Persamaan Parametrik dan Kurva Bidang
Sejauh ini kita hampir selalu mendeskripsikan kurva dalam bentuk $y = f(x)$ — satu nilai $y$ untuk setiap $x$. Namun banyak kurva alami yang tidak bisa atau tidak sebaiknya diwakili seperti itu: lingkaran memerlukan dua fungsi ($\pm\sqrt{r^2-x^2}$), lintasan proyektil memiliki dua nilai $y$ untuk satu $x$, dan lintasan partikel secara alami diungkapkan sebagai posisi terhadap waktu. Persamaan parametrik menyelesaikan semua masalah ini dengan memperkenalkan parameter ketiga $t$ yang mengendalikan kedua koordinat secara simultan. Bab ini membangun kalkulus lengkap untuk kurva parametrik: turunan pertama dan kedua, titik singular, panjang busur, dan luas, diikuti penerapan pada gerak partikel dan lintasan proyektil.
15.1 Motivasi: Mengapa Kita Butuh Parametrik?
Representasi standar $y = f(x)$ memiliki tiga keterbatasan fundamental:
- Multi-nilai: Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ memerlukan dua fungsi $y = \pm\sqrt{r^2 - x^2}$, masing-masing hanya setengah lingkaran, dengan masalah turunan tak terdefinisi di $x = \pm r$.
- Lintasan mundur: Proyektil naik lalu turun melalui $x$ yang sama — satu $x$ berkorespondensi dengan dua nilai $y$ (naik dan turun) yang berbeda.
- Penyilangan diri: Kurva seperti figur-Lissajous menyilang dirinya sendiri, sehingga bahkan secara lokal bukan fungsi di titik persilangan.
Solusi: perkenalkan parameter $t$ sehingga $x = x(t)$ dan $y = y(t)$ masing-masing adalah fungsi biasa dari $t$. Setiap nilai $t$ memberikan satu titik $(x(t), y(t))$ pada kurva, dan kurva dijelajahi secara berurutan seiring $t$ bertambah.
15.2 Kurva Parametrik: Definisi dan Contoh Dasar
Jika $x(t)$ dan $y(t)$ adalah fungsi yang terdefinisi pada interval $I \subseteq \mathbb{R}$, maka himpunan titik
disebut kurva parametrik dengan parameter $t$. Variabel $t$ sering (tapi tidak selalu) mewakili waktu.
Parametrisasi lingkaran berjari-jari $r$ berpusat di origin:
Eliminasi parameter: $x^2/r^2 + y^2/r^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$, yaitu $x^2 + y^2 = r^2$. ✓
Keunggulan vs. $y = \pm\sqrt{r^2 - x^2}$: satu pasang rumus untuk seluruh lingkaran, tanpa masalah di $x = \pm r$, dan secara alami menggambarkan arah putaran.
Eliminasi: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Untuk $a \neq b$, ini adalah elips dengan sumbu semi-mayor $a$ dan semi-minor $b$. ✓
Sikloid adalah lintasan titik pada roda berjari-jari $r$ yang menggelinding tanpa slip di sepanjang garis lurus:
Garis lurus melalui $(x_0, y_0)$ dengan arah $(a, b)$:
Eliminasi: $y - y_0 = \dfrac{b}{a}(x - x_0)$ (jika $a \neq 0$). Jika $a = 0$: garis vertikal $x = x_0$. ✓
15.3 Eliminasi Parameter
Kadang kita ingin kembali ke representasi kartesian. Eliminasi parameter adalah proses menghilangkan $t$ dari $x = x(t)$ dan $y = y(t)$ untuk mendapatkan hubungan $F(x, y) = 0$.
- Selesaikan salah satu persamaan untuk $t$, lalu substitusi ke persamaan lainnya.
- Gunakan identitas trigonometri jika $x(t)$ dan $y(t)$ melibatkan $\sin t$ dan $\cos t$.
- Gunakan kombinasi aljabar (kuadratkan, jumlahkan, kurangkan) untuk menghilangkan $t$.
$x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$. Kuadratkan dan kombinasikan:
Hasilnya: elips $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. ✓
$x = t^2$, $y = t + 1$. Dari persamaan pertama: $t = \pm\sqrt{x}$ (untuk $x \geq 0$). Substitusi: $y = \pm\sqrt{x} + 1$.
Perhatikan: ini menghasilkan dua cabang ($t \geq 0$ dan $t \leq 0$), yang persis menunjukkan mengapa representasi parametrik lebih baik — ia memperlakukan kedua cabang secara seragam. ✓
$x = \cos t + t\sin t$, $y = \sin t - t\cos t$ (involusi lingkaran). Eliminasi eksplisit sangat sulit — tidak ada cara sederhana untuk menulis $y$ sebagai fungsi $x$. Kurva ini hanya bisa dianalisis secara memadai dalam bentuk parametrik. Ini adalah contoh di mana eliminasi tidak praktis dan representasi parametrik adalah bentuk alami.
Eliminasi parameter melempar informasi: arah penelusuran, kecepatan penelusuran, dan perilaku di luar domain parameter. Contoh: $x = \cos t$, $y = \sin t$ untuk $0 \leq t \leq \pi$ dan untuk $\pi \leq t \leq 2\pi$ keduanya menghasilkan $x^2 + y^2 = 1$, tetapi mewakili setengah lingkaran yang berbeda. Selalu catat interval parameter asli.
15.4 Turunan Pertama: $\dfrac{dy}{dx}$
Jika $x = x(t)$ dan $y = y(t)$, bagaimana menghitung $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa mengeliminasi $t$? Jawabannya adalah aturan rantai yang diterapkan secara terbalik.
Jika $x(t)$ dan $y(t)$ terdiferensiasi dan $x'(t) \neq 0$, maka:
Dari aturan rantai: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}$. Selesaikan untuk $\dfrac{dy}{dx}$:
$dx/dt = v_x$ (kecepatan horizontal) dan $dy/dt = v_y$ (kecepatan vertikal). Maka $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{v_y}{v_x}$ = kemiringan lintasan = rasio komponen kecepatan. Ini masuk akal: arah gerak partikel di setiap titik ditentukan oleh rasio kecepatan komponennya.
$x = \cos t$, $y = \sin t$. Maka $x'(t) = -\sin t$, $y'(t) = \cos t$:
Di $t = \pi/4$ (titik $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$): $\dfrac{dy}{dx} = -\cot(\pi/4) = -1$. Garis singgung memiliki kemiringan $-1$, yang benar karena garis singgung lingkaran di titik ini tegak lurus terhadap jari-jari (yang memiliki kemiringan $+1$). ✓
$x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$. Maka:
Di $t = \pi$ (puncak arch pertama, $x = r\pi$, $y = 2r$): $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin\pi}{1 - \cos\pi} = \dfrac{0}{2} = 0$. Garis singgung horizontal di puncak — sesuai intuiti. ✓
Di $t \to 0^+$ (dekat cusp): gunakan identitas $\dfrac{\sin t}{1-\cos t} = \dfrac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\sin^2(t/2)} = \cot(t/2) \to +\infty$. Garis singgung vertikal di cusp — juga sesuai intuiti.
15.5 Turunan Kedua: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$
Turunan kedua bukan sekadar $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$. Kita harus menerapkan aturan rantai sekali lagi.
Menggunakan aturan pembagian pada pembilang:
Salah: $\dfrac{d^2y}{dx^2} \neq \dfrac{y''(t)}{x''(t)}$. Yang benar: $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{y'}{x'}\right) \Big/ x'$. Penyebutnya adalah $[x'(t)]^3$, bukan $x''(t)$. Kesalahan ini sangat umum dan menyebabkan jawaban yang sepenuhnya salah.
$x = \cos t$, $y = \sin t$. Kita sudah punya $\dfrac{dy}{dx} = -\cot t$. Maka:
Di $t = \pi/4$: $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1}{(\sqrt{2}/2)^3} = -\dfrac{8}{2\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} \approx -2.83$. Negatif berarti kurva cekung ke bawah — benar untuk setengah lingkaran atas yang dilihat dari dalam. ✓
Verifikasi Contoh 15.10 menggunakan rumus $\dfrac{x'y'' - y'x''}{(x')^3}$:
$x' = -\sin t$, $x'' = -\cos t$, $y' = \cos t$, $y'' = -\sin t$:
15.6 Titik Singular, Tangen Horizontal dan Vertikal
15.6.1 Tangen Horizontal
Garis singgung horizontal ketika $\dfrac{dy}{dx} = 0$, yaitu ketika:
15.6.2 Tangen Vertikal
Garis singgung vertikal ketika $\dfrac{dy}{dx}$ tak terdefinisi (tenden tak hingga), yaitu ketika:
15.6.3 Titik Singular
Titik pada kurva parametrik dimana $x'(t) = 0$ dan $y'(t) = 0$ secara bersamaan disebut titik singular. Di titik ini, $\dfrac{dy}{dx}$ berbentuk $\frac{0}{0}$ dan perilaku kurva harus dianalisis lebih lanjut.
$x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ (ambil $r = 1$). Di $t = 0$: $x'(0) = 1 - \cos 0 = 0$, $y'(0) = \sin 0 = 0$. Jadi $(0, 0)$ adalah titik singular.
Untuk menganalisis perilaku di dekat $t = 0$, gunakan ekspansi Taylor:
Dari suku dominan: $x \sim t^3/6$ dan $y \sim t^2/2$, sehingga $t \sim (6x)^{1/3}$ dan:
Eksponen $2/3 < 1$ menunjukkan kurva memiliki cusp (titik runcing) — kemiringan cenderung tak hingga saat mendekati titik dari kedua sisi. ✓
$x = 4\cos t$, $y = 3\sin t$. Maka $x' = -4\sin t$, $y' = 3\cos t$.
Tangen horizontal ($y' = 0$): $\cos t = 0 \implies t = \pi/2,\, 3\pi/2$. Titik: $(0, 3)$ dan $(0, -3)$ — ujung sumbu semi-minor.
Tangen vertikal ($x' = 0$): $\sin t = 0 \implies t = 0,\, \pi$. Titik: $(4, 0)$ dan $(-4, 0)$ — ujung sumbu semi-mayor.
Titik singular: $x' = y' = 0$ tidak pernah terjadi secara simultan karena $-4\sin t = 0 \implies \cos t = \pm 1 \neq 0$. Jadi elips tidak memiliki titik singular — konsisten dengan fakta bahwa elips adalah kurva mulus (smooth). ✓
$x = t^2$, $y = t^3$. Di $t = 0$: $x'(0) = 0$, $y'(0) = 0$ — titik singular.
Eliminasi parameter: $t = x^{1/2}$, sehingga $y = x^{3/2}$ (untuk $t \geq 0$, yaitu $x \geq 0$). Kurva ini adalah setengah parabola semi-kubik — memiliki cusp di origin dengan kemiringan vertikal.
Bandingkan dengan $x = t^3$, $y = t^3$ (garis $y = x$, bukan singular secara geometris meskipun $x'(0) = y'(0) = 0$). Ini menunjukkan bahwa $x' = y' = 0$ adalah kondisi perlu tapi tidak cukup untuk cusp geometris — kurva bisa saja "melambat lalu melanjutkan" tanpa runcing.
15.7 Panjang Busur Kurva Parametrik
Jika $x'(t)$ dan $y'(t)$ kontinu pada $[\alpha, \beta]$, maka panjang busur kurva $(x(t), y(t))$ dari $t = \alpha$ hingga $t = \beta$ adalah:
Partisi $[\alpha, \beta]$ menjadi $\alpha = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta$. Segmen antara $(x(t_{i-1}), y(t_{i-1}))$ dan $(x(t_i), y(t_i))$ memiliki panjang:
di mana $\Delta x_i \approx x'(t_i^*)\Delta t_i$ dan $\Delta y_i \approx y'(t_i^*)\Delta t_i$ (MVT). Jumlah total:
Integrand $\sqrt{(x')^2 + (y')^2} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = |\mathbf{v}|$ adalah kecepatan (laju) partikel. Jadi panjang busur adalah integral dari kecepatan terhadap waktu — persis seperti $s = \int v\,dt$ dalam fisika. Ini juga berarti $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$.
$x = r\cos t$, $y = r\sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$. Maka $x' = -r\sin t$, $y' = r\cos t$:
Rumus klasik keliling lingkaran terbukti sebagai kasus khusus rumus panjang busur parametrik. ✓
$x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$, dari $t = 0$ hingga $t = 2\pi$:
Karena $\sin(t/2) \geq 0$ untuk $t \in [0, 2\pi]$:
Satu arch sikloid memiliki panjang tepat 8 kali jari-jari roda, terlepas dari kecepatan gelinding. Hasil elegan ini pertama kali ditemukan oleh Galileo. ✓
$x = a\cos t$, $y = b\sin t$, keliling penuh ($0 \leq t \leq 2\pi$):
Dengan $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$ (eksentrisitas) dan substitusi simetri:
di mana $E(e) = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - e^2\sin^2\theta}\,d\theta$ adalah integral elliptik lengkap orde-2. Tidak ada ekspresi elementer untuk integral ini — ia harus dihitung secara numerik. Ini menjelaskan mengapa "keliling elips" tidak memiliki rumus sederhana seperti keliling lingkaran.
Untuk $a = 5$, $b = 3$: $e = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5 = 0.8$. Menghitung $E(0.8) \approx 1.5059$: $L \approx 4 \times 5 \times 1.5059 \approx 30.12$. (Aproksimasi Ramanujan: $L \approx \pi[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}] = \pi[24 - \sqrt{18 \times 14}] \approx \pi[24 - 15.87] \approx 25.55$ — ini adalah aproksimasi yang berbeda, lebih akurat untuk $e$ kecil.)
15.8 Luas di Bawah Kurva Parametrik
Jika kurva $(x(t), y(t))$ tidak menyilang diri dan $y(t) \geq 0$ pada $[\alpha, \beta]$, maka luas daerah yang dibatasi kurva, sumbu-$x$, dan garis vertikal $x = x(\alpha)$, $x = x(\beta)$ adalah:
Syarat penting: $x(t)$ harus monoton (naik atau turun) pada $[\alpha, \beta]$ agar kurva tidak menyilang diri secara vertikal.
Luas dalam bentuk kartesian: $A = \int_{x(\alpha)}^{x(\beta)} y\,dx$. Substitusi $x = x(t)$, $dx = x'(t)\,dt$:
$x = a\cos t$, $y = b\sin t$, untuk setengah atas ($t$ dari $\pi$ ke $0$, atau lebih baik dari $0$ ke $\pi$ dengan tanda).
Untuk setengah atas, gunakan $t$ dari $0$ ke $\pi$. Perhatikan $x' = -a\sin t$ dan $y = b\sin t \geq 0$ pada $[0, \pi]$:
Nilainya negatif karena $x$ menurun (dari $a$ ke $-a$) saat $t$ naik dari $0$ ke $\pi$. Ambil nilai mutlak:
Ini setengah luas elips penuh $\pi ab$ — konsisten dengan rumus luas elips yang sudah dikenal. ✓
$x = r(t - \sin t)$, $y = r(1 - \cos t)$, dari $t = 0$ hingga $t = 2\pi$. Di sini $y \geq 0$ dan $x' = r(1-\cos t) \geq 0$ (monoton naik):
Luas di bawah satu arch sikloid adalah $3\pi r^2$ — tepat tiga kali luas lingkaran pembentuknya. Ini adalah salah satu hasil paling mengejutkan dalam geometri klasik, pertama kali dibuktikan oleh Roberval (1634). ✓
Jika kurva tertutup $(x(t), y(t))$ untuk $t \in [\alpha, \beta]$ dilalui berlawanan arah jarum jam, maka luas daerah yang dibatasi adalah:
Ini adalah versi parametrik dari rumus Green (yang akan dibahas lebih lanjut di Bab 23). Untuk elips: substitusi langsung memberikan $A = \pi ab$.
15.9 Parametrisasi Umum dan Lintasan Partikel
15.9.1 Parametrisasi Bukan Unik
Kurva yang sama bisa memiliki banyak parametrisasi berbeda:
| Parametrisasi | Domain | Arah | Kecepatan |
|---|---|---|---|
| $x = \cos t,\; y = \sin t$ | $[0, 2\pi]$ | Berlawanan jarum jam | Konstan ($= 1$) |
| $x = \cos(2t),\; y = \sin(2t)$ | $[0, \pi]$ | Berlawanan jarum jam | Konstan ($= 2$) |
| $x = \cos(-t),\; y = \sin(-t)$ | $[0, 2\pi]$ | Searah jarum jam | Konstan ($= 1$) |
| $x = \cos(t^2),\; y = \sin(t^2)$ | $[0, \sqrt{2\pi}]$ | Berlawanan jarum jam | Variabel ($= 2t$) |
Keempat parametrisasi menghasilkan himpunan titik yang sama (lingkaran satuan), tetapi berbeda dalam arah penelusuran, kecepatan, dan berapa kali dilalui.
15.9.2 Parametrisasi vs. Kurva
Kurva (atau trace) adalah himpunan titik $\{(x(t), y(t))\}$. Parametrisasi adalah peta $t \mapsto (x(t), y(t))$ yang mencakup informasi tambahan: arah, kecepatan, dan domain parameter.
15.9.3 Lintasan Partikel dalam Fisika
Dalam mekanika, posisi partikel di bidang sebagai fungsi waktu secara alami berbentuk parametrik dengan $t$ = waktu:
Kecepatan: $\mathbf{v}(t) = \langle x'(t),\, y'(t) \rangle$, laju: $|\mathbf{v}| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$.
Percepatan: $\mathbf{a}(t) = \langle x''(t),\, y''(t) \rangle$.
Komponen tangensial dan normal percepatan (untuk lengkapnya, lihat Bab 18):
15.10 Studi Kasus: Gerak Proyektil
Gerak proyektil tanpa hambatan udara adalah contoh klasik kurva parametrik dalam fisika.
Dengan kecepatan awal $v_0$, sudut elevasi $\theta_0$, dan percepatan gravitasi $g$ (ke bawah):
untuk $0 \leq t \leq T = \dfrac{2v_0\sin\theta_0}{g}$ (waktu terbang).
15.10.1 Analisis Lengkap dari Parametrisasi
Jangkauan $R$: set $y(T) = 0$ (selain $t = 0$):
Jangkauan maksimum saat $\sin 2\theta_0 = 1$, yaitu $\theta_0 = 45^\circ$: $R_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$.
Tinggi maksimum: di puncak, $v_y = y'(t) = v_0\sin\theta_0 - gt = 0$, sehingga $t^* = \dfrac{v_0\sin\theta_0}{g}$:
Eliminasi parameter: dari $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta_0}$, substitusi ke $y(t)$:
Ini adalah parabola dalam bentuk kartesian — membuktikan bahwa lintasan proyektil tanpa hambatan udara selalu parabola. ✓
$v_0 = 50$ m/s, $\theta_0 = 60^\circ$, $g = 9.8$ m/s²:
Kecepatan: $\mathbf{v}(t) = \langle 25,\; 25\sqrt{3} - 9.8t \rangle$.
Laju: $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{625 + (25\sqrt{3} - 9.8t)^2}$.
Di puncak ($t^* = 25\sqrt{3}/9.8 \approx 4.42$ s): $|\mathbf{v}| = \sqrt{625 + 0} = 25$ m/s (hanya komponen horizontal). Di tanah ($t = 0$ dan $t = 8.84$ s): $|\mathbf{v}| = 50$ m/s (kecepatan awal dan akhir sama — simetris).
Jangkauan: $R = \dfrac{2500 \cdot \sin 120^\circ}{9.8} = \dfrac{2500 \cdot \sqrt{3}/2}{9.8} \approx 220.9$ m.
Tinggi: $H = \dfrac{2500 \cdot 3/4}{19.6} \approx 95.7$ m. ✓
15.10.2 Dampak Hambatan Udara (Gambaran Kualitatif)
Dengan hambatan udara (gaya gesek proporsional $v$ atau $v^2$), lintasan bukan lagi parabola dan tidak memiliki representasi kartesian sederhana. Kurva parametrik (numerik) menjadi satu-satunya cara praktis untuk menghitung lintasan — persamaan diferensial $\ddot{x} = -\beta\dot{x}$, $\ddot{y} = -g - \beta\dot{y}$ (untuk hambatan linear) diselesaikan secara numerik untuk mendapatkan $(x(t), y(t))$.
15.11 Contoh Kurva Parametrik Penting Lainnya
Jika titik pada roda berjari-jari $r$ berada pada jarak $d$ dari pusat (bukan di tepi), lintasannya adalah trokoid:
- $d < r$: kurtosit (curtate cycloid) — loop tidak mencapai tanah
- $d = r$: sikloid (cycloid) — kasus standar
- $d > r$: prolotid (prolate cycloid) — memiliki loop yang melampaui tanah
Jika roda berjari-jari $b$ menggelinding di luar lingkaran berjari-jari $a$:
Kasus khusus $a = b$: kardioid (akan dibahas di Bab 16 sebagai kurva polar).
Jika roda menggelinding di dalam lingkaran: ganti $(a+b)$ dengan $(a-b)$ untuk mendapatkan hiposikloid. Kasus $a = 4b$: astroid $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$.
$x(t) = A\sin(at + \delta)$, $y(t) = B\sin(bt)$. Bentuk kurva bergantung pada rasio $a/b$ dan fase $\delta$:
- $a/b = 1$, $\delta = \pi/2$: elips (atau lingkaran jika $A = B$)
- $a/b = 2$: kurva berbentuk "8" atau "ikat"
- $a/b = 3/2$: kurva lebih kompleks dengan 3 loop
Kurva Lissajous muncul dalam osiloskop (superposisi dua sinyal sinusoidal) dan dalam mekanika orbit.
15.12 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Kurva Parametrik
| Kuantitas | Rumus | Syarat |
|---|---|---|
| Kemiringan garis singgung | $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ | $x'(t) \neq 0$ |
| Turunan kedua | $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{x'y'' - y'x''}{(x')^3}$ | $x'(t) \neq 0$ |
| Tangen horizontal | $y'(t) = 0$, $x'(t) \neq 0$ | — |
| Tangen vertikal | $x'(t) = 0$, $y'(t) \neq 0$ | — |
| Titik singular | $x'(t) = 0$ dan $y'(t) = 0$ | Analisis lebih lanjut diperlukan |
| Panjang busur | $L = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$ | $x', y'$ kontinu |
| Luas di bawah kurva | $A = \displaystyle\int_\alpha^\beta y(t)\,x'(t)\,dt$ | $y \geq 0$, $x$ monoton |
| Luas daerah tertutup | $A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta (xy' - yx')\,dt$ | Berlawanan jarum jam |
| Laju (kecepatan) | $|\mathbf{v}| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$ | — |
Kartesian $y = f(x)$: paling sederhana jika kurva adalah fungsi dan tidak melibatkan rotasi. Parametrik: kurva yang melingkar, tertutup, menyilang diri, atau muncul dari konteks fisika (lintasan, waktu). Polar (Bab 16): kurva yang memiliki simetri radial — lingkaran berpusat di origin, spiral, kelopak. Banyak kurva bisa diwakili dalam ketiga bentuk; pilih yang paling natural untuk masalah yang dihadapi.
- Eliminasi parameter untuk $x = 2\cos t + \cos 2t$, $y = 2\sin t - \sin 2t$. Petunjuk: gunakan identitas sudut ganda, lalu kuadratkan dan jumlahkan. Kurva apa yang dihasilkan?
- Untuk kurva $x = t^3 - 3t$, $y = t^2 - 2t$: (a) Temukan semua titik dimana garis singgung horizontal. (b) Temukan semua titik dimana garis singgung vertikal. (c) Temukan semua titik singular dan klasifikasikan perilakunya.
- Hitung $\dfrac{dy}{dx}$ dan $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ untuk $x = e^t\cos t$, $y = e^t\sin t$ di $t = \pi/4$. Nilai $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ apa yang Anda peroleh? Apakah hasilnya masuk akal mengingat kurva ini adalah spiral?
- Hitung panjang busur kurva $x = \dfrac{t^3}{3}$, $y = \dfrac{t^2}{2}$ dari $t = 0$ hingga $t = \sqrt{3}$.
- Sebuah astroid memiliki parametrisasi $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ untuk $0 \leq t \leq 2\pi$. (a) Eliminasi parameter untuk mendapatkan $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$. (b) Hitung panjang busur seluruh astroid. Petunjuk: manfaatkan simetri dan gunakan identitas $\cos^2 + \sin^2 = 1$.
- Hitung luas daerah yang dibatasi oleh satu loop lengkap astroid $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ menggunakan rumus luas daerah tertutup parametrik. Bandingkan dengan luas persegi pembungkus $[-a, a] \times [-a, a]$.
- Bola ditendang dari tanah dengan kecepatan awal $30$ m/s pada sudut $50^\circ$. (a) Tuliskan parametrisasi lintasan. (b) Hitung jangkauan, tinggi maksimum, dan waktu terbang. (c) Hitung kecepatan (laju) bola saat menyentuh tanah. (d) Berapa sudut datang (kemiringan garis singgung di titik landing)?
- Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva $x = t^2$, $y = t^3 - 3t$. (a) Pada waktu berapa partikel berada di titik singular? (b) Hitung komponen tangensial dan normal percepatan di $t = 2$.
- Tunjukkan bahwa panjang busur satu arch sikloid ($x = r(t-\sin t)$, $y = r(1-\cos t)$, $0 \leq t \leq 2\pi$) tepat $8r$. Kemudian tunjukkan bahwa luas di bawah arch tersebut tepat $3\pi r^2$. Rasio luas-terhadap-panjang-busur berapa yang diperoleh? Bandingkan dengan lingkaran berjari-jari $r$.
- Parametrisasi $x = \cos t$, $y = \cos 2t$ menghasilkan kurva yang disebut "parabola garis-garis" (parabola asal-gerak). (a) Eliminasi parameter. (b) Gambar kurva untuk $0 \leq t \leq 2\pi$. (c) Temukan semua titik dengan tangen horizontal dan vertikal.