Bab 6

Integral Tentu

Integral tentu menjawab pertanyaan kuantitatif fundamental: berapa luas daerah di bawah kurva? Bab ini membangun integral tentu dari penjumlahan Riemann, membuktikan Teorema Dasar Kalkulus yang menghubungkan integral dengan antiturunan, dan mengeksplorasi sifat-sifat kalkulus integral yang memungkinkan perhitungan luas, volume, dan banyak besaran fisik lainnya.

Gambar 6.1 — Alur konsep Bab 6: dari motivasi luas hingga evaluasi integral tentu

6.1 Motivasi: Luas di Bawah Kurva

Pertanyaan klasik: berapa luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = f(x)$, sumbu-$x$, dan garis vertikal $x = a$, $x = b$? Untuk fungsi linear, jawabannya sederhana (trapesium). Untuk fungsi umum, kita memerlukan pendekatan limit.

Gambar 6.2 — Luas daerah di bawah kurva: didekapi dengan penjumlahan persegi panjang, lalu diambil limit

Contoh 6.1 — Pendekatan Persegi Panjang untuk $\int_0^1 x^2\,dx$

Bagi $[0, 1]$ menjadi $n$ subinterval sama lebar $\Delta x = \dfrac{1}{n}$. Gunakan titik kanan $x_i^* = \dfrac{i}{n}$:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$

$$= \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6}$$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{2 + 0 + 0}{6} = \frac{1}{3}$$

Jadi (sesuai dugaan) $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$. Kita akan memverifikasi ini dengan Teorema Dasar Kalkulus di bagian selanjutnya.

6.2 Penjumlahan Riemann

Definisi 6.1 — Partisi

Sebuah partisi $P$ dari $[a, b]$ adalah himpunan titik $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$. Subinterval ke-$i$ adalah $[x_{i-1}, x_i]$ dengan lebar $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. Norma partisi: $\|P\| = \max_i \Delta x_i$.

Definisi 6.2 — Penjumlahan Riemann

Misalkan $f$ terdefinisi pada $[a, b]$, $P$ sebuah partisi, dan $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ titik sampel. Penjumlahan Riemann untuk $f$ terhadap $P$ dan $\{x_i^*\}$ adalah:

$$R(f, P, \{x_i^*\}) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i$$

Pilihan titik sampel yang umum:

Titik kanan: $x_i^* = x_i$
Titik kiri: $x_i^* = x_{i-1}$
Titik tengah: $x_i^* = \dfrac{x_{i-1} + x_i}{2}$

Contoh 6.2 — Penjumlahan Riemann Eksplisit

$f(x) = 4 - x^2$ pada $[0, 3]$, partisi $P = \{0, 1, 2, 3\}$ (regular, $\Delta x = 1$), titik kanan:

$$R = \sum_{i=1}^{3} f(x_i)\cdot 1 = f(1) + f(2) + f(3) = (4-1) + (4-4) + (4-9) = 3 + 0 + (-5) = -2$$

Nilai negatif karena sebagian kurva berada di bawah sumbu-$x$. Ini adalah luas bertanda, bukan luas geometris.

6.3 Definisi Formal Integral Riemann

Definisi 6.3 — Integral Riemann

Fungsi $f$ dikatakan integrabel Riemann pada $[a, b]$ jika terdapat bilangan real $L$ sehingga untuk setiap $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga untuk setiap partisi $P$ dengan $\|P\| < \delta$ dan setiap pilihan titik sampel:

$$\left|\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i - L\right| < \varepsilon$$

Dalam hal ini, kita tulis:

$$\int_a^b f(x)\,dx = L$$

Teorema 6.1 — Syarat Cukup Integrabilitas

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, maka $f$ integrabel Riemann pada $[a, b]$. Lebih umum, jika $f$ terbatas pada $[a, b]$ dan tidak kontinu hanya di sejumlah titik berhingga, maka $f$ tetap integrabel.

Konvensi Batas

Untuk ke konsistenan rumus, kita definisikan: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ dan $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ jika $a > b$.

6.4 Sifat-Sifat Integral Tentu

Teorema 6.2 — Sifat-Sifat Integral Tentu

Misalkan $f$ dan $g$ integrabel pada $[a, b]$ dan $c$ konstanta.

$\displaystyle\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b c\,f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ (additivitas interval)
Jika $f(x) \geq 0$ untuk semua $x \in [a, b]$, maka $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$
Jika $f(x) \leq g(x)$ untuk semua $x \in [a, b]$, maka $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$
$\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$
$\displaystyle m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$ (di mana $m = \inf f$, $M = \sup f$)

Contoh 6.3 — Menggunakan Additivitas Interval

Hitung $\displaystyle\int_{-1}^{2} |x|\,dx$.

Pecah di titik di mana $|x|$ berubah definisi ($x = 0$):

$$\int_{-1}^{2} |x|\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{2} x\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}$$

$$= \left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \left(2 - 0\right) = \frac{1}{2} + 2 = \boxed{\frac{5}{2}}$$

Contoh 6.4 — Menggunakan Ketidaksamaan Integral

Soal: Perkirakan batas bawah dan atas $\displaystyle\int_0^{2} e^{-x^2}\,dx$.

Pada $[0, 2]$: $e^{-4} \leq e^{-x^2} \leq 1$ (karena $0 \leq x^2 \leq 4$). Maka:

$$e^{-4}(2-0) \leq \int_0^2 e^{-x^2}\,dx \leq 1 \cdot (2-0)$$

$$0.0366 \leq \int_0^2 e^{-x^2}\,dx \leq 2$$

(Nilai sebenarnya $\approx 0.882$. Estimasi kasar ini berguna ketika integral tidak bisa dihitung eksak.)

6.5 Teorema Dasar Kalkulus Bagian I

Teorema ini mungkin merupakan teorema paling penting dalam seluruh kalkulus — ia menghubungkan dua operasi yang tampak tidak terkait: integral (luas) dan turunan (kemiringan).

Teorema 6.3 — Teorema Dasar Kalkulus Bagian I

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, maka fungsi $g$ yang didefinisikan oleh:

$$g(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad a \leq x \leq b$$

terdiferensiasi pada $(a, b)$ dan:

$$\boxed{g'(x) = f(x)}$$

Interpretasi

Fungsi $g(x)$ menghitung "luas terkumulasi" dari $a$ ke $x$. Turunannya, $g'(x)$, memberikan "laju perubahan luas terkumulasi" — yang ternyata sama dengan tinggi kurva $f(x)$ di titik tersebut. Ini sangat intuitif: jika kurva tinggi, luas bertambah cepat; jika kurva datar, luas bertambah lambat.

Bukti TDK Bagian I

Dari definisi turunan:

$$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt\right]$$

Gunakan additivitas interval:

$$= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt$$

Oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral (jika $f$ kontinu pada $[x, x+h]$, terdapat $c$ di antara $x$ dan $x+h$ sehingga $\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c)\cdot h$):

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(c)\cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(c)$$

Saat $h \to 0$, titik $c$ terjepit antara $x$ dan $x+h$ sehingga $c \to x$. Oleh keberlanjutan $f$:

$$= f(x) \quad \blacksquare$$

Contoh 6.5 — Menggunakan TDK Bagian I

(a) $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_0^x \sin(t^2)\,dt\right) = \sin(x^2)$

(b) $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_1^x e^{-t^2}\,dt\right) = e^{-x^2}$

Catatan: integral $\int e^{-t^2}\,dt$ tidak memiliki bentuk tertutup dengan fungsi elemen — tetapi turunannya dari 0 ke $x$ sangat sederhana!

Teorema 6.4 — TDK Bagian I: Batas Atas Fungsi

Jika $f$ kontinu dan $u(x)$ terdiferensiasi, maka:

$$\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$$

Contoh 6.6 — TDK Bagian I dengan Batas Fungsi

(a) $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_0^{x^3} \cos t\,dt\right) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)$

(b) $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_1^{\sin x} \sqrt{1+t^3}\,dt\right) = \sqrt{1+\sin^3 x}\cdot \cos x$

(c) $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_{x}^{x^2} e^{t^2}\,dt\right)$. Gunakan $\displaystyle\int_x^{x^2} = \int_0^{x^2} - \int_0^x$:

$$= e^{x^4}\cdot 2x - e^{x^2}\cdot 1 = 2xe^{x^4} - e^{x^2}$$

Contoh 6.7 — Limit Menggunakan TDK Bagian I

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt$

Bentuk $\frac{0}{0}$. Gunakan L'Hôpital:

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

6.6 Teorema Dasar Kalkulus Bagian II

Teorema 6.5 — Teorema Dasar Kalkulus Bagian II (Evaluasi)

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $F$ adalah antiturunan $f$ (yaitu $F' = f$), maka:

$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)}$$

Notasi singkat: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(x)\Big|_a^b$.

Mengapa Ini Luar Biasa?

Tanpa TDK Bagian II, menghitung $\int_0^1 x^{100}\,dx$ memerlukan penjumlahan Riemann yang sangat rumit. Dengan TDK II: $\left[\dfrac{x^{101}}{101}\right]_0^1 = \dfrac{1}{101}$. Masalah yang memerlukan limit penjumlahan tak hingga diselesaikan dengan satu evaluasi antiturunan — ini adalah kekuatan kalkulus.

Contoh 6.8 — Evaluasi Dasar

(a) $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_1^3 = \left(\frac{27}{3} + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = 18 - \frac{4}{3} = \frac{50}{3}$

(b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$

(c) $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

(d) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^e = 1 - 0 = 1$

Contoh 6.9 — Verifikasi Contoh 6.1 dengan TDK II

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ ✓

Sama persis dengan hasil penjumlahan Riemann — tetapi dalam satu langkah aljabar.

Contoh 6.10 — Integral dengan Eksponensial

$\displaystyle\int_0^2 e^{3x}\,dx = \left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_0^2 = \frac{1}{3}(e^6 - 1)$

Contoh 6.11 — Integral Trigonometri

$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,dx = \left[\tan x\right]_0^{\pi/4} = 1 - 0 = 1$

$\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = \left[-\cot x\right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

6.7 Luas Bertanda dan Luas Total

Definisi 6.4 — Luas Bertanda vs Luas Total

Luas bertanda (signed area): $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — bisa negatif jika $f$ berada di bawah sumbu-$x$.

Luas total (total geometric area) antara kurva dan sumbu-$x$:

$$A = \int_a^b |f(x)|\,dx$$

Gambar 6.3 — Luas bertanda menghitung area positif dikurangi area negatif; luas total menjumlahkan keduanya

Contoh 6.12 — Luas Bertanda vs Total

$\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2 - 4)\,dx$

Luas bertanda:

$$= \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-1}^{2} = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{1}{3} + 4\right) = -\frac{16}{3} - \frac{11}{3} = -\frac{27}{3} = -9$$

Luas total: Cari akar: $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$. Pada $[-1, 2]$, akarnya di $x = -2$ (di luar interval) dan $x = 2$ (di batas). Cek tanda: pada $[-1, 2]$, $f(x) \leq 0$ (karena $x^2 \leq 4$), jadi:

$$A = \int_{-1}^{2} |x^2 - 4|\,dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-4 + \frac{1}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = 9$$

Luas total $= 9$, luas bertanda $= -9$. Mereka berbeda tanda!

Contoh 6.13 — Luas Total dengan Dua Akar di Dalam Interval

Hitung luas total antara $y = x^3 - x$ dan sumbu-$x$ pada $[-1, 2]$.

Akar: $x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0 \implies x = -1, 0, 1$. Semua di dalam $[-1, 2]$.

Tanda: $(-1, 0)$: negatif, $(0, 1)$: positif, $(1, 2)$: positif.

$$A = \int_{-1}^{0} |x^3 - x|\,dx + \int_{0}^{1} |x^3 - x|\,dx + \int_{1}^{2} |x^3 - x|\,dx$$

$$= \int_{-1}^{0} (x - x^3)\,dx + \int_{0}^{1} (x^3 - x)\,dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x)\,dx$$

$$= \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$$

$$= \left(0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - 0 + \left(4 - 2\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)$$

$$= -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{7}{4}}$$

6.8 Luas antara Dua Kurva

Teorema 6.6 — Luas antara Dua Kurva

Jika $f(x) \geq g(x)$ untuk semua $x \in [a, b]$, maka luas daerah yang dibatasi oleh $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, dan $x = b$ adalah:

$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$$

Jika kurva berpotongan di $[a, b]$, pecah integral pada titik-titik perpotongan.

Contoh 6.14 — Luas antara Dua Kurva Sederhana

Luas antara $y = x^2$ dan $y = x$ pada interval $[0, 1]$.

Perpotongan: $x^2 = x \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0, 1$. Pada $[0, 1]$: $x \geq x^2$.

$$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{1}{6}}$$

Contoh 6.15 — Luas dengan Kurva Berpotongan di Tengah

Luas antara $y = x^3 - x$ dan $y = x$ pada $[-1, 1]$.

Perpotongan: $x^3 - x = x \implies x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2 - 2) = 0 \implies x = 0, \pm\sqrt{2}$.

Hanya $x = 0$ yang ada di $[-1, 1]$. Cek mana di atas: di $x = 0.5$: $x^3 - x = -0.375 < 0.5 = x$, jadi $y = x$ di atas.

$$A = \int_{-1}^{1} \left[x - (x^3 - x)\right]dx = \int_{-1}^{1} (2x - x^3)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}$$

$$= \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 0$$

Luasnya nol?! Ya — karena $2x - x^3$ adalah fungsi ganjil dan interval simetris terhadap nol. Secara geometris, "kelebihan" di kanan tepat sama dengan "kekurangan" di kiri.

Untuk mendapat luas total, hitung separuh interval lalu kalikan dua:

$$A = 2\int_0^1 (2x - x^3)\,dx = 2\left[x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\cdot\frac{3}{4} = \boxed{\frac{3}{2}}$$

Contoh 6.16 —

Luas antara $y = \sin x$ dan $y = \cos x$

Pada $[0, \pi/2]$. Perpotongan: $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \pi/4$.

Pada $[0, \pi/4]$: $\cos x \geq \sin x$. Pada $[\pi/4, \pi/2]$: $\sin x \geq \cos x$.

$$A = \int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx$$

$$= \left[\sin x + \cos x\right]_0^{\pi/4} + \left[-\cos x - \sin x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}$$

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - 1\right) + \left(0 - 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$$

$$= (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = \boxed{2\sqrt{2} - 2}$$

6.9 Nilai Rata-Rata sebuah Fungsi

Definisi 6.5 — Nilai Rata-Rata Integral

Nilai rata-rata $f$ pada $[a, b]$ didefinisikan:

$$\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

Interpretasi geometris: $\bar{f}$ adalah tinggi persegi panjang dengan lebar $b - a$ yang memiliki luas sama dengan luas di bawah kurva $f$.

Contoh 6.17 — Nilai Rata-Rata

$\bar{f}$ untuk $f(x) = x^2$ pada $[1, 4]$:

$$\bar{f} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\cdot\frac{64-1}{3} = \frac{63}{9} = 7$$

Contoh 6.18 — Nilai Rata-Rata: Suhu

Suhu suatu ruangan (dalam °C) dimodelkan oleh $T(t) = 20 + 5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ di mana $t$ dalam jam. Suhu rata-rata selama 24 jam:

$$\bar{T} = \frac{1}{24}\int_0^{24} \left(20 + 5\sin\frac{\pi t}{12}\right)dt = \frac{1}{24}\left[20t - 5\cdot\frac{12}{\pi}\cos\frac{\pi t}{12}\right]_0^{24}$$

$$= \frac{1}{24}\left[\left(480 - \frac{60}{\pi}\cos 2\pi\right) - \left(0 - \frac{60}{\pi}\cos 0\right)\right]$$

$$= \frac{1}{24}\left[480 - \frac{60}{\pi} + \frac{60}{\pi}\right] = \frac{480}{24} = \boxed{20°\text{C}}$$

Suhu rata-rata sama dengan suhu dasar — ini masuk akal karena komponen sinusoidal memiliki rata-rata nol atas satu periode penuh.

6.10 Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Teorema 6.7 — Mean Value Theorem untuk Integral

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$, maka terdapat $c \in [a, b]$ sehingga:

$$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \quad \text{atau setara} \quad \int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)$$

Contoh 6.19 — Verifikasi MVT untuk Integral

$f(x) = \sqrt{x}$ pada $[1, 4]$.

$$\frac{1}{4-1}\int_1^4 \sqrt{x}\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{9} \approx 1.556$$

Cari $c$: $\sqrt{c} = \dfrac{14}{9} \implies c = \left(\dfrac{14}{9}\right)^2 = \dfrac{196}{81} \approx 2.42 \in [1, 4]$ ✓

6.11 Fungsi $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$: Lebih Dalam

Contoh 6.20 — Menggambar Fungsi Integral

$g(x) = \displaystyle\int_0^x \sin t\,dt = 1 - \cos x$ (setelah integrasi).

$g'(x) = \sin x$, jadi $g$ naik saat $\sin x > 0$ (yaitu $(0, \pi)$) dan turun saat $\sin x < 0$ (yaitu $(\pi, 2\pi)$).

$g''(x) = \cos x$, jadi titik belok di $x = \pi/2$ dan $x = 3\pi/2$.

Nilai: $g(0) = 0$, $g(\pi) = 2$, $g(2\pi) = 0$. Fungsi ini berosilasi antara 0 dan 2 — ia menghitung "luas terakumulasi" dari sinus, yang naik di setengah periode pertama dan turun di setengah periode kedua.

Contoh 6.21 — Maksimum Fungsi Integral

$\displaystyle g(x) = \int_0^x (t - t^2)\,dt$. Kapan $g$ mencapai maksimum?

$g'(x) = x - x^2 = x(1-x)$. Titik kritis: $x = 0$ dan $x = 1$.

$g''(x) = 1 - 2x$. Di $x = 1$: $g''(1) = -1 < 0$ → maksimum lokal.

$$g(1) = \int_0^1 (t - t^2)\,dt = \left[\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Artinya: luas terakumulasi maksimum tercapai saat $x = 1$ (tepat di akhir interval di mana $f(t) \geq 0$). Setelah itu, $f$ menjadi negatif dan luas terakumulasi mulai berkurang.

6.12 Integral Fungsi Genap dan Ganjil

Teorema 6.8 — Integral Fungsi Genap dan Ganjil

Jika $f$ kontinu pada $[-a, a]$:

Jika $f$ genap ($f(-x) = f(x)$): $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
Jika $f$ ganjil ($f(-x) = -f(x)$): $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$

Contoh 6.22 — Menggunakan Simetri

(a) $\displaystyle\int_{-2}^{2} x^4\,dx = 2\int_0^2 x^4\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 2\cdot\frac{32}{5} = \frac{64}{5}$ (genap)

(b) $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x^3\cos x\,dx = 0$ (ganjil × genap = ganjil)

(c) $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^3}{1+x^2}\,dx = 0$ (pembilang ganjil, penyebut genap → fungsi ganjil)

(d) $\displaystyle\int_{-3}^{3} (|x| + x^2)\,dx = 2\int_0^3 (x + x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 2\left(\frac{9}{2} + 9\right) = 27$ (genap)

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 6

Hitung $\displaystyle\int_0^{2} (3x^2 - x + 4)\,dx$.
Hitung $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\,dx$.
Hitung $\displaystyle\int_1^{e} \frac{2 + \ln x}{x}\,dx$. Petunjuk: pisahkan menjadi dua integral.
Hitung $\dfrac{d}{dx}\!\left(\displaystyle\int_{0}^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt\right)$.
Hitung $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt}{x^2}$.
Hitung luas total antara $y = x^2 - 4x + 3$ dan sumbu-$x$.
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh $y = 2x + 1$ dan $y = x^2 + 1$.
Tunjukkan bahwa $\displaystyle\int_0^{1} x^n(1-x)^n\,dx \leq \frac{1}{2^{2n}}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Petunjuk: gunakan fakta bahwa $x(1-x) \leq \frac{1}{4}$ pada $[0, 1]$.
Jika $F(x) = \displaystyle\int_0^x \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\,dt$, tentukan interval monoton dan titik ekstrem $F$.
Hitung $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} (\sin^3 x + x\cos x)\,dx$ menggunakan simetri. Jelaskan mengapa setiap suku bernilai nol.

Sebelumnya

Bab 5: Integral Tak Tentu

Selanjutnya

Bab 7: Teknik Integrasi

Integral Tentu

6.1 Motivasi: Luas di Bawah Kurva

6.2 Penjumlahan Riemann

6.3 Definisi Formal Integral Riemann

6.4 Sifat-Sifat Integral Tentu

6.5 Teorema Dasar Kalkulus Bagian I

6.6 Teorema Dasar Kalkulus Bagian II

6.7 Luas Bertanda dan Luas Total

6.8 Luas antara Dua Kurva

6.9 Nilai Rata-Rata sebuah Fungsi

6.10 Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

6.11 Fungsi \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\): Lebih Dalam

6.12 Integral Fungsi Genap dan Ganjil