitar titik singgung. Ini adalah generalisasi langsung dari linearisasi $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$.
Fungsi linearisasi $f$ di $(x_0, y_0)$:
Permukaan $z = L(x,y)$ adalah bidang tangen. Aproksimasi: $f(x,y) \approx L(x,y)$ untuk $(x,y)$ dekat $(x_0,y_0)$.
Fungsi $f$ dikatakan differensiable di $(x_0,y_0)$ jika error $f(x,y) - L(x,y)$ mendekati nol lebih cepat dari $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$. Syarat cukup: semua turunan parsial orde pertama kontinu di sekitar $(x_0,y_0)$ (fungsi $C^1$). Hampir semua fungsi yang kita temui dalam teknik memenuhi syarat ini.
Aproksimasi $f(x,y) = \sqrt{20 - x^2 - 7y^2}$ di dekat $(2, 1)$:
Contoh penggunaan: $f(2.1, 0.95) \approx 3 - \frac{2}{3}(0.1) - \frac{7}{3}(-0.05) = 3 - 0.0667 + 0.1167 = 3.050$. Nilai sebenarnya: $\sqrt{20 - 4.41 - 6.3175} = \sqrt{9.2725} \approx 3.045$. Error $\approx 0.005$. ✓
20.5 Titik Kritis Fungsi Multivariabel
Dalam kalkulus satu variabel, titik kritis adalah titik dengan $f'(x) = 0$ atau $f'$ tidak ada. Untuk fungsi multivariabel, konsep ini diperluas menggunakan gradien.
Titik $(a, b)$ dalam domain $f$ adalah titik kritis jika:
atau jika salah satu turunan parsial tidak terdefinisi di $(a,b)$.
Di titik kritis, bidang tangen horizontal (sejajar bidang $xy$), karena $z - z_0 = 0 \cdot (x-x_0) + 0 \cdot (y-y_0) = z_0$. Ini analog dengan garis singgung horizontal ($f'(a) = 0$) pada fungsi satu variabel. Namun, berbeda dari satu variabel, titik kritis multivariabel bisa berupa titik pelana — bukan maksimum maupun minimum.
$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$:
Substitusi: $y = (y^2)^2 = y^4 \implies y^4 - y = 0 \implies y(y^3 - 1) = 0$.
$y = 0 \implies x = 0$: titik $(0, 0)$.
$y = 1 \implies x = 1$: titik $(1, 1)$.
Dua titik kritis: $(0, 0)$ dan $(1, 1)$. Tapi mana yang maks, mana yang min, dan mana yang pelana? Ini memerlukan uji turunan kedua (bagian 20.6). ✓
20.6 Uji Turunan Kedua: Matriks Hessian
Untuk mengklasifikasikan titik kritis, kita gunakan matriks Hessian — matriks simetris $2 \times 2$ yang mengandung semua turunan parsial orde dua.
Karena $f_{xy} = f_{yx}$ (Teorema Clairaut), Hessian selalu simetris.
Determinan Hessian: $D = \det H = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2$
Biarkan $(a,b)$ titik kritis dengan $f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0$, dan semua turunan parsial orde dua kontinu di sekitar $(a,b)$. Definisikan $D = f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2$. Maka:
Aproksimasi orde dua $f$ di sekitar titik kritis (dengan $f_x = f_y = 0$):
Bentuk kuadrat $Q(h,k) = f_{xx}\,h^2 + 2f_{xy}\,hk + f_{yy}\,k^2$ menentukan sifat titik kritis. $Q$ positif definit ($Q > 0$ untuk semua $(h,k) \neq (0,0)$) jika dan hanya jika $D > 0$ dan $f_{xx} > 0$ → minimum. $Q$ negatif definit jika $D > 0$ dan $f_{xx} < 0$ → maksimum. $Q$ indefinit (berubah tanda) jika $D < 0$ → titik pelana. $\quad\blacksquare$
Ketika $D = 0$, bentuk kuadrat $Q$ adalah semidefinit (bukan definit) dan uji turunan kedua tidak bisa mengklasifikasikan titik kritis. Contoh: $f(x,y) = x^4 + y^4$ memiliki minimum di $(0,0)$ tapi $D = 0$; $f(x,y) = x^4 - y^4$ memiliki titik pelana di $(0,0)$ tapi juga $D = 0$. Pada kasus ini, gunakan analisis langsung atau metode lain (misalnya uji nilai di sekitar titik).
Lanjutan Contoh 20.6: $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
Turunan orde dua: $f_{xx} = 6x$, $f_{yy} = 6y$, $f_{xy} = -3$.
Di $(0, 0)$: $D = (0)(0) - (-3)^2 = -9 < 0 \implies$ titik pelana.
Di $(1, 1)$: $D = (6)(6) - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0$ dan $f_{xx} = 6 > 0 \implies$ minimum lokal, dengan $f(1,1) = -1$. ✓
$f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy$:
Substitusi: $x = x^9 \implies x(x^8 - 1) = 0 \implies x = 0$ atau $x = \pm 1$.
Titik kritis: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$.
$f_{xx} = 12x^2$, $f_{yy} = 12y^2$, $f_{xy} = -4$.
$(0,0)$: $D = 0 - 16 = -16 < 0 \implies$ titik pelana.
$(1,1)$: $D = 144 - 16 = 128 > 0$, $f_{xx} = 12 > 0 \implies$ minimum lokal, $f = -2$.
$(-1,-1)$: $D = 144 - 16 = 128 > 0$, $f_{xx} = 12 > 0 \implies$ minimum lokal, $f = -2$. ✓
20.7 Ekstrem Mutlak pada Himpunan Tertutup Terbatas
Dalam kalkulus satu variabel, Teorema Nilai Ekstrem menyatakan bahwa fungsi kontinu pada interval tertutup terbatas $[a,b]$ selalu mencapai nilai maksimum dan minimum mutlak. Generalisasi langsung ke $\mathbb{R}^2$:
Jika $f$ kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas (compact) $D \subseteq \mathbb{R}^2$, maka $f$ mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada $D$.
Terbatas: $D$ terkandung dalam beberapa lingkaran berjari-jari finit (tidak "melar ke tak hingga").
Tertutup: $D$ memuat semua titik batasnya (setiap barisan konvergen di $D$ memiliki limit di $D$).
Contoh: persegi panjang $[a,b] \times [c,d]$, lingkaran tertutup $x^2 + y^2 \leq R^2$, elipsoid tertutup. Bukan tertutup: $x^2 + y^2 < R^2$ (tanpa batas).
Untuk fungsi kontinu $f$ pada himpunan tertutup terbatas $D$:
- Hitung semua titik kritis $f$ di interior $D$ (selesaikan $\nabla f = \mathbf{0}$).
- Hitung semua titik kritis $f$ pada batas $\partial D$ (gunakan parameterisasi batas atau pengali Lagrange — Bagian 20.8).
- Evaluasi $f$ di semua titik dari Langkah 1 dan Langkah 2.
- Nilai terbesar = maksimum mutlak; nilai terkecil = minimum mutlak.
$f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2$ pada $D = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 3,\; 0 \leq y \leq 2\}$.
Interior: $f_x = 2x - 2 = 0 \implies x = 1$, $f_y = 2y - 2 = 0 \implies y = 1$. Titik kritis: $(1,1) \in D$. Nilai: $f(1,1) = 1 + 1 - 2 - 2 + 2 = 0$.
Batas: empat sisi persegi panjang.
Sisi $x = 0$: $f(0,y) = y^2 - 2y + 2$, $y \in [0,2]$. Min di $y = 1$: $f(0,1) = 1$. Maks di $y = 0$ atau $y = 2$: $f(0,0) = 2$, $f(0,2) = 2$.
Sisi $x = 3$: $f(3,y) = y^2 - 2y + 5$, $y \in [0,2]$. Min di $y = 1$: $f(3,1) = 4$. Maks di ujung: $f(3,0) = 5$, $f(3,2) = 5$.
Sisi $y = 0$: $f(x,0) = x^2 - 2x + 2$, $x \in [0,3]$. Min di $x = 1$: $f(1,0) = 1$. Maks di $x = 3$: $f(3,0) = 5$.
Sisi $y = 2$: $f(x,2) = x^2 - 2x + 2$, $x \in [0,3]$. Sama: min $= 1$, maks $= 5$.
$f(x,y) = xy$ pada $D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$.
Interior: $f_x = y = 0$, $f_y = x = 0 \implies (0,0)$. $f(0,0) = 0$.
Batas $x^2 + y^2 = 1$: gunakan pengali Lagrange (lihat bagian berikutnya) atau parameterisasi $x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$:
Maksimum: $\sin 2\theta = 1 \implies \theta = \pi/4, 5\pi/4 \implies f = 1/2$ di $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm 1/\sqrt{2})$.
Minimum: $\sin 2\theta = -1 \implies \theta = 3\pi/4, 7\pi/4 \implies f = -1/2$.
20.8 Metode Pengali Lagrange: Satu Kendala
Banyak masalah optimasi dalam teknik memiliki kendala: meminimalkan biaya dengan sumber daya terbatas, memaksimalkan kekuatan dengan volume tertentu, dll. Metode pengali Lagrange adalah teknik paling elegan untuk menyelesaikan masalah ini.
Maksimumkan atau minimumkan $f(x,y)$ dengan kendala $g(x,y) = c$.
Jika $f$ dan $g$ memiliki turunan parsial kontinu, dan $\nabla g \neq \mathbf{0}$ pada kurva $g(x,y) = c$, maka setiap titik ekstrem $f$ pada kendala memenuhi:
untuk suatu bilangan real $\lambda$ (disebut pengali Lagrange). Secara eksplisit:
Tiga persamaan, tiga未知数 ($x$, $y$, $\lambda$).
Parameterisasi kendala: $\mathbf{r}(t)$ dengan $g(\mathbf{r}(t)) = c$ untuk semua $t$. Di titik ekstrem $P = \mathbf{r}(t_0)$, laju perubahan $f$ sepanjang kurva kendala harus nol: $\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))\big|_{t_0} = \nabla f \cdot \mathbf{r}'(t_0) = 0$. Artinya $\nabla f$ tegak lurus terhadap vektor tangen $\mathbf{r}'(t_0)$. Tapi $\nabla g$ juga tegak lurus terhadap kurva kendala (karena $\frac{d}{dt}g(\mathbf{r}(t)) = \nabla g \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$). Jadi $\nabla f$ dan $\nabla g$ keduanya tegak lurus terhadap garis yang sama di bidang, yang berarti mereka sejajar: $\nabla f = \lambda\nabla g$. $\quad\blacksquare$
Temukan dimensi kotak terbesar (sisi-sisi sejajar sumbu) yang dapat dimuat dalam sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
Fungsi objektif: $f(x,y,z) = 8xyz$ (volume kotak di oktan pertama, kemudian kalikan 8).
Kendala: $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$\nabla f = \langle 8yz,\; 8xz,\; 8xy \rangle$, $\nabla g = \langle 2x,\; 2y,\; 2z \rangle$.
Kalikan persamaan pertama dengan $x$: $8xyz = 2\lambda x^2$. Demikian pula: $8xyz = 2\lambda y^2 = 2\lambda z^2$. Jika $\lambda \neq 0$: $x^2 = y^2 = z^2$. Dengan kendala: $3x^2 = 1 \implies x = y = z = 1/\sqrt{3}$.
Ini adalah kubus berjari-jari $1/\sqrt{3}$ — bukan kebetulan bahwa semua sisi sama! ✓
Jarak terdekat dari titik $(1, 2, 3)$ ke bidang $2x - y + 2z = 5$.
Fungsi objektif: $f(x,y,z) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2$ (kuadrat jarak, lebih mudah).
Kendala: $g(x,y,z) = 2x - y + 2z = 5$.
Dari persamaan pertama dan ketiga: $x - 1 = z - 3 \implies x = z - 2$. Dari persamaan kedua: $y - 2 = -\lambda/2 = -(x-1) \implies y = 3 - x$.
Substitusi ke kendala: $2(z-2) - (3-z+2) + 2z = 5 \implies 2z - 4 - 5 + z + 2z = 5 \implies 5z = 14 \implies z = 14/5$.
$x = 4/5$, $y = 11/5$, $z = 14/5$. Jarak: $d = \sqrt{(-1/5)^2 + (1/5)^2 + (-1/5)^2} = \sqrt{3/25} = \sqrt{3}/5$. ✓
20.9 Pengali Lagrange: Dua Kendala
Beberapa masalah memiliki lebih dari satu kendala. Generalisasi langsung:
Maksimumkan/minimumkan $f(x,y,z)$ dengan kendala $g_1(x,y,z) = c_1$ dan $g_2(x,y,z) = c_2$:
Lima persamaan: tiga komponen gradien + dua kendala = lima persamaan untuk lima未知数 ($x, y, z, \lambda, \mu$).
Dua kendala $g_1 = c_1$ dan $g_2 = c_2$ mendefinisikan (umumnya) sebuah kurva di $\mathbb{R}^3$ — irisan dua permukaan. Syarat $\nabla f = \lambda\nabla g_1 + \mu\nabla g_2$ menyatakan bahwa $\nabla f$ terletak pada bidang yang direntang oleh $\nabla g_1$ dan $\nabla g_2$ (yaitu bidang normal kurva irisan), yang berarti $\nabla f$ tegak lurus terhadap arah kurva irisan.
Titik pada sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ yang terdekat ke garis $x + y + z = 0$, $x - y = 0$.
$f = x^2 + y^2 + z^2$, $g_1 = x + y + z = 0$, $g_2 = x - y = 0$.
Dari $g_2$: $x = y$. Dari $g_1$: $2x + z = 0 \implies z = -2x$. Substitusi ke $f$:
Titik terdekat: $(1/\sqrt{6},\; 1/\sqrt{6},\; -2/\sqrt{6})$. Jarak ke garis: $d = 1$ (karena titiknya pada sfera). ✓
20.10 Optimasi Terapan dalam Konteks Teknik
Tangki terbuka (tanpa tutup) berbentuk kotak dengan volume $V = 108\;\text{m}^3$. Biaya dasar = $a$/m², biaya sisi = $b$/m². Diminimalkan biaya total.
Dimensi: panjang $x$, lebar $y$, tinggi $z$. Volume: $xyz = 108$.
Biaya: $C = axy + 2bxz + 2byz$ (dasar + 4 sisi, dengan sisi berpasangan).
Kasus khusus $a = b$: $C = b(xy + 2xz + 2yz)$, kendala $xyz = 108$.
Dari dua persamaan pertama: $y + 2z = x + 2z \implies x = y$. Dari persamaan 1 dan 3: $y + 2z = 2x \implies x + 2z = 2x \implies z = x/2$.
Kendala: $x \cdot x \cdot x/2 = 108 \implies x^3 = 216 \implies x = 6$. Jadi: $6 \times 6 \times 3$ meter. ✓
Tegangan normal pada suatu titik ditulis $\sigma = \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta$. Dengan $\sigma_x = 80$ MPa, $\sigma_y = 40$ MPa, $\tau_{xy} = 30$ MPa, tentukan $\sigma_{\max}$ dan $\sigma_{\min}$.
$\frac{d\sigma}{d\theta} = -2\sigma_x\cos\theta\sin\theta + 2\sigma_y\sin\theta\cos\theta + 2\tau_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0$.
Menggunakan identitas: $\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$.
Untuk data $(x_1,y_1), \ldots, (x_n,y_n)$, tentukan garis $y = ax + b$ yang meminimalkan jumlah kuadrat residual $S(a,b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2$.
Ini adalah rumus regresi linear kuadrat terkecil (ordinary least squares) — salah satu rumus paling penting dalam statistika dan teknik. Verifikasi bahwa Hessian $S$ positif definit (minimum): $S_{aa} = 2\sum x_i^2 > 0$, $D = 4\sum x_i^2 \cdot 2n - 4(\sum x_i)^2 = 8[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2] > 0$ oleh Cauchy-Schwarz. ✓
20.11 Uji Turunan Kedua untuk Pengali Lagrange
Metode pengali Lagrange memberi kandidat titik ekstrem. Untuk mengklasifikasikannya (maks atau min), kita perlu analisis tambahan.
Untuk masalah maks/min $f(x,y)$ dengan kendala $g(x,y) = c$, di titik kandidat dengan pengali $\lambda$, bentuk matriks borded Hessian:
Biarkan $\tilde{D} = \det\tilde{H}$. Maka:
Dalam banyak masalah teknik, kita sudah tahu dari konteks fisika apakah suatu kandidat adalah maksimum atau minimum (misalnya, meminimalkan biaya → jelas minimum; memaksimalkan kekuatan → jelas maksimum). Uji borded Hessian berguna ketika konteks tidak jelas atau saat ada banyak kandidat.
20.12 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 20
| Kuantitas | Rumus |
|---|---|
| Bidang tangen ($z = f(x,y)$) | $z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$ |
| Normal ($z = f(x,y)$) | $\mathbf{n} = \langle f_x, f_y, -1 \rangle$ |
| Normal (implisit $F = 0$) | $\mathbf{n} = \nabla F = \langle F_x, F_y, F_z \rangle$ |
| Bidang tangen (implisit) | $F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$ |
| Linearisasi | $L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$ |
| Titik kritis | $\nabla f = \mathbf{0}$ |
| Determinan Hessian | $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ |
| Uji turunan kedua | $D>0, f_{xx}>0$: min; $D>0, f_{xx}<0$: maks; $D<0$: pelana |
| Pengali Lagrange (1 kendala) | $\nabla f = \lambda\nabla g$ + kendala |
| Pengali Lagrange (2 kendala) | $\nabla f = \lambda\nabla g_1 + \mu\nabla g_2$ + 2 kendala |
| Regresi OLS | $a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}$, $b = \bar{y} - a\bar{x}$ |
Seluruh Bab 20 dibangun dari satu prinsip: gradien $\nabla f$ mengarah ke arah kenaikan paling cepat. Bidang tangen menggunakan komponen gradien sebagai koefisien. Titik kritis adalah tempat gradien nol. Uji Hessian memeriksa "kelengkungan" di sekitar titik kritis. Pengali Lagrange menyatakan bahwa pada kendala, gradien fungsi objektif harus sejajar dengan gradien kendala. Bahkan regresi kuadrat terkecil adalah masalah "gradien nol" —只不过是 menyelesaikan $\nabla S = \mathbf{0}$.
- Tentukan bidang tangen dan garis normal permukaan $z = e^{x^2 - y}$ di titik $(1, 1, 1)$.
- Tentukan bidang tangen permukaan implisit $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6$ di titik $(1, 1, 1)$. Verifikasi bahwa bidang ini tegak lurus terhadap vektor posisi titik tersebut relatif terhadap permukaan ellipsoid.
- Gunakan linearisasi untuk mengaproksimasi $(0.98)^{0.03} \cdot e^{0.01}$. Tentukan $f(x,y)$ yang sesuai, titik $(x_0, y_0)$, dan hitung aproksimasinya.
- Temukan dan klasifikasikan semua titik kritis dari $f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1$.
- Temukan dan klasifikasikan semua titik kritis dari $f(x,y) = 3x^2y + y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 2$.
- Temukan maksimum dan minimum mutlak $f(x,y) = x^2 + xy + y^2$ pada segitiga dengan vertices $(0,0)$, $(2,0)$, dan $(0,2)$.
- Temukan titik pada ellipsoid $x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1$ yang paling jauh dari origin. Petunjuk: maksimumkan $f = x^2 + y^2 + z^2$ dengan kendala ellipsoid.
- Sebuah kotak tanpa tutup harus menampung volume $32\;\text{m}^3$. Jika biaya dasar dua kali lipat biaya sisi, tentukan dimensi yang meminimalkan biaya total.
- Tunjukkan bahwa garis singgung pada hiperboloid satu lembar $x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1$ di titik $(x_0, y_0, z_0)$ memenuhi $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} - \frac{zz_0}{c^2} = 1$.
- Proyek: Dengan data berikut, gunakan rumus OLS (Contoh 20.16) untuk menentukan garis regresi terbaik $y = ax + b$:
$(x_i, y_i) = \{(1, 2.1),\;(2, 3.9),\;(3, 6.2),\;(4, 7.8),\;(5, 10.1)\}$.
Hitung $a$, $b$, dan jumlah kuadrat residual $S$.
Bab 19–20 mempelajari turunan fungsi multivariabel. Bab 21 berbalik arah ke integral — yaitu integral ganda $\iint_D f(x,y)\,dA$. Jika turunan parsial "memotong" fungsi searah satu variabel, integral ganda "menumpuk" kontribusi fungsi di atas seluruh daerah. Keduanya dihubungkan oleh Teorema Fubini: $\iint_D f\,dA = \int\left[\int f\,dx\right]dy$, yang memungkinkan kita menghitung integral ganda sebagai integral bertingkat — integrasi dua kali secara berurutan. Bab 21 juga memperkenalkan koordinat polar dalam konteks integral, yang menjadi penting untuk daerah berbentuk lingkaran dan sektor.